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'''加伯轉換'''是窗函數為高斯函數的短時距傅立葉變換。

==數學定義==

將短時距傅立葉轉換中的窗函數代入高斯函數，即可得下跤的標準定義：


: $ G _ { x } ( t , f )=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } e ^ {-\ pi ( \ tau-t ) ^ { 二 } } e ^ {-j 二 \ pi f \ tau } x ( \ tau ) \ , d \ tau $

以下是幾種常見的替代定義：

一 . $ Gx _ { 一 } ( t , f )=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } e ^ {-\ pi ( \ tau-t ) ^ { 二 } } e ^ {-j 二 \ pi f ( \ tau-{ \ frac { t } { 二 } } ) } x ( \ tau ) \ , d \ tau $
二 . $ Gx _ { 二 } ( t , f )={ \ sqrt [{ 四 }] { 二 } } \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } e ^ {-\ pi ( \ tau-t ) ^ { 二 } } e ^ {-j 二 \ pi f \ tau } x ( \ tau ) \ , d \ tau $
三 . $ Gx _ { 三 } ( t , \ omega )=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } e ^ {-{ \ frac { ( \ tau-t ) ^ { 二 } } { 二 } } } e ^ {-j \ omega \ tau } x ( \ tau ) \ , d \ tau $
四 . $ Gx _ { 四 } ( t , \ omega )={ \ sqrt { \ frac { 一 } { 二 \ pi } } } \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } e ^ {-{ \ frac { ( \ tau-t ) ^ { 二 } } { 二 } } } e ^ {-j \ omega ( \ tau-{ \ frac { t } { 二 } } ) } x ( \ tau ) \ , d \ tau $
* 註：佇文獻懸頂可能會看著無仝形式的加伯轉換，但是本質上攏是仝款的。

因為實作的時陣，袂當算講無限大的積分式，所以根據高斯函數會對兩爿遞減的性質，咱會當將上式進一步化簡：


: $ \ because { \ begin { cases } \ e ^ {-\ pi a ^ { 二 } } < 空空空空空一 ; & | a | > 一孵九一四三 \ \ \ e ^ {-a ^ { 二 } / 二 } < 空空空空空一 ; & | a | > 四配七九八五 \ end { cases } } $


: $ \ therefore { \ begin { cases } \ G _ { x } ( t , f ) \ simeq \ int _ { t 抹一爿九一四三 } ^ { t + 一孵九一四三 } e ^ {-\ pi ( \ tau-t ) ^ { 二 } } e ^ {-j 二 \ pi f \ tau } x ( \ tau ) \ , d \ tau \ \ \ Gx _ { 四 } ( t , \ omega ) \ simeq { \ sqrt { \ frac { 一 } { 二 \ pi } } } \ int _ { t 被四配七九八五 } ^ { t + 四配七九八五 } e ^ {-{ \ frac { ( \ tau-t ) ^ { 二 } } { 二 } } } e ^ {-j \ omega ( \ tau-t / 二 ) } x ( \ tau ) \ , d \ tau \ end { cases } } $

==為何選擇高斯函數做為窗函數==

一 . 其他窗函數的短時距傅立葉變換，若利用方型窗函數短時距傅立葉變換，無法度同時兼顧時間軸佮頻率軸的解析度；一者解析度提升，另外一者解析度必定下降。但是高斯函數是由海森堡測袂準原理會當知影，是上會當同時予兩軸兼顧解析度的窗函數 ( 會佇下跤章節詳細 )。
二 . 高斯函數為傅立葉轉換的特徵函數：
* $ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } e ^ {-\ pi t ^ { 二 } } e ^ {-j 二 \ pi f \ tau } dt=e ^ {-\ pi f ^ { 二 } } $
* $ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } e ^ {-{ \ frac { t ^ { 二 } } { 二 } } } e ^ {-j \ omega t } dt=e ^ {-{ \ frac { f ^ { 二 } } { 二 } } } $

因此經過轉換以後其實性質無變。因此會當予加伯轉換了後佇時間軸佮頻率軸的性質互相對稱。

==由測無準原理了解高斯函數的性質==

述講著，高斯函數是上會當兼顧時間佮頻率解析度的窗函數。咱利用這个章節來詳細討論。

* 這海森堡測袂準原理 :


