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數學上，'''克羅內克積'''（英語：Kronecker product）是兩个任意大細的矩陣間的運算，表示講 ⊗。簡單講，就是將前一个矩陣的逐个元素乘上後一个完整的矩陣。克羅內克積是外積對向量到矩陣的推廣，原仔是張量積佇標準基下的矩陣表示。

就算無明顯證據證明德國數學家利奧波德 ・ 克羅內克是頭一个定義並使用這運算的人，'''克羅內克積'''抑是用其名號名。佇咧歷史上，'''克羅內克積'''曾以 Johann Georg Zehfuss 號名號做 Zehfuss 矩陣。

==定義==

若是 _ A _ 是一个 _ m _ × _ n _ 矩陣，而且 _ B _ 是一个 _ p _ × _ q _ 矩陣，'''克羅內克積'''$ A \ otimes B $ 著愛是一个 _ mp _ × _ nq _ 的分塊矩陣


: $ A \ otimes B={ \ begin { bmatrix } a _ { 十一 } B & \ cdots & a _ { 一 n } B \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a _ { m 一 } B & \ cdots & a _ { mn } B \ end { bmatrix } } . $

閣較有體地會當表示


: $ A \ otimes B={ \ begin { bmatrix } a _ { 十一 } b _ { 十一 } & a _ { 十一 } b _ { 十二 } & \ cdots & a _ { 十一 } b _ { 一 q } & \ cdots & \ cdots & a _ { 一 n } b _ { 十一 } & a _ { 一 n } b _ { 十二 } & \ cdots & a _ { 一 n } b _ { 一 q } \ \ a _ { 十一 } b _ { 二十一 } & a _ { 十一 } b _ { 二十二 } & \ cdots & a _ { 十一 } b _ { 二 q } & \ cdots & \ cdots & a _ { 一 n } b _ { 二十一 } & a _ { 一 n } b _ { 二十二 } & \ cdots & a _ { 一 n } b _ { 二 q } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & & & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a _ { 十一 } b _ { p 一 } & a _ { 十一 } b _ { p 二 } & \ cdots & a _ { 十一 } b _ { pq } & \ cdots & \ cdots & a _ { 一 n } b _ { p 一 } & a _ { 一 n } b _ { p 二 } & \ cdots & a _ { 一 n } b _ { pq } \ \ \ vdots & \ vdots & & \ vdots & \ ddots & & \ vdots & \ vdots & & \ vdots \ \ \ vdots & \ vdots & & \ vdots & & \ ddots & \ vdots & \ vdots & & \ vdots \ \ a _ { m 一 } b _ { 十一 } & a _ { m 一 } b _ { 十二 } & \ cdots & a _ { m 一 } b _ { 一 q } & \ cdots & \ cdots & a _ { mn } b _ { 十一 } & a _ { mn } b _ { 十二 } & \ cdots & a _ { mn } b _ { 一 q } \ \ a _ { m 一 } b _ { 二十一 } & a _ { m 一 } b _ { 二十二 } & \ cdots & a _ { m 一 } b _ { 二 q } & \ cdots & \ cdots & a _ { mn } b _ { 二十一 } & a _ { mn } b _ { 二十二 } & \ cdots & a _ { mn } b _ { 二 q } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & & & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a _ { m 一 } b _ { p 一 } & a _ { m 一 } b _ { p 二 } & \ cdots & a _ { m 一 } b _ { pq } & \ cdots & \ cdots & a _ { mn } b _ { p 一 } & a _ { mn } b _ { p 二 } & \ cdots & a _ { mn } b _ { pq } \ end { bmatrix } } . $

咱會當閣較絚來共鬥起來 $ ( A \ otimes B ) _ { p ( r 影一 ) + v , q ( s 影一 ) + w }=a _ { rs } b _ { vw } $

===例===


: $ { \ begin { bmatrix } 一 & 二 \ \ 三 & 一 \ \ \ end { bmatrix } } \ otimes { \ begin { bmatrix } 零 & 三 \ \ 二 & 一 \ \ \ end { bmatrix } }={ \ begin { bmatrix } 一 \ cdot 零 & 一 \ cdot 三 & 二 \ cdot 零 & 二 \ cdot 三 \ \ 一 \ cdot 二 & 一 \ cdot 一 & 二 \ cdot 二 & 二 \ cdot 一 \ \ 三 \ cdot 零 & 三 \ cdot 三 & 一 \ cdot 零 & 一 \ cdot 三 \ \ 三 \ cdot 二 & 三 \ cdot 一 & 一 \ cdot 二 & 一 \ cdot 一 \ \ \ end { bmatrix } }={ \ begin { bmatrix } 零 & 三 & 零 & 六 \ \ 二 & 一 & 四 & 二 \ \ 零 & 九 & 零 & 三 \ \ 六 & 三 & 二 & 一 \ end { bmatrix } } $ .

