檢視雞卵行的原始碼

佇咧數學中，'''雞卵行'''是平面上到兩个相異固定點的距離之佮普通數的點心跡。

根據應該定義，會當用手畫雞卵行：先準備一條線，共這條線的兩爿縛咧固定的點頂懸（這兩个點就當做是雞卵行的兩个焦點，而且距離小於線長）； 取一支筆，用筆尖將線繃予絚，這時陣兩个點和筆就形成一个三角形（的兩爿）； 然後左右徙動筆尖搝線開始作圖，繼續使線繃予絚，最後就會當完成一个雞卵行圖形。

因為兩个固定點之間的距離嘛是一定的，所以會當省去縛佇點頂這步驟改共線縛做環狀，然後以筆尖佮這兩个焦點將線繃直即可。下同。

==概述==

雞卵行是一種圓錐的曲線：若一个平面切全一个圓錐面，而且無和伊的底面相交插，嘛無佮伊的底面平行，是圓錐佮平面交節線是一个雞卵行。

佇代數頂懸講，雞卵行是佇𥰔仔卡爾平面上如下形式的方程所定義的曲線


: $ Ax ^ { 二 } + Bxy + Cy ^ { 二 } + Dx + Ey + F=零 \ , $

予得 $ B ^ { 二 } < 四 AC \ , $，遮的係數攏是實數，並存在定義佇咧雞卵行的點著 ( x , y ) 的加於一个的解。

穿過兩焦點並總算雞卵行的線段 AB 叫做'''長軸'''。長心肝是通過連接雞卵行的兩點所會當得著的上長線段。穿過中心（兩焦點的連線的中點）垂直於長軸並且總算雞卵行的線段 CD 叫做'''短軸'''。'''半長軸'''（圖內底指示為 _ a _）是上尾的一半：對中心通過一个焦點到雞卵行的邊仔的線段。'''半短軸'''（圖內底指示為 _ b _）是短心的一半。

若兩个焦點閣重合，則這个雞卵行是圓；嘛會使講，圓是離心率做零的雞卵行。

中心佇原點的雞卵行 $ Ax ^ { 二 } + Bxy + Cy ^ { 二 }=一 \ , $ 會當予人看做單位圓佇咧關聯對稱矩陣 $ A ^ { \ prime }={ \ begin { bmatrix } A & B / 二 \ \ B / 二 & C \ end { bmatrix } }=PDP ^ { T } \ , $ 線性映射下的圖像，遮的 D 是帶有 $ A ^ { \ prime } $ 特徵值的對角矩陣，二者沿主對角線攏是正實數的，而且 P 是擁有 $ A ^ { \ prime } $ 的特徵向量作為縱列的實數的酉矩陣。雞卵行的長短路分別沿 $ A ^ { \ prime } $ 的兩个特徵向量的方向，兩个佮之對應的特徵值分別是'''半長軸'''和'''半短軸'''伊的長度平方的倒算講。

雞卵行會當過對一个圓的所有點的 _ x _ 坐標乘以一个常數而無改變 _ y _ 坐標來生成。

==離心率==

雞卵行的形會當用叫雞卵行的離心率的一个數來表達，習慣指示為著 $ \ varepsilon \ , $。離心率是比較較大於等於零的實數。離心率零表示對兩个焦點重合這个雞卵行是圓。

所以對有半長心 _ a _ 佮半短仔 _ b _ 的雞卵行，離心率是


: $ \ varepsilon={ \ sqrt { 一-{ \ frac { b ^ { 二 } } { a ^ { 二 } } } } } $

離心率愈大，_ a _ 佮 _ b _ 的比率就愈大，毋才會雞卵行去予人閣較搝長。

半焦距 _ c _ 等於對中心到任一點點仔的距離，


: $ c={ \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } $

著


: $ \ varepsilon={ \ frac { c } { a } } $

半焦距 _ c _ 嘛叫雞卵行的'''線性離心率'''。佇咧兩个焦點間的距離是二 _ c _=二 _ a _ ε。

==四角勢==

中心徛佇咧點心 $ ( h , k ) $ 的主題平行佇咧 _ x _ 軸的雞卵行由如下跤程指定


: $ { \ frac { ( x-h ) ^ { 二 } } { a ^ { 二 } } } + { \ frac { ( y-k ) ^ { 二 } } { b ^ { 二 } } }=一 $