: 對一个信號 $ x ( t ) $，當 $ | t | \ to \ infty $，若是 $ { \ sqrt { t } } x ( t )=零 $，著


: $ \ sigma _ { t } \ sigma _ { f } \ geq 四分之一 \ pi \ , $


: 其中 $ \ sigma _ { t } ^ { 二 }=\ int ( t-\ mu _ { t } ) ^ { 二 } P _ { x } ( t ) dt , \ sigma _ { f } ^ { 二 }=\ int ( f-\ mu _ { f } ) ^ { 二 } P _ { X } ( f ) df \ , $


: $ \ qquad \ mu _ { t }=\ int tP _ { x } ( t ) dt \ quad \ quad \ quad \ , \ mu _ { f }=\ int fP _ { X } ( f ) df $


: $ \ qquad P _ { x } ( t )={ \ frac { | x ( t ) | ^ { 二 } } { \ int | x ( t ) | ^ { 二 } dt } } \ quad \ ; \ ; \ ; , P _ { X } ( f )={ \ frac { | X ( f ) | ^ { 二 } } { \ int | X ( f ) | ^ { 二 } df } } $


: 因為兩个標準差相乘有下限，這个定理說明矣咱無法度同時精準量測時間佮頻率，其中一者標準差下降 ( 解析度寫懸 )，另外一者標準差就夯懸 ( 解析度下降 )。

* 做信號 $ x ( t ) $ 為高斯函數時


: $ x ( t )=e ^ { \ pi t ^ { 二 } } , X ( f )=e ^ {-\ pi f ^ { 二 } } $


: 套用以上函式求了變化格 ( 其中因為高斯函數做偶對稱函數，所以其實 $ \ mu _ { t }=零 $ )


: $ \ because \ sigma _ { t } ^ { 二 }={ \ frac { \ int t ^ { 二 } | x ( t ) | ^ { 二 } dt } { \ int | x ( t ) | ^ { 二 } dt } }={ \ frac { ( { \ frac { 一 } { 二 } } ) ^ { \ frac { 五 } { 二 } } \ pi } { \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 } } } }={ \ frac { 一 } { 四 \ pi } } $


: 才藉著微積分公式會當：$ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } | x ( t ) | ^ { 二 } dt=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } e ^ { 鋪二 \ pi t } dt={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 } } } $


: 佮 $ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } t ^ { 二 } | x ( t ) | ^ { 二 } dt=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } t ^ { 二 } e ^ { 鋪二 \ pi t ^ { 二 } } dt={ \ frac { \ Gamma ( 二分之三 ) } { ( 二 \ pi ) ^ { \ frac { 三 } { 二 } } } } $


: $ \ therefore \ sigma _ { t } \ sigma _ { f }={ \ frac { 一 } { 四 \ pi } } $


: 即高斯函數滿足測無準定理的上下限，所以是所有窗函數內底會當使時間和頻率兩者來解析度攏達到上懸的函數。

* 變形的高斯函數仝款會滿足測無準原理的下限，以下比如講以下：
一 . $ e ^ {-\ pi ( t-t _ { 零 } ) ^ { 二 } } $：著機率分布做移，標準差袂改變。
二 . $ Ae ^ {-\ pi t ^ { 二 } } $：分子佮分母仝乘 A，會當消掉。因此標準差袂改變。
三 . $ e ^ {-\ pi t ^ { 二 } } e ^ { j 二 \ pi f _ { 零 } t } $：佇時域乘頂面 $ e ^ { j 二 \ pi f _ { 零 } t } $ 相當於是頻域對頻率做移，標準差仝款袂改變。
四 . $ e ^ {-\ pi bt ^ { 二 } } $：時域做縮放，頻域會做倒勼的縮放，因此標準䆀嘛袂改變。
* 以下提供一个簡單的例來做模擬，


: $ x ( t )={ \ begin { cases } \ cos ( 二 \ pi t ) ; & t < 十 \ \ \ cos ( 六 \ pi t ) ; & 十 \ leq t < 二十 \ end { cases } } $


