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'''愛因斯坦-波多而已斯基-羅森弔詭'''（英語：Einstein-Podolsky-Rosen paradox）， 簡稱「'''愛波羅弔詭'''」、「'''EPR 弔詭'''」（EPR paradox）是阿爾伯特 ・ 愛因斯坦、鮑里斯 ・ 波多爾斯基佮納森 ・ 羅森佇一九三五年發表的一篇論文中，以拈詭的形式針對量子力學的阿兄本哈根詮釋提出的早期重要批評。

佇這篇題為《能認為量仔力學對物理實在的描述是完全的是無？》（英語：Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete ?，落稱「EPR 論文」）的論文中，𪜶設計出一个思想實驗，這號做「EPR 思想實驗」。 借著檢驗兩个量仔交纏粒仔所呈現的關聯性物理行為，EPR 思想實驗凸顯出定域實在論和量子力學完備性之間的矛盾，所以，這論述予人叫做「EPR 弔詭」。

EPR 論文並無質疑量子力學的正確性，伊質疑的是量仔力學的無完備性。EPR 論文是建立於貌若合理的假使 ─ ─ 定域論佮實在論，合稱做定域實在論。定域論只允准佇某區域發生的事件以無超過光速的傳達方式影響其他區域。實在論主張，做實驗觀測著的現象是出自於某種物理實在，這物理實在佮觀測的動作無關係。嘛會使講，定域論無允准鬼魅般的超距作用，實在論堅持，就算無人賞月，月娘猶原存在。共定域論佮實在論合做伙，定域實在論闡明，佇咧某乜區域發生的事件袂當隨影響佇咧其他的區域的物理實在，傳遞影響的速度必須被納入考量。佇學術界內底，遮的準講引起強烈的爭論，特別是佇咧兩位諾貝爾物理學獎得主愛因斯坦佮尼爾斯 ・ 波耳之間。

EPR 論文表明，假若定域實在論成立，著會當推捒出量仔力學的無完備性。佇彼个時陣，足濟物件理學者攏支持定域實在論，猶毋過，定域實在論這假使到底徛會牢抑是跤抑是等咧查的問題。一九六四年，物理學者約翰 ・ 貝爾提出貝爾定理表明，定域實在論和量子力學的預測無符合。專門檢驗貝爾定理所得著的實驗結果，證實佮量子力學的預測符合，因此定著域實在論袂成立。

==理論概述==

根據量仔力學的無確定性原理，對微觀粒子做測量實驗，粒子的位置佮動量無相𫝛的時陣確定；假若愈準確地知影粒仔位置，是愈無準確地知影粒仔動量；反之亦然。愛因為按呢提問，無論有對著粒子做測量試驗，粒仔敢有有明確的位置？對這个問題，量仔力學的阿兄仔根本哈根詮釋表明，佇咧測量進前，粒子的位置無啥物意義。EPR 論文試證明，粒子具有物理實在的要素，譬如講位置，就按呢量子力學袂完備，量仔力學無法度佇咧測量進前，明確預測粒仔的位。

EPR 論文採用會觀察量動量佮位置來做伙講 EPR 弔詭，玻姆採用的會當觀察量是自旋，另外會用得使用的觀察量有足濟種。做實驗體現 EPR 案例，四常就咧使用光子偏振，因為真容易就會當做備佮測量光子的偏振。

===EPR 論文===

EPR 論文表示，任何成功的物理論著愛滿足以下兩个條件：

一 . 物理論著愛正確無錯。
二 . 物理論必須愛予出完備的描述。

對頭一个條件，物理理論到底敢有正確無錯，決定佇物理理論預測符合實驗檢驗結果的程度。佇這方面，EPR 論文並無共出任何評估，但是到今為止，量子力學的預測佮所有實驗檢驗結果之間，並無啥物明顯的差別。量子力學敢若正確無錯。EPR 論文主要較焦第二个條件，物理論的完備性。對這个論題，EPR 論文首先共出兩个嚴格定義：