==特性==

===雙線性佮結合律===

'''克羅內克積'''是張量積的特殊形式，因此滿足雙線性佮結合律：


: $ A \ otimes ( B + C )=A \ otimes B + A \ otimes C \ qquad { \ mbox { ( if } } B { \ mbox { and } } C { \ mbox { have the same size ) } } , $


: $ ( A + B ) \ otimes C=A \ otimes C + B \ otimes C \ qquad { \ mbox { ( if } } A { \ mbox { and } } B { \ mbox { have the same size ) } } , $


: $ ( kA ) \ otimes B=A \ otimes ( kB )=k ( A \ otimes B ) , $


: $ ( A \ otimes B ) \ otimes C=A \ otimes ( B \ otimes C ) , $

其中，_ A _ , _ B _ 和 _ C _ 是矩陣，而且 _ k _ 是常數。

'''克羅內克積'''無符合交換律：通常，_ A _ ⊗ _ B _ 無仝 _ B _ ⊗ _ A _。

_ A _ ⊗ _ B _ 和 _ B _ ⊗ _ A _ 是排列等等價的，也就是講，佇咧排列矩陣 _ P _ 和 _ Q _，予得


: $ A \ otimes B=P \ , ( B \ otimes A ) \ , Q . $

若是 _ A _ 和 _ B _ 是方塊矩陣，著 _ A _ ⊗ _ B _ 和 _ B _ ⊗ _ A _ 甚至是排列相𫝛的，也就是講，咱會使號 _ P _=_ Q _ T。

===混合乘積性質===

若是'''A'''、'''B'''、'''C'''和'''D'''是四个矩陣，而且矩陣乘積'''AC'''和'''BD'''存在，遐爾：


: $ ( \ mathbf { A } \ otimes \ mathbf { B } ) ( \ mathbf { C } \ otimes \ mathbf { D } )=\ mathbf { AC } \ otimes \ mathbf { BD } . $

這個性質有叫做「混合乘積性質」，因為伊透濫通常的矩陣乘積佮克羅內克積。所以你講會當推出，'''A'''$ \ , \ otimes \ , $'''B'''是會當倒的若是唯'''A'''和'''B'''是會使倒的，其逆矩陣為：


: $ ( \ mathbf { A } \ otimes \ mathbf { B } ) ^ { 影一 }=\ mathbf { A } ^ { 影一 } \ otimes \ mathbf { B } ^ { 影一 } . $

===克羅內克佮===

若是'''A'''是 _ n _ × _ n _ 矩陣，'''B'''是 _ m _ × _ m _ 矩陣，$ \ mathbf { I } _ { k } $ 表示 _ k _ × _ k _ 單位矩陣，阮會當定義克羅內克和 $ \ oplus $ 為：


: $ \ mathbf { A } \ oplus \ mathbf { B }=\ mathbf { A } \ otimes \ mathbf { I } _ { m } + \ mathbf { I } _ { n } \ otimes \ mathbf { B } . $

===譜===

準講'''A'''和'''B'''分別是大細為 _ n _ 和 _ q _ 的方塊矩陣。設 λ 一，……，λn 為'''A'''的特徵值，μ 一，……，μq 為'''B'''的特徵值。遐爾'''A'''$ \ , \ otimes \ , $'''B'''的特徵值為著：


: $ \ lambda _ { i } \ mu _ { j } , \ qquad i=一 , \ ldots , n , \ , j=一 , \ ldots , q . $

所以你講會當推出，兩个矩陣的克羅內克積的跡佮行列式做：


: $ \ operatorname { tr } ( \ mathbf { A } \ otimes \ mathbf { B } )=\ operatorname { tr } \ mathbf { A } \ , \ operatorname { tr } \ mathbf { B } \ quad { \ mbox { and } } \ quad \ det ( \ mathbf { A } \ otimes \ mathbf { B } )=( \ det \ mathbf { A } ) ^ { q } ( \ det \ mathbf { B } ) ^ { n } . $