: 正圖為著加伯轉換的結果，會當看出其時間佮頻率攏維持相當程度的解析度。

==高斯窗函數和方形窗函數較==

以下提供一个簡單的範例來比較加伯轉換以及利用方形的窗仔函數短時傅立葉轉換：


: $ x ( t )={ \ begin { cases } \ cos ( 十 \ pi t ) ; & t < 十 \ \ \ cos ( 十二 \ pi t ) ; & 十 \ leq t < 二十 \ \ \ cos ( 九 \ pi t ) ; & 二十 \ leq t < 三十 \ end { cases } } $

對圖中會當發現方形窗函數的短時傅立葉轉換會有能量擴散的情形，加伯轉換伊是清的時陣頻圖。

==加伯仔轉換的縮放==


: 因為高斯窗函數的闊度會當由一常數做調整，因此阮將這个參數加入加伯轉換的數學式子中，予轉換更加𩚨，如下式：


: $ G _ { x } ( t , f )={ \ sqrt [{ 四 }] { \ sigma } } \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } e ^ {-\ sigma \ pi ( \ tau-t ) ^ { 二 } } e ^ {-j 二 \ pi f \ tau } x ( \ tau ) d \ tau $


: 根據頭前這个章節咧講。實作時，袂當算講無限大的積分式，所以根據高斯函數會對兩爿遞減的性質，咱會當將上式進一步化簡：


: $ G _ { x } ( t , f ) \ simeq { \ sqrt [{ 四 }] { \ sigma } } \ int _ { t-{ \ frac { 一孵九一四三 } { \ sqrt { \ sigma } } } } ^ { t + { \ frac { 一孵九一四三 } { \ sqrt { \ sigma } } } } e ^ {-\ sigma \ pi ( \ tau-t ) ^ { 二 } } e ^ {-j 二 \ pi f \ tau } x ( \ tau ) d \ tau $

* 根據傅立葉轉換的縮放公式，準講 $ w ( t )=e ^ {-\ pi \ sigma t ^ { 二 } } $，則傅立葉轉換以後為 $ W ( f )={ \ frac { 一 } { \ sqrt { \ sigma } } } e ^ {-{ \ frac { \ pi f ^ { 二 } } { \ sigma } } } $，使其實根據需求佇咧調整時間解析度抑是真定定有解析度
* 改變高斯函數的闊度，和改變方形窗函數短時距傅立葉變換的效果類似。若選較大的 $ \ sigma $，時域的高斯窗函數較狹，則時域有比較高的解析度，若頻域的高斯窗函數較闊，所以頻域的解析度會降落來 ( 通常用佇需要時域解析度較懸的應用，比如講：音樂訊號 ) ; 反之，若揀較細的 $ \ sigma $，時域的高斯窗函數較闊，則時域的解析度下降，若頻域的高斯窗函數較狹，所以頻域解析度會升起來 ( 通常運用佇需要頻域解析度較懸的應用，比如講：氣候 )。雖然猶原是有兩題之間的解析度的犧牲，但比其他的無法度滿足測無準原理下限的窗函數，加伯仔轉換的兩軸猶是會當相對維持較懸的解析度。
* 若應用佇連鞭頻率改變較大方的應用，會當考慮使用窗仔闊度綴時間咧改變的加伯仔轉換數學式，如下


: $ G _ { x } ( t , f )={ \ sqrt [{ 四 }] { \ sigma ( t ) } } \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } e ^ {-\ sigma ( t ) \ pi ( \ tau-t ) ^ { 二 } } e ^ {-j 二 \ pi f \ tau } x ( \ tau ) d \ tau $


: 彼陣頻率變動非常緊的時陣，使用比較大的 $ \ sigma $ 值，使其時間解析度會當較懸；彼陣仔頻率咧變足慢的時陣，用較細的 $ \ sigma $ 值，使其頻域解析度會當較懸。

==實現方法佮注意事項==

===Direct Implementation===

` ` `
$ X ( t , f )=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } w ( t-\ tau ) x ( \ tau ) e ^ {-j 二 \ pi f \ tau } d \ tau $
` ` `

$ $
w ( t )=e ^ {-\ pi \ sigma t ^ { 二 } }
$ $

* Discrete Form :