一 . 完備性：物理實在每一个素攏必須佇物理論內有其對應的部份。嘛會使講，一个完備的物理理論必須會當正確來描述物理實在每一个素。
二 . 物理實在：若是佇咧對系統無造成任何攪擾的狀況下，會當準確地預測（即，以等於一个機率）某物理量的數值，對應該這物理量存在物理實在的要素。

EPR 論文紲來描述，進前交互作用的兩粒仔，咧分離了後的物理性質。假使兩粒粒 A、B 佇原點位置交互作用了後，以顛倒反方向移動分離。根據無確定性原理，因為位置算符和動量算符合無簡單，無法度同時確定粒子 B 的位置佮動量；位置愈確定則動量愈無確定，反之亦然。假使準測量出粒仔 A 的位置喔 $ x _ { A } $，因為粒子 A 佮粒子 B 之間相隔足遠的，測量粒子 A 袂去攪擾著粒仔 B，粒子 B 的位置會當準確來預測 $ x _ { B }=-x _ { A } $（機率是一）， 所以，按照實在性的判據，對測量粒子 B 的位置喔，必定存在物理實在的要素 $ \ rho _ { x } $。佇遮，作者假使測量粒仔 A 這个動作遵守定域論，另外咧，因為存在的物理實在的要素 $ \ rho _ { x } $，遵守實在論，粒子 B 的位置會當予人預測。類似地，假使準測量出粒仔 A 的動量，因為是測量粒仔 A 袂去攪擾著粒仔 B，粒子 B 的動量會當準確地預測為著 $ p _ { B }=-p _ { A } $（機率是一）， 所以，按照實在性的判據，對測量粒子 B 的動量，必定存在物理實在的要素 $ \ rho _ { p } $。

EPR 論文推論出 $ \ rho _ { x } $、$ \ rho _ { p } $ 攏是物理實在的要素，攏會當分別預先決定粒仔 B 的準確位置 $ x _ { B } $、準確動量 $ p _ { B } $。猶毋過，這違背量仔力學的無確定性原理，因為位置算符合佮動量算符合無簡單，無法度同時確定粒子 B 的位置佮動量。所以，對位置佮動量，量仔力學無法度出對應的理論要素。EPR 論文斷言，量仔力學對物理實在有影並無了備。EPR 論文總結：

> 阮已經指明波函數袂當對物理實在有完備性描述，佇這个同時，咱暫且按下閣囥佇這个所在是毋是有存在的問題，毋過咱相信講，這種完備性的理論可能有佇咧。
>
>

定域論佮實在論，綜合做定域實在論。EPR 作者藉著 EPR 思想實驗來指出定域實在論和量子力學完備性之間的矛盾，這个論述就是所謂的「EPR 弔詭」。

愛因斯坦後來佇一九四九年發表論文對這弔詭重新加以表述。總結其內容，「 EPR 定理」顯明，下述兩項的論述無相符合：

一 . 量子態對單獨系統予出完備和詳盡的描述。
二 . 兩个空間相隔的物體各人有各人獨立的物理實在，即定域實在論。

佇這兩項論述內底，干焦會當選擇贊同一項，抑是攏無贊同。愛因斯坦選擇第二項，波耳是選擇頭一項。

===玻姆版本===

一九五一年，戴維 ・ 玻姆提出了 EPR 弔詭的另外一種版本，閣叫做「EPRB 弔詭」。 這个版本測量粒仔的離散自旋沿某特定軸的分量，毋免量位置佮動量這兩个連續變量。使用斯特恩-革拉赫儀器，會當真容易的測量出這粒仔的自旋沿著磁場軸的量。