這个雞卵行會當參數化表達為


: $ x=h + a \ , \ cos t , \ , \ ! $


: $ y=k + b \ , \ sin t \ , \ ! $

遮的 $ t $ 會當限制佇區間 $-\ pi \ leq t \ leq \ pi \ , \ ! $。

若是 $ h=零 $ 而且 $ k=零 $（就是講乎，若中心是原點 ( 零 , 零 ) )，著


: $ x=a \ , \ cos t , \ , \ ! $


: $ y=b \ , \ sin t \ , \ ! $

這个參數方程公示兩个方向互相垂直的簡諧運動 ( 表現成做有周期性的簡諧波 ) 合成做閉合的雞卵行周期性運動（表現你彼个軌跡是雞卵行）。


:

===相對中心的極坐標形式來講===

用極坐標會當表達為


: $ { \ overline { CP } }=r'={ \ frac { ab } { \ sqrt { a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } \ psi + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } \ psi } } }={ \ frac { b } { \ sqrt { 一-\ varepsilon ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } \ psi } } } $

遮的 $ \ varepsilon $ 是雞卵行的離心率；$ \ psi $ 是 $ { \ overline { CB } } $ 佮 $ { \ overline { CP } } $ 的夾角

===相對焦點的極坐標形式出現===

有一个焦點佇原點的雞卵行的極坐標方面是


: $ { \ overline { F _ { 一 } P } }=r={ \ frac { a \ cdot ( 一-\ varepsilon ^ { 二 } ) } { 一-\ varepsilon \ cdot \ cos \ theta } } $

遮的 $ \ theta $ 是 $ { \ overline { F _ { 一 } B } } $ 佮 $ { \ overline { F _ { 一 } P } } $ 的夾角

====半正焦絃和極坐標====

雞卵行的半種焦絃 ( 通常指示講 $ \ ell \ , \ ! $ )，是對雞卵行的一个焦點到雞卵行自身，沿徛直主軸的直線測量的距離。伊有關於 $ a \ , \ ! $ 和 $ b \ , \ ! $（雞卵行的半路）， 通過公式 $ a \ ell=b ^ { 二 } \ , \ ! $ 抑是若咧使用離心率 $ \ ell=a \ cdot ( 一-\ varepsilon ^ { 二 } ) \ , \ ! $。


:

佇咧極坐標中，一个焦點佇咧原點另外一个焦點佇咧負 _ x _ 軸上的雞卵行予出自方程


: $ r \ cdot ( 一 + \ varepsilon \ cdot \ cos \ theta )=\ ell \ , \ ! $

雞卵行會當予人看做是圓的投影：佇水平面有角度 φ 的平面上的圓垂直投影去到水平面上予出離心率 sin φ 的雞卵行，假定 φ 毋是九十 °。

==面積佮周長==

雞卵行的所包圍的面積是 $ \ pi ab \ , $，遮的 $ a \ , $，和 $ b \ , $，
是半長軸佮半短軸。伊咧圓的狀況下 $ a=b \ , $，表達式簡化為 $ \ pi a ^ { 二 } \ , $。

雞卵行的周長是 $ 四 aE ( { \ frac { c } { a } } ) $，遮的函數 $ E \ , $ 是第二類完全雞卵行分。

周長為：$ C=四 a \ int _ { 零 } ^ { \ frac { \ pi } { 二 } } { \ sqrt { 一-\ left ( { \ frac { c } { a } } \ right ) ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } \ theta } } \ { \ rm { d } } \ theta \ ! $ 抑是講 $ C=四 a \ int _ { 零 } ^ { 一 } { \ frac { \ sqrt { 一-\ left ( { \ frac { c } { a } } \ right ) ^ { 二 } t ^ { 二 } } } { \ sqrt { 一-t ^ { 二 } } } } \ { \ rm { d } } t . \ ! $

精確的無窮級數為：


: $ C=二 \ pi a \ left [{ 一-\ left ( { 一 \ over 二 } \ right ) ^ { 二 } { \ frac { c ^ { 二 } } { a ^ { 二 } } }-\ left ( { 一 \ cdot 三 \ over 二 \ cdot 四 } \ right ) ^ { 二 } { c ^ { 四 } \ over { 三 a ^ { 四 } } }-\ left ( { 一 \ cdot 三 \ cdot 五 \ over 二 \ cdot 四 \ cdot 六 } \ right ) ^ { 二 } { c ^ { 六 } \ over { 五 a ^ { 六 } } }-\ dots } \ right] \ ! \ , $

抑是：


: $ C=鋪二 \ pi a \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ left \ lbrace \ left [\ prod _ { m=一 } ^ { n } \ left ( { 二 m 影一 \ over 二 m } \ right ) \ right] ^ { 二 } { c ^ { 二 n } \ over { { a ^ { 二 n } } \ left ( 二 n 影一 \ right ) } } \ right \ rbrace } $