令 $ t=n \ Delta _ { t } , f=m \ Delta _ { f } , \ tau=p \ Delta _ { t } $ 就會當共式子改寫做離散的形式 :

` ` `
$ { X } \ left ( { n { \ Delta _ { t } } , m { \ Delta _ { f } } } \ right )=\ sum \ limits _ { p=-\ infty } ^ { \ infty } { w \ left ( { ( n-p ) { \ Delta _ { t } } } \ right ) { x } \ left ( { p { \ Delta _ { t } } } \ right ) } { e ^{-j 二 \ pi \ , mp { \ Delta _ { t } } { \ Delta _ { f } } } } { \ Delta _ { t } } $
` ` `

$ w ( t ) \ cong 零 \ qquad for \ left | t \ right | > B , { \ frac { B } { \ Delta _ { t } } }=Q $
$ w ( ( n-p ) \ Delta _ { t } ) \ cong 零 \ qquad $
$ for \ left | n-p \ right | > { \ frac { B } { \ Delta _ { t } } } $
, $ \ left | p-n \ right | > Q $
therefore , only when
$-Q < p-n < Q $
$ w ( ( n-p ) \ Delta _ { t } ) $ is nonzero
改寫為著講 :

` ` `
$ { X } \ left ( { n { \ Delta _ { t } } , m { \ Delta _ { f } } } \ right )=\ sum \ limits _ { p=n-Q } ^ { n + Q } { w \ left ( { ( n-p ) { \ Delta _ { t } } } \ right ) { x } \ left ( { p { \ Delta _ { t } } } \ right ) } { e ^ {-j 二 \ pi \ , mp { \ Delta _ { t } } { \ Delta _ { f } } } } { \ Delta _ { t } } $ 就按呢即可實現
` ` `

$ e ^ {-\ pi \ sigma a ^ { 二 } } < 空空空空空一 $ $ when \ left | a \ right | > 一孵九一四三 $
$ Q={ \ frac { 一孵九一四三 } { { \ sqrt { \ sigma } } \ Delta t } } $
$ B={ \ frac { 一孵九一四三 } { \ sqrt { \ sigma } } } $

====限制====

* 避免發生俗音應該 ( aliasing effect )

( 一 ) $ { \ Delta _ { t } } < { \ frac { 一 } { 二 \ Omega } } \ qquad { \ Omega }={ { \ Omega _ { x } } + { \ Omega _ { w } } } $

====時間複雜度====

O ( TFQ ) T : 時間取樣點數 F : 頻率取樣點數 Q : $ Q={ \ frac { 一孵九一四三 } { { \ sqrt { \ sigma } } \ Delta t } } $

====優缺點====


: 優點：簡單實現，限制條件少


: 缺點：時間複雜度懸

===FFT-Based Method ( 快速傅立葉轉換 )===

由 Direct Implementation 會當提落來

` ` `
$ { X } \ left ( { n { \ Delta _ { t } } , m { \ Delta _ { f } } } \ right )=\ sum \ limits _ { p=n-Q } ^ { n + Q } { w \ left ( { ( n-p ) { \ Delta _ { t } } } \ right ) { x } \ left ( { p { \ Delta _ { t } } } \ right ) } { e ^ {-j 二 \ pi \ , mp { \ Delta _ { t } } { \ Delta _ { f } } } } { \ Delta _ { t } } $
` ` `

令 $ q=p-( n-Q ) \ to p=( n-Q ) + q $ 而且離散傅立葉轉換標準式 $ Y [m]=\ sum \ limits _ { n=零 } ^ { N 影一 } y [n] e ^ {-j { \ frac { 二 \ pi mn } { N } } } $ 所以欲按怎 :

` ` `
$ { X } \ left ( { n { \ Delta _ { t } } , m { \ Delta _ { f } } } \ right )={ \ Delta _ { t } } { e ^ { j { \ textstyle { { 二 \ pi \ , ( Q-n ) m } \ over N } } } } \ sum \ limits _ { q=零 } ^ { N 影一 } { x _ { 一 } \ left ( { q } \ right ) { e ^ {-j { \ textstyle { { 二 \ pi \ , qm } \ over N } } } } } $ 這个代誌共 $ { x _ { 一 } } $ 以 fft ( ) 算出帶入即可實現
` ` `