假使一个零自旋中性 π 介子衰變做一个電子佮一个正電子。這兩个衰變產物隨人向相反方向徙動。電子徙動咧區域 A，佇遐的觀察者「愛麗絲」會觀測電子自旋沿著某特定軸的量；正電子徙動到區域 B，佇遐的觀察者「鮑榮」就會觀測著正電子的相關性質。這兩个交纏粒仔共同形成做零自旋單態 $ \ left | \ psi \ right \ rangle $，是兩个直積態的疊加，以狄拉克標記表示為


: $ \ left | \ psi \ right \ rangle={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 } } } { \ bigg ( } \ left | + z \ right \ rangle \ otimes \ left |-z \ right \ rangle-\ left |-z \ right \ rangle \ otimes \ left | + z \ right \ rangle { \ bigg ) } $。

佇圓括弧內，講第一項項目 $ \ left | + z \ right \ rangle \ otimes \ left |-z \ right \ rangle $ 為直積態 I，是兩个量子態 $ \ left | + z \ right \ rangle $、$ \ left |-z \ right \ rangle $ 的張量乘積，第二項項目 $ \ left |-z \ right \ rangle \ otimes \ left | + z \ right \ rangle $ 為直積態 II，是兩个量子態 $ \ left |-z \ right \ rangle $、$ \ left | + z \ right \ rangle $ 的張量乘積。佇直積態 I 內底，量仔態做 $ \ left | + z \ right \ rangle $ 的電子，其家己旋的 z 軸分量 $ S _ { z } $ 為正值；量仔態做 $ \ left |-z \ right \ rangle $ 的正電子，其實 $ S _ { z } $ 為負值。佇直積態 II 內底，量仔態做 $ \ left |-z \ right \ rangle $ 的電子，其實 $ S _ { z } $ 為負值；量仔態做 $ \ left | + z \ right \ rangle $ 的正電子，其實 $ S _ { z } $ 為正值。假使若無做測量，無法度知影這兩粒中任何一粒的 $ S _ { z } $；根據哥本哈根詮釋，這變量根本無存在。

這單態具有轉踅無變性，對任意取向參考軸，伊保持仝款的性質。比如講，選擇任意 u 軸為參考軸，這个單態會當表示講


: $ \ left | \ psi \ right \ rangle={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 } } } { \ bigg ( } \ left | + u \ right \ rangle \ otimes \ left |-u \ right \ rangle-\ left |-u \ right \ rangle \ otimes \ left | + u \ right \ rangle { \ bigg ) } $。

這个單態的兩粒仔互相反關聯，測量自旋延著 u 軸的分量 $ S _ { u } $，假若電子的 $ S _ { u } $ 為正值，是正電子的 $ S _ { u } $ 為負值，假若電子的 $ S _ { u } $ 為負值，是正電子的 $ S _ { u } $ 為正值。量仔力學袂當預測到底是佗一組數值，但是量子力學會當預測，得著任何一組數值的機率。

設想愛麗絲測量電子的 $ S _ { z } $，伊可能會得著兩款結果：正值抑是負值，假若是伊得著正，是根據量仔力學的阿兄本哈根詮釋，單態塌勼做量子態 I，隨後，若鮑榮測量正電子的 $ S _ { z } $，伊會得著負值；類似地，假使講愛麗絲得著負值，是單態塌勼做量子態 II，隨後鮑榮會得著正值。所以，通過測量電子的 $ S _ { z } $，愛麗絲會當準確地預測正電子的 $ S _ { z } $，而且完全袂攪擾著正電子。按照實在性的判據，對測量正電子的 $ S _ { z } $，必定存在物理實在的要素 $ \ Omega _ { z } $。

當然喔，選擇 z 軸並無任何特別意義，自旋單態嘛會當表示講 x 軸為參考軸的兩個直積態的疊加態：


: $ \ left | \ psi \ right \ rangle={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 } } } { \ bigg ( } \ left | + x \ right \ rangle \ otimes \ left |-x \ right \ rangle-\ left |-x \ right \ rangle \ otimes \ left | + x \ right \ rangle { \ bigg ) } $。