===奇異值===

若是'''A'''和'''B'''是長方矩陣，按呢咱會當考慮𪜶的奇異值。準講'''A'''有 _ r _'''A'''個非零的奇異值，𪜶是：


: $ \ sigma _ { \ mathbf { A } , i } , \ qquad i=一 , \ ldots , r _ { \ mathbf { A } } . $

類似地，設'''B'''的非零奇異值為：


: $ \ sigma _ { \ mathbf { B } , i } , \ qquad i=一 , \ ldots , r _ { \ mathbf { B } } . $

遐爾仔克羅內克積'''A'''$ \ , \ otimes \ , $'''B'''有 _ r _'''A'''_ r _'''B'''一个非零奇異值，𪜶是：


: $ \ sigma _ { \ mathbf { A } , i } \ sigma _ { \ mathbf { B } , j } , \ qquad i=一 , \ ldots , r _ { \ mathbf { A } } , \ , j=一 , \ ldots , r _ { \ mathbf { B } } . $

因為一个矩陣的秩等於非零奇異值的數目，因此阮有：


: $ \ operatorname { rank } ( \ mathbf { A } \ otimes \ mathbf { B } )=\ operatorname { rank } \ mathbf { A } \ , \ operatorname { rank } \ mathbf { B } . $

===佮抽象張量積的關係===

矩陣的克羅內克積對應該佇線性映射的抽象張量積。特別地，若向量空間 _ V _、_ W _、_ X _ 和 _ Y _ 分別有基 { v 一 , . . . , vm }、{ w 一 , . . . , wn }、{ x 一 , . . . , xd } 和 { y 一 , . . . , ye }，而且矩陣 _ A _ 和 _ B _ 分別佇咧恰當的基中表示線性轉換 _ S _   : _ V _ → _ X _ 和 _ T _   : _ W _ → _ Y _，遐爾仔矩陣 _ A _ ⊗ _ B _ 表示兩个影射的張量積 _ S _ ⊗ _ T _   : _ V _ ⊗ _ W _ → _ X _ ⊗ _ Y _，關於著 _ V _ ⊗ _ W _ 伊的基 { v 一 ⊗ w 一 , v 一 ⊗ w 二 , . . . , v 二 ⊗ w 一 , . . . , vm ⊗ wn } 和 _ X _ ⊗ _ Y _ 的類似基。

===佮圖的乘積的關係===

兩个圖的鄰接矩陣的克羅內克積是𪜶的張量積圖的鄰接矩陣。兩个圖的鄰接矩陣的克羅內克佮，是𪜶的𥰔仔卡兒誠積圖的鄰接矩陣。參見第九十六个練習的答案。

===轉置===

'''克羅內克積'''轉置運算符合分配律：


: $ ( A \ otimes B ) ^ { T }=A ^ { T } \ otimes B ^ { T } . $

==矩陣方程式==

克羅內克積會當用來做一寡矩陣方程式會當出方便的表示法。比如講，考慮方程式 _ AXB _=_ C _，其中 _ A _、_ B _ 和 _ C _ 是予定的矩陣，_ X _ 是未知影的矩陣。咱會當共這个方程式重寫為


: $ ( B ^ { T } \ otimes A ) \ , \ operatorname { vec } ( X )=\ operatorname { vec } ( AXB )=\ operatorname { vec } ( C ) . $

按呢乎，對克羅內克積的性質會當推出，方程式 _ AXB _=_ C _ 具有唯一的解，若是唯一 _ A _ 和 _ B _是非奇異矩陣。（Horn & Johnson 一千九百九十一，Lemma 四配三 . 一）.

佇遮，vec ( _ X _ ) 表示矩陣 _ X _ 彼个向量化，伊是共 _ X _ 伊所有列堆起來所形成的列向量。

若共 _ X _ 的行堆起來，形成列向量 _ x _，著 $ AXB $ 嘛會用得寫為講 $ ( A \ otimes B ^ { T } ) x $（Jain 一千九百八十九，二鋪八 block Matrices and Kronecker Products）。

==參考文獻==

* Horn , Roger A . ; Johnson , Charles R . , Topics in Matrix Analysis , Cambridge University Press , 一千九百九十一 , ISBN  空抹五百二十一鋪四四五千七百一十三鋪六   .
* Jain , Anil K . , Fundamentals of Digital Image Processing , Prentice Hall , 一千九百八十九 , ISBN  空抹十三五三十三五五   .

==外部連結==

* Kronecker product . PlanetMath .
* MathWorld Matrix Direct Product

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