搝馬努金予出來較接近的式：


: $ C \ approx \ pi \ left [三 ( a + b )-{ \ sqrt { ( 三 a + b ) ( a + 三 b ) } } \ right] \ ! \ , $

伊閣會當寫為：


: $ C \ approx 三 a \ pi \ left [一 + { \ sqrt { 一-\ left ( { \ frac { c } { a } } \ right ) ^ { 二 } } } \ right]-a \ pi { \ sqrt { \ left [三 + { \ sqrt { 一-\ left ( { \ frac { c } { a } } \ right ) ^ { 二 } } } \ right] \ left [一 + 三 { \ sqrt { 一-\ left ( { \ frac { c } { a } } \ right ) ^ { 二 } } } \ right] } } \ ! \ , $

閣有一條近來若像真懸的公式：


: $ C \ approx \ pi ( a + b ) \ left [一 + { \ frac { 三 \ left ( { \ frac { a-b } { a + b } } \ right ) ^ { 二 } } { 十 + { \ sqrt { 四配三 \ left ( { \ frac { a-b } { a + b } } \ right ) ^ { 二 } } } } } \ right] \ left [一 + \ left ( { \ frac { 二十二 } { 七 \ pi } } 影一 \ right ) \ left ( { \ frac { a-b } { a } } \ right ) ^ { 三十三 } { \ sqrt [ { 一千 }] { \ left ( { \ frac { a-b } { a } } \ right ) ^ { 六百九十七 } } } \ right ] \ ! \ , $

==標準方程的推導==

* 若佇一个平面內一个'''動點'''到兩个'''定點'''的距離佮等於定長，遮爾仔這个動點的軌跡叫雞卵行。

準講（注意所有的準講干焦為著導出雞卵行的時陣較簡便）動點為 $ P ( x , y ) \ , $，兩个定點共 $ F _ { 一 } (-c , 零 ) \ , $ 和 $ F _ { 二 } ( c , 零 ) \ , $，是根據定義，動點 $ P $ 軌跡的程度滿足（定義式）：


: $ | PF _ { 一 } | + | PF _ { 二 } |=二 a ( a > 零 ) \ , $，其中 $ 二 a \ , $ 為定長。

用兩點的距離公式會當：$ | PF _ { 一 } |={ \ sqrt { ( x + c ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } \ , $，$ | PF _ { 二 } |={ \ sqrt { ( x-c ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } \ , $，代入定義式內底，得：


: $ { \ sqrt { \ left ( x + c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } + { \ sqrt { \ left ( x-c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } }=二 a \ , $ ①

上式倒爿分子鬥出平方差，並化簡，得：


: $ { \ frac { \ left ( x + c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 }-\ left [\ left ( x-c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } \ right] } { { \ sqrt { \ left ( x + c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } }-{ \ sqrt { \ left ( x-c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } } }=二 a \ , $

頂懸的分子大部分消，分母移項嘛會得


: $ { \ sqrt { \ left ( x + c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } }-{ \ sqrt { \ left ( x + c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } }={ \ frac { 二 xc } { a } } \ , $ ②

①、② 相加並平方，整理甲


: $ x ^ { 二 } \ left ( { \ frac { a ^ { 二 }-c ^ { 二 } } { a ^ { 二 } } } \ right ) + y ^ { 二 }=a ^ { 二 }-c ^ { 二 } \ , $

當 $ a > c \ , $ 時，並設 $ a ^ { 二 }-c ^ { 二 }=b ^ { 二 } \ , $，則上式會當進一步化簡：


: $ x ^ { 二 } { \ frac { b ^ { 二 } } { a ^ { 二 } } } + y ^ { 二 }=b ^ { 二 } \ , $

因為乎 $ b ^ { 二 } > 零 \ , $，將上式兩爿同除以 $ b ^ { 二 } \ , $，可得：


: $ { \ frac { x ^ { 二 } } { a ^ { 二 } } } + { \ frac { y ^ { 二 } } { b ^ { 二 } } }=一 \ , $

是該方程就去振動點 $ P $ 的軌跡頂懸，即雞卵行的方程。彼个形體嘛是'''雞卵行的標準方程'''。

* 雞卵行的圖像若佇咧直角坐標系中表示，遐爾仔上述定義中兩个定點予人定義佇咧矣 _ x _ 軸。若共兩个定點改佇咧 _ y _ 軸，會當用仝款的方法求出另外一个雞卵行的標準方程：


: $ { \ frac { y ^ { 二 } } { a ^ { 二 } } } + { \ frac { x ^ { 二 } } { b ^ { 二 } } }=一 ( a > b > 零 ) \ , $