測量電子自旋的 x 軸分量 $ S _ { x } $，若愛麗絲得著正，對了後鮑榮會測著正電子的 $ S _ { x } $ 為負值；若愛麗絲得著負值，則隨後鮑榮會得著正值；所以，通過測量電子的 $ S _ { x } $，愛麗絲會當準確地預測正電子的 $ S _ { x } $，而且完全袂攪擾著正電子。按照實在性的判據，對測量正電子的 $ S _ { x } $，必定存在物理實在的要素 $ \ Omega _ { x } $。

$ \ Omega _ { z } $、$ \ Omega _ { x } $ 攏是物理實在的要素，攏會當分別預先決定正電子的 $ S _ { z } $、$ S _ { x } $。猶毋過，這違背量仔力學的無確定性原理，因為乎 $ S _ { z } $、$ S _ { x } $ 毋著易，無法度同時確定講正電子的 $ S _ { z } $、$ S _ { x } $，所以，對於 $ S _ { z } $、$ S _ { x } $，量仔力學無法度出對應的理論要素，所以乎，EPR 論文斷言，量仔力學對物理實在有影並無了備。

==理論分析==

EPR 思想實驗主要是建立佇兩个基本假使：

一 . 假使實在論成立。
二 . 假使講設定域性原理正確無錯。

EPR 思想實驗使用實在論來表明物理實在的概唸，然後，試論述佮發展這个概念，意圖揣出這概念內含的閣較深層的意義。EPR 思想實驗閣利用定域性原理來明顯展示出實驗測量對物理實在所產生的影響，對欲來推捒出這思想實驗想欲表達的結論。

===定域性原理===

定域性原理表明，物體干焦會當直接予人抹著區域發生的事件所影響，遙遠區域發生的事件袂當用某種超過光速的傳達方式間接地影響這个物體。初看之下，這句話敢若足合理的，因為伊敢若是狹義相對論的後果。根據狹義相對論，資訊傳播的速度絕對袂比光速閣較緊，若無會違背著因果性，也就是講，佇某一種參考系會當觀測著資訊以逆時間方向傳播，後果會進前因為發生。任何理論，假使若是違背著因果性，則會造成邏輯弔詭，所以，這个理論無法度成立。

經過真濟擺的論證，物理學者發現，量仔力學理論違背了定域性原理，比如講，波函數塌抑是全仝粒子對稱化攏是非定域性行為。檢試貝爾定理的實驗也證實量子膏膏纏違背了定域性原理，毋過量子力學理論並無違背因果性。

假使愛麗斯選定 u 軸的提向，做測量電子的 $ S _ { u } $ 時，波函數會去縮做對應 u 軸的兩个直積態 $ \ left | + u \ right \ rangle \ otimes \ left |-u \ right \ rangle $ 抑是 $ \ left |-u \ right \ rangle \ otimes \ left | + u \ right \ rangle $ 中的一个直積態，正電子的量子態嘛會約化做對應 u 軸的本徵態 $ \ left | + u \ right \ rangle $ 抑是 $ \ left |-u \ right \ rangle $。假若鮑榮測了正電子的量子態，就知影講 u 軸的提向。佇遮，通過傳播測量參數 u 軸的提向，毋是通過傳播測量的結果，實現超光速傳播資訊，違備因果性。u 軸的取向是測量參數，會使由測量者選定，會當利用做資訊；測量的結果有隨機性，袂當利用做資訊。

猶毋過，愛麗斯無可能藉著操縱伊的測量軸來傳播資訊予鮑榮。無論伊的測量軸為何，伊得著正值的機率 ㄧ 半，得著負值的機率為 ㄧ 半，這是完全隨機的結果。佇區域 B，鮑榮干焦會當做一改測量，這是因為不可複製原理無允准會徙動到區域 B 的正電子摻以複製做千上萬个正電子，然後測量其中每一个正電子的自旋，閣分析得著的統計分佈結果。按呢乎，對鮑榮所會當做的一改測量，得著正值的機率做百分之五十，得著負值的機率做百分之五十，無論伊的測量軸敢有佮愛麗斯仝款。所以，鮑榮無法度測甲正電子的量子態，伊無法度對伊的測量結果著知艾麗絲的測量軸方向。