其中 $ { x _ { 一 } } \ left ( q \ right )=w \ left ( { ( Q-q ) { \ Delta _ { t } } } \ right ) x \ left ( { ( n-Q + q ) { \ Delta _ { t } } } \ right ) $ , $ 零 \ leq q \ leq 二 Q $ , $ w ( t )=e ^ {-\ pi \ sigma t ^ { 二 } } $


: $ { x _ { 一 } } \ left ( q \ right )=零 , 二 Q < q \ leq N $


: $ Q={ \ frac { 一孵九一四三 } { { \ sqrt { \ sigma } } \ Delta t } } $


: $ B={ \ frac { 一孵九一四三 } { \ sqrt { \ sigma } } } $

* Matlab 佮 python 攏會當呼叫 fft 函式來完成 $ Y [m]=\ sum \ limits _ { n=零 } ^ { N 影一 } y [n] e ^ {-j { \ frac { 二 \ pi mn } { N } } } $
* 演算法假設 $ t=n _ { 零 } \ Delta _ { t } , ( n _ { 零 } + 一 ) \ Delta _ { t } , \ cdots \ cdots , ( n _ { 零 } + T 影一 ) \ Delta _ { t } $


: $ \ , f=m _ { 零 } \ Delta _ { f } , ( m _ { 零 } + 一 ) \ Delta _ { f } , \ cdots \ cdots , ( m _ { 零 } + F 影一 ) \ Delta _ { f } $


: step 一：計算 $ n _ { 零 } , m _ { 零 } , T , F , N , Q $


: step 二：$ n=n _ { 零 } $


: step 三：決定 $ x _ { 一 } ( q ) $


: step 四：$ X _ { 一 } ( m )=FFT [x _ { 一 } ( q )] $


: step 五：轉換 $ X _ { 一 } ( m ) $ 成 $ X ( n \ Delta _ { t } , m \ Delta _ { f } ) $


: step 六：設 $ n=n + 一 $ and return to Step 三 until $ n=n _ { 零 } + T + 一 $

====限制====

* 避免發生俗音應該 ( aliasing effect )


: ( 一 ) $ { \ Delta _ { t } } < { \ frac { 一 } { 二 \ Omega } } \ qquad { \ Omega }={ { \ Omega _ { x } } + { \ Omega _ { w } } } $ ( 基本上任何實現方法攏愛避免發生頻效應 )


: ( 二 ) $ { \ Delta _ { t } } { \ Delta _ { f } }={ \ textstyle { 一 \ over { N } } } $


: ( 三 ) $ N=一 / { \ Delta _ { t } } { \ Delta _ { f } } \ geq 二 Q + 一 $

====時間複雜度====

$ $
O ( TN { \ log _ { 二 } } N )
$ $

====優缺點====


: 優點：時間複雜度低


: 缺點：限制條件較直接實現法濟

===Chirp Z Transform===

改寫為著講 :
由 Direct Implementation 會當提落來

` ` `
$ { X } \ left ( { n { \ Delta _ { t } } , m { \ Delta _ { f } } } \ right )=\ sum \ limits _ { p=n-Q } ^ { n + Q } { w \ left ( { ( n-p ) { \ Delta _ { t } } } \ right ) { x } \ left ( { p { \ Delta _ { t } } } \ right ) } { e ^ {-j 二 \ pi \ , mp { \ Delta _ { t } } { \ Delta _ { f } } } } { \ Delta _ { t } } $
` ` `

$ e ^ {-\ pi \ sigma a ^ { 二 } } < 空空空空空一 $ $ when \ left | a \ right | > 一孵九一四三 $
$ Q={ \ frac { 一孵九一四三 } { { \ sqrt { \ sigma } } \ Delta t } } $
$ B={ \ frac { 一孵九一四三 } { \ sqrt { \ sigma } } } $

