檢視加性高斯白雜訊的原始碼

'''加性高斯白雜訊'''（英語：Additive white Gaussian noise，AWGN）佇通訊領域中指的是一種功率譜函數是常數（即白雜訊）， 而且振幅服對高斯分布的雜訊訊號。因為伊其實會當加性、振幅服對高斯分布而且文雜訊的一種而且著等。

這个雜訊號做一種方便佇分析的理想雜訊號，實際的雜訊訊號往往只佇某一頻段內面會當用高斯白雜訊的特性來進行近若像處理。因為 AWGN 訊號較好分析、近來親像，因為按呢佇訊號咧處理領域，著訊號處理系統（若濾波器、低噪音懸頻放大器、無線訊號傳輸等）的雜訊性能的簡單分析 ( 如：訊號雜訊比分析 ) 中，一般會使假設系統所產生的噪音抑是受著的噪音訊號干擾佇咧某頻段或者是限制條件之下是高斯白雜訊。

而且高斯白雜訊只是白雜訊的一種，另外有泊松白雜訊等等。

==頻道量==

AWGN 頻道由一系列的 $ Y _ { i } $（輸出）來表示，內底的 $ i $ 表示離散的時間事件索引。$ Y _ { i } $ 是 $ X _ { i } $（輸入）和 $ Z _ { i } $（雜訊）的數值和，其中 $ Z _ { i } $ 是獨立恆等分布的隨機變量並來自均值為零，方差為 $ N $（雜訊）的常態分布。$ Z _ { i } $ 會當進一步認為佮 $ X _ { i } $ 有關。


: $ Z _ { i } \ sim { \ mathcal { N } } ( 零 , N ) \ , \ ! $


: $ Y _ { i }=X _ { i } + Z _ { i } \ , \ ! $

頻道的容量是無散食的，除非雜訊 $ n $ 非零而且 $ X _ { i } $ 有夠額的約束。輸入中間上捷看的約束予人號做功率約束，這要求碼字 $ ( x _ { 一 } , x _ { 二 } , \ dots , x _ { k } ) $ 通過頻道傳送。阮有：


: $ { \ frac { 一 } { k } } \ sum _ { i=一 } ^ { k } x _ { i } ^ { 二 } \ leq P , \ , \ ! $

其中 $ P $ 代表頻道功率的上大值。所致頻道量的功率約束會當通過以下公式予出：


: $ C=\ max _ { f ( x ) { \ text { s . t . } } E \ left ( X ^ { 二 } \ right ) \ leq P } I ( X ; Y ) \ , \ ! $

遮，$ f ( x ) $ 是 $ X $ 的分布。$ I ( X ; Y ) $ 會當楦闊做微分辨的形式：


: $ { \ begin { aligned } I ( X ; Y )=h ( Y )-h ( Y | X ) &=h ( Y )-h ( X + Z | X ) &=h ( Y )-h ( Z | X ) \ end { aligned } } \ , \ ! $

猶毋過 $ X $ 和 $ Z $ 是獨立的，所以：


: $ I ( X ; Y )=h ( Y )-h ( Z ) \ , \ ! $

通過計算是高斯微分辨會當予出：


: $ h ( Z )={ \ frac { 一 } { 二 } } \ log ( 二 \ pi eN ) \ , \ ! $

因為乎 $ X $ 和 $ Z $ 是獨立的而且𪜶的和予出矣 $ Y $：


: $ E ( Y ^ { 二 } )=E ( X + Z ) ^ { 二 }=E ( X ^ { 二 } ) + 二 E ( X ) E ( Z ) + E ( Z ^ { 二 } )=P + N \ , \ ! $

從此約束中，咱會當對微分辨的屬性當推斷出：


: $ h ( Y ) \ leq { \ frac { 一 } { 二 } } \ log ( 二 \ pi e ( P + N ) ) \ , \ ! $

所致通道量會當通過會當變做資訊內底上懸會當得著約束求得：


: $ I ( X ; Y ) \ leq { \ frac { 一 } { 二 } } \ log ( 二 \ pi e ( P + N ) )-{ \ frac { 一 } { 二 } } \ log ( 二 \ pi eN ) \ , \ ! $

其中 $ I ( X ; Y ) $ 佇咧


: $ X \ sim { \ mathcal { N } } ( 零 , P ) \ , \ ! $

時上大。

所以 AWGN 的頻道量量到底 $ C $ 會當由此予出：


: $ C={ \ frac { 一 } { 二 } } \ log \ left ( 一 + { \ frac { P } { N } } \ right ) \ , \ ! $

==時域內底的影響==

佇咧序列數據通訊中，AWGN 數學模型被用來對由隨機顫動引發的時間性錯誤建模。

右圖內底有展示佮 AWGN 關聯的時間性錯誤。變量 $ \ Delta t $ 表示零點交叉處的無確定性。當 AWGN 中的振幅被提升時，訊號雜訊比降低。這致使無確定性 $ \ Delta t $ 降低。

彼受 AWGN 影響的時陣。輸入是一个正弦波的時陣，狹通頻𤆬濾波輸出中的每一秒，不管是正向趨倚佇零點交叉抑是負趨向佇零點交叉的平均數攏是：


: $ { \ frac { \ mathrm { positive \ zero \ crossings } } { \ mathrm { second } } }={ \ frac { \ mathrm { negative \ zero \ crossings } } { \ mathrm { second } } } $


: $=f _ { 零 } { \ sqrt { \ frac { \ mathrm { SNR } + 一 + { \ frac { B ^ { 二 } } { 十二 f _ { 零 } ^ { 二 } } } } { \ mathrm { SNR } + 一 } } } $

其中

* f 零=濾波的中心頻率
* B=濾波器紮闊
* SNR=線性關係著的信噪音功率比

==相域內底的影響==

佇咧現代通訊系統內底，帶寬受限的 AWGN ( 加性高斯白雜訊 ) 無去忽視。統計分析表明，對相量域內底帶寬受限的 AWGN 調變的時陣，實部佮虛部的振幅是遵循高斯分布模型的互相獨立的變量。組合了後，所產生的相量是符合瑞利分布的隨機變量，若其相位對無到二 π 分佈齊勻。

==參照==

* 接地反彈
* 有噪道編碼定理
* 高斯的過程

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