既然量子力學的描述並無違背因果性，敢會當放輕鬆定域性原理的條件，共資訊傳達的速度限制是低於光速的某有限速度？佇咧 EPRB 思想實驗內底，假使愛麗絲測量電子的 $ S _ { z } $，是根據量仔力學的阿兄本哈根詮釋，單態 $ \ left | \ psi \ right \ rangle $ 會有限速度崩去做量的態度 I 抑是量子態 II。假使若崩去到地 B 進前，測量正電子的 $ S _ { z } $，是得著正值的機率做百分之五十，得著負值的機率做百分之五十，啊若塌落去到地 B 了後，正電子佮電子的 $ S _ { z } $ 分別呈相反值，所以，佇崩去到地 B 進前，兩粒的 $ S _ { z } $ 分別呈相仝值的機率做百分之五十，這違背了角動量守恆定律，所以乎，量的量態袂使有限速度崩去，是佇咧連鞭時間完成崩去。

定域性原理對物理直覺相當有吸引力，是狹義相對論的基礎，EPR 作者毋願輕易共擲捒。愛因斯坦甚至共非定域性量的行為剾洗為「鬼魅般的超距作用」，這是伊袂使相信量子力學的主要原因之一，伊認為講物理論無應該存在任何鬼魅般的超距作用。換一个角度來共看，量仔力學的非定域性行為意謂著，佇某一種狀況下，狹義相對論可能需要修正；照量子力來學，量仔交纏是比時空閣較為基本的概念。閣換另外一个角度來共看，根據狹義相對論，資訊傳遞速度袂當超過光速，猶毋過，根據勞侖茲相對論，光速並毋是上限，資訊傳達的速度會當超過光速。佇咧速度誠低光速的狀況，狹義相對論佮勞侖茲相對論會予出仝款的物理。約翰 ・ 貝爾就捌隱約的講著這條點。勞侖茲相對論意味著乙太的存在，毋過，乙太的存在尚待證實。

===實在論===

實在論表明，做實驗觀測著的現象是出自於某種物理實在，這物理實在佮觀測無關係。假使做斯特恩-革拉赫實驗測量一个自旋二分之一粒子的 $ S _ { z } $，得著結果為著 $ + \ hbar / 二 $，請問佇測量進前短暫片刻內，粒子的 $ S _ { z } $ 為何？實在派會講，答案是 $ + \ hbar / 二 $。假使講這个答案正確，著愛推斷，量仔力學並無完備，因為量仔力學無法度予出這答案，雖然量子力學予出的答案攏非常正確。實在派進一步咧臆，敢有啥物猶未發現的隱變量會使予出量的力學所袂使給出的結果，促使量子力學變甲完備無缺？

愛因斯坦白大量子力學的統計性質，伊認為講，物理學者應該會當予出一个實在模型來直接描寫事件本身，毋是𪜶發生的機率。愛因斯坦佮量子力學的真正分歧點毋是決定論，是實在論。伊否認捌使用決定論來判斷一个理論正確佮。無論敢是觀測，物體攏有特定性質。伊曾經對亞伯拉罕 ・ 派斯提出一个耐人走揣的問題：「 月娘敢有猶原有存在，就算無人賞月？」

另外一派包括尼爾斯 ・ 波耳在內的物理學者認為，咧測量這粒子的 $ S _ { z } $ 進前，這變量並無存在。遮的物理學者屬於「正統派」，抑是「哥本哈根學派」。 𪜶有的彼个「正統派」觀點是哥本哈根詮釋的一部份。照這个觀點，物理性質的客觀實在佮觀測有關係，無予觀測的物體無有物理性質。波耳聲明，「 無量仔世界，干焦抽象量的子力學描述。咱無應該叫是物理學的工課是發現大自然的本質。物理干焦牽涉著咱欲按怎共伊講大自然」帕斯庫爾 ・ 約當強調，「 觀測毋但攪擾予人測量的性質，𪜶造成這个性質…… 咱家己造成我測量的結果。」大多數量子學者攏有這觀點，雖然這觀點嘛予測量動作有夠奇怪的功能。