* 佇方面的時陣，所設的 $ 二 a \ , $ 講號做長軸長，$ 二 b \ , $ 號做短軸長，而且所設的定點叫做焦點，遐爾 $ 二 c \ , $ 叫做焦距離。佇咧假設的過程內底，假使矣 $ a > c \ , $，若是無按呢假設，會發現了無雞卵行。當 $ a=c \ , $ 時，這个動點的影跡是一个線段；當 $ a < c \ , $ 時，根本就無到實際存在的跤跡，啊若這陣，其他的軌跡叫做虛雞卵行。另外猶閣注意，佇咧假使講，閣一位：$ a ^ { 二 }-c ^ { 二 }=b ^ { 二 } \ , $。
* 通常認為是雞卵行的一種特殊情況。

==雞卵行的旋轉和平移==

對平面上任意雞卵行 $ Ax ^ { 二 } + 二 Bxy + Cy ^ { 二 } + Dx + Ey + F=零 \ , $，總是會當共這个轉化做


: $ A ( x-u ) ^ { 二 } + 二 B ( x-u ) ( y-v ) + C ( y-v ) ^ { 二 } + f=零 \ , $

彼个形體。具體部份攏是，共後式的各乘積乘方項展開，根據佮前式對應項係數相等的法則便可求得 u , v , f 的值。其中，$ ( u , v ) \ , $ 就是雞卵行的中心（f=零）。

若共


: $ x=x ^ { \ prime }-u $


: $ y=y ^ { \ prime }-v $

代入式內底就會當得著平移前的雞卵行。

若是 $ B \ neq 零 $，表示雞卵行的長短佮坐標系的坐標題並無平行抑是垂直，即發生了旋轉。設旋轉的角度為 $ \ displaystyle \ varphi $，則有


: $ \ displaystyle tan ( 二 \ varphi )={ \ frac { 二 B } { A-C } } $

當 $ A-C=零 $，是說明 $ \ varphi=\ pm { \ frac { \ pi } { 四 } } $。

若共


: $ x=x ^ { \ prime } \ cos \ varphi-y ^ { \ prime } \ sin \ varphi $


: $ y=y ^ { \ prime } \ cos \ varphi + x ^ { \ prime } \ sin \ varphi $

代入式內面就會當得著旋轉進前的雞卵行。

==漸漸開線佮其導數==


: $ { \ begin { cases } x=a \ cos t + { \ cfrac { abE \ left ( t , { \ cfrac { \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } { a } } \ right ) \ sin t } { \ sqrt { a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t } } } \ ! \ , \ \ \ \ y=b \ sin t + { \ cfrac { b ^ { 二 } E \ left ( t , { \ cfrac { \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } { a } } \ right ) \ cos t } { \ sqrt { a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t } } } \ ! \ , \ \ \ end { cases } } $




: $ { \ begin { cases } { \ cfrac { { \ rm { d } } x } { \ rm { { d } t } } }={ \ cfrac { \ left [b ^ { 二 } \ sin 二 t 鋪二 b ^ { 二 } \ sin t \ cdot E \ left ( t , { \ cfrac { \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } { a } } \ right ) \ right] \ left ( a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t \ right )-ab \ left ( a ^ { 二 }-b ^ { 二 } \ right ) \ sin 二 t \ cdot E \ left ( t , { \ cfrac { \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } { a } } \ right ) \ sin t } { 二 \ left ( a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t \ right ) { \ sqrt { a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t } } } }-a \ sin t \ ! \ , \ \ \ \ { \ cfrac { { \ rm { d } } y } { \ rm { { d } t } } }={ \ cfrac { \ left [b ^ { 三 } \ sin 二 t 鋪二 ab ^ { 二 } \ sin t \ cdot E \ left ( t , { \ cfrac { \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } { a } } \ right ) \ right] \ left ( a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t \ right )-ab ^ { 二 } \ left ( a ^ { 二 }-b ^ { 二 } \ right ) \ sin 二 t \ cdot E \ left ( t , { \ cfrac { \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } { a } } \ right ) \ sin t } { 二 a \ left ( a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t \ right ) { \ sqrt { a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t } } } } + b \ cos t \ ! \ , \ \ \ end { cases } } $

有了雞卵行漸漸開線的導數，會當計算講伊的長度，其中 $ E \ left ( t , { \ frac { \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } { a } } \ right ) \ , $ 是第二類完全雞卵行分。

==參見==

* 圓錐曲線
* 克卜勒定律
* 類球面
* 雞卵行標系
* 雞卵行
* 超雞卵行
* 雞卵行
* 三-雞卵行

==外部連結==

* 明仔載初西方雞卵行智識佇中國的傳播

[[分類: 待校正]]