令 $ exp (-j 二 \ pi \ , mp { \ Delta _ { t } } { \ Delta _ { f } } )=exp (-j \ pi \ , p ^ { 二 } { \ Delta _ { t } } { \ Delta _ { f } } ) exp ( j \ pi \ , { ( p-m ) } ^ { 二 } { \ Delta _ { t } } { \ Delta _ { f } } ) exp (-j \ pi \ , m ^ { 二 } { \ Delta _ { t } } { \ Delta _ { f } } ) $ 阮有改寫做 :

` ` `
$ { X } \ left ( { n { \ Delta _ { t } } , m { \ Delta _ { f } } } \ right )={ \ Delta _ { t } } \ sum \ limits _ { p=n-Q } ^ { n + Q } { w \ left ( { ( n-p ) { \ Delta _ { t } } } \ right ) { x } \ left ( { p { \ Delta _ { t } } } \ right ) } { e ^ {-j 二 \ pi \ , mp { \ Delta _ { t } } { \ Delta _ { f } } } } \ to { X } \ left ( { n { \ Delta _ { t } } , m { \ Delta _ { f } } } \ right )={ \ Delta _ { t } } { e ^ {-j \ pi \ , m ^ { 二 } { \ Delta _ { t } } { \ Delta _ { f } } } } \ sum \ limits _ { p=n-Q } ^ { n + Q } { w \ left ( { ( n-p ) { \ Delta _ { t } } } \ right ) { x } \ left ( { p { \ Delta _ { t } } } \ right ) } { e ^ {-j \ pi \ , p ^ { 二 } { \ Delta _ { t } } { \ Delta _ { f } } } } { e ^ { j \ pi \ , { ( p-m ) } ^ { 二 } { \ Delta _ { t } } { \ Delta _ { f } } } } $ 就按呢即可實現
` ` `

* 演算法


: Step 一 : $ x _ { 一 } [p]=w ( ( n-p ) \ Delta _ { t } ) x ( p \ Delta _ { t } ) e ^ {-j \ pi p ^ { 二 } \ Delta _ { t } \ Delta _ { f } } $ $ \ quad \ quad n-Q \ leq p \ leq n + Q $


: Step 二 : $ X _ { 二 } [n , m]=\ sum _ { p=n-Q } ^ { n + Q } x _ { 一 } [p] c [m-p] \ quad \ quad c [m]=e ^ { j \ pi m ^ { 二 } \ Delta _ { t } \ Delta _ { f } } $


: Step 三 : $ X ( n \ Delta _ { t } , m \ Delta _ { f } )=\ Delta _ { t } e ^ {-j \ pi m ^ { 二 } \ Delta _ { t } \ Delta _ { f } } X _ { 二 } [m , n] $

====限制====

* 避免發生俗音應該 ( aliasing effect )

( 一 ) $ { \ Delta _ { t } } < { \ frac { 一 } { 二 \ Omega } } \ qquad { \ Omega }={ { \ Omega _ { x } } + { \ Omega _ { w } } } $

====時間複雜度====

$ $
O ( TN { \ log _ { 二 } } N )
$ $

====優缺點====


: 優點：限制條件佮 Direct Implementation 法仝款基本上無限制


: 缺點：時間複雜度佮 FFT-Based Method ( 快速傅立葉轉換 ) 仝款

* 毋過因為加伯轉換無法度使用 Recursive Method ( 遞迴法 ) 所以這袂當算講是缺點

==特性==

加伯轉換的大部份的特性佮方形窗函數短時距傅立葉轉換的特性攏相𫝛，有一寡特性甚至閣較接近傅立葉轉換的特性。

* 積分特性


: 當 $ k \ neq 零 , \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } G _ { x } ( t , f ) e ^ { j 二 \ pi ktf } \ , df=e ^ {-\ pi ( k 影一 ) ^ { 二 } t ^ { 二 } } x ( kt ) $


: 當 $ k=零 , \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } G _ { x } ( t , f ) \ , df=e ^ {-\ pi t ^ { 二 } } x ( 零 ) $


: 當 $ k=一 , \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } G _ { x } ( t , f ) e ^ { j 二 \ pi tf } \ , df=x ( t ) $ ( 閣原成原始信號 )