===定域實在論===

將定域性原理佮實在論綜合做伙，定域實在論表明，微觀粒子有量、良好定義的物理實在，袂予人佇遙遠區域發生的事件以超光速度影響。佇咧 EPR 弔詭內底，按照定域性原理，測量電子佇區域 A 的 $ S _ { z } $，袂影響正電子佇區域 B 的 $ S _ { z } $，若共了後正電子數據佮電子數據相比，兩个人所得的結果恰恰反反，若知影電子的 $ S _ { z } $，就會當預測正電子的 $ S _ { z } $，所以，咧測量電子的 $ S _ { z } $ 進前，正電子 B 就已經有具體的 $ S _ { z } $，即實在論著愛予人遵守，猶毋過，量仔力學對這結果並無予出任何相關的論述，所以乎，量仔力學並無完備。

波耳無贊同 EPR 思想實驗的結論，伊所反對的毋是其推論，是其假使講 ─ ─ 定域實在論。波耳認為，實在性判據的「對系統無造成任何攪擾的狀況」這句話的語意含霧嗄嗄。波耳承認，佇愛麗絲測量電子的時，鮑猛的正電子並無受著任何「機械性攪擾」，猶毋過，愛麗絲測量電子這動作實際影響了某寡條件，啊若這个條件誠拄好設定矣對鮑榮的正電子未來行為會當做佗一寡預測。因為愛麗絲伊佇區域 A 測量電子的位這个動作，伊會當預測佇區域 B 正電子的位置，伊袂當藉這測量動作預測正電子的動量；仝款所在，因為愛麗絲伊佇區域 A 測量電子的動量這動作，伊會當預測佇區域 B 正電子的動量，但伊嘛袂當藉這測量動作預測正電子的位置。問題是，哪有可能仝時陣出在位置佮動量的實在要素？從此推斷，EPR 弔詭的假使 ─ ─ 定域實在論 ─ ─ 無成立。

另外一種角度來看，袂當分性的概念會當用來分析 EPR 弔詭。假做一个量子系統是由幾个亞系統組成，因為量仔膏膏纏，整體系統所有的某一種物理性質，亞系統袂當私自具有，這陣，袂當對亞系統予定這款物理性質，只會當對整體系統予定這款物理性質，伊具有「無法度分性」。 這性質無一定佮空間有關係，佇仝一區域的幾个物理系統，彼此之間無任何交纏，𪜶各自有應該有的物理性質。物理學者艾雪 ・ 佩雷斯予出不可分性的數學定義式，會當計算出整體系統到底會當分抑袂當分。假使整體系統有袂當分性，並且這袂當分性佮空間無關係，則會當共伊的兩个亞系統分別囥佇兩个相隔遙遠的區域，凸顯出無法度分性佮定域性的無仝 ─ ─ 雖然𪜶之間分隔遙遠，猶原袂當共𪜶發落。佇咧 EPR 弔詭內底，因為兩粒粒分別佇咧兩个相隔離真遠的區域，整體系統予人認為有可分性，但因為量仔膏膏纏，整體系統實際有袂當分性，整體系統所有明確的自旋，𪜶攏無啥有。

定域實在論是古典力學、相對論、電磁學內底足重要的特色，猶毋過，因為非定域量仔交纏理論，量仔力學袂當接受定域實在論。EPR 弔詭嘛袂當接受非定域量子交纏理論，因為這个理論可能佮相對論發生衝突。

==弔詭的解答==

測量自旋沿佗一个參考軸的分量，愛麗絲佮鮑榮攏會得著相反的結果。這干焦會當解說兩粒做伙以某種方式連結做伙。這馬出兩種可能：

* 隱變量理論：一種可能是，咧成的時陣，𪜶的自旋沿每一个參考軸就有明確的分量。
* 波數縮縮理論：另外一種可能是，做測量電子的 $ S _ { u } $ 時，波函數會去縮做對應 u 軸的兩个直積態 $ \ left | + u \ right \ rangle \ otimes \ left |-u \ right \ rangle $ 抑是 $ \ left |-u \ right \ rangle \ otimes \ left | + u \ right \ rangle $ 中的一个直積態，所以，正電子的 $ S _ { u } $ 會被測量出倒反的數值。

===隱變量===

EPR 作者提議，雖然佇真濟實驗檢驗案例內底，量仔力學攏會當預測出非常正確的實驗結果，實際來講，伊是一个無完備理論，嘛會使講，可能存在某一種描述大自然、猶未予人發現的完備理論，搤量子力學扮演的是一種統計近若像的角色，即量子力學是這完備理論的統計近來若像。佮量子力學無仝，這完備理論會使共出變做量來對應該每一个實在欲素，並且，必定有某一種機製作用佇咧遮的變量，予出無相容觀察量會觀測著的效應，即不確定性原理。這完備理論稱做隱變量理論。

為著說明這齣有無，舉一个簡單的隱變量理論案例。準講，粒仔源發射出的量仔零自旋單態，實際是近來講有明確 $ S _ { z } $、$ S _ { x } $ 的「真實量子態」。 佇遮的真實量子態內，鮑榮對正電子佮愛麗斯對電子的測量結果，其數值分別顛倒反，除了特點以外，自旋分量完全隨機。比如講，佇粒仔源發射出的第一對粒仔內，電子的真實量子態是 $ ( z + , x-) $、正電子的真實量子態是 $ ( z-, x + ) $；佇第二嘿粒子內底，電子的真實量子態是 $ ( z-, x-) $、正電子的真實量子態是 $ ( z + , x + ) $，像按呢模式，發射出足濟嘿粒子。注意著，假若鮑榮測量的參考軸佮愛麗斯仝款，則兩者必定會測量著顛倒反的自旋分量；另外咧，鮑榮會測量到正值抑是負值的機率分別為百分之五十。

假使限制測量的參考軸只會當為 z 軸與 x 軸，佇實驗方面袂分出這隱變量理論佮野力學有啥物無仝。實際來講，有無限濟个參考軸會當予愛麗斯佮鮑榮做測量，因此嘛必須愛有無限濟獨立的隱變量。猶毋過，這个論題並無嚴重，這是一个足簡單的隱變量理論，無定著閣較幼路的理論會當共論題補足。猶毋過，另外閣有閣較嚴重的挑戰面對隱變量這齣頭。

===貝爾不等式===

一九六四年，約翰 ・ 貝爾提出論文表明，對於 EPR 思想實驗，量仔力學的預測顯示無仝定域性隱變量理論。概略來講，假若測量兩粒的自旋分別沿路無仝心的分量，則量子力學會著的統計關聯性結果比定域性隱變量理論會著的結果愛強足濟的，貝爾不等式定量予出這差別，做實驗應該會當偵測出這差別。如同 EPR 作者，貝爾佇論文內的導引採用矣佮 EPR 思想實驗仝款的兩个假設：實在論和定域性原理。對這兩个假設，貝爾推導出重要結果 ─ ─ 貝爾不等式，貝爾提出貝爾定理：無任何定域隱變量理論會當複製所有的量子力學預測。意這意味著乎佇咧這兩个假設中間上無有一个假設無正確。

兩个方面就是，貝爾論文比 EPR 論文閣較深入。第一、貝爾論述的是隱變量，毋但是物理實在欲素。第二、做實驗會使檢試貝爾不等式，也就是講，檢試定域實在論這假講是毋是有瑕疵。