* 位移特性


: 若是 $ y ( t )=x ( t-t _ { 零 } ) \ , $，著 $ G _ { y } ( t , f )=G _ { x } ( t-t _ { 零 } , f ) e ^ {-j 二 \ pi ft _ { 零 } } \ , $

* 調變特性


: 若是 $ y ( t )=x ( t ) e ^ { j 二 \ pi f _ { 零 } t } \ , $，著 $ G _{ y } ( t , f )=G _ { x } ( t , f-f _ { 零 } ) \ , $

* 線性特性


: 若是有一信號 $ h ( t )=\ alpha x ( t ) + \ beta y ( t ) \ , $，$ G _ { h } ( t , f ) , G _ { x } ( t , f ) , G _ { y } ( t , f ) \ , $ 分別為 $ h ( t ) , x ( t ) , y ( t ) \ , $ 做彼个加伯仔轉換的結果，著 $ G _ { h } ( t , f )=\ alpha G _ { x } ( t , f ) + \ beta G _ { y } ( t , f ) \ , $。

* 功率衰減特性


: 若是 $ t > t _ { 零 } $ 時 $ x ( t )=零 $，著


: $ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } | G _ { x } ( t , f ) | ^ { 二 } df < e ^ { 鋪二 \ pi ( t-t _ { 零 } ) ^ { 二 } } \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } | G _ { x } ( t _ { 零 } , f ) | ^ { 二 } df $

* 能量積分特性


: $ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } | G _ { x } ( t , f ) | ^ { 二 } \ , df=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } | x ( \ tau ) | ^ { 二 } \ , d \ tau \ simeq \ int _ { u 抹一爿九一四三 } ^ { u + 一孵九一四三 } e ^ { 鋪二 \ pi ( \ tau-u ) ^ { 二 } } | x ( \ tau ) | ^ { 二 } \ , d \ tau $


: $ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } G _ { x } ( t , f ) G _ { y } ^ { * } ( t , f ) \ , dfdt=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } x ( \ tau ) y ^ { * } ( \ tau ) \ , d \ tau $

* 能量總和特性


: $ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } G _ { x } ( t , f ) G _ { y } ( t , f ) dfdt=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } x ( \ tau ) y ( \ tau ) d \ tau $

* 特殊的信號


: 一 . 當 $ x ( t )=\ delta ( t ) \ , $，$ G _ { x } ( t , f )=e ^ {-\ pi t ^ { 二 } } $


: 二 . 當 $ x ( t )=一 \ , $，$ G _ { x } ( t , f )=e ^ { j 二 \ pi ft } e ^ { \ pi f ^ { 二 } } \ , $


: 交方形窗函數短時距傅立葉轉換無仝款的是，加伯仔轉換的結果對時間佮頻率較對稱，嘛較無邊波 ( sidelobe )；嘛印證矣欲講的就是，加伯轉換較會維持兩个軸的解析度。

==優缺點==

* 優點：時頻圖較清楚
* 缺點：計算複雜度比方形窗函數短時傅立葉變換來的懸，因為需要做窗函數內佮信號本身的乘法。

==參見==

* 閔可夫斯基空間
* 柯西不等式
* 三角無等式
* 完備空間

==參考書目、資料來源==

一 . Jian-Jiun Ding , Time frequency analysis and wavelet transform class notes , the Department of Electrical Engineering , National Taiwan University ( NTU ) , Taipei , Taiwan , 二千空一十一 .
二 . Alan V . Oppenheim , Ronald W . Schafer , John R . Buck  : Discrete-Time Signal Processing , Prentice Hall , ISBN 空九十三五七十五五四千九百二十五二三 . S . Qian and D . Chen , Joint Time-Frequency Analysis : Methods and Applications , Chap . 五 , Prentice Hall , N . J . , 九百九十六 .
四 . Jian-Jiun Ding , Time frequency analysis and wavelet transform class notes , the Department of Electrical Engineering , National Taiwan University ( NTU ) , Taipei , Taiwan , 二千空二十 .
五 . S . C . Pei and S . G . Huang , _ STFT with adaptive window width based on the chirp rate _ . IEEE Transactions on Signal Processing , vol . 六十 , issue 八 , pp . 四千空六十五五五四千空八十 , 二千空一十二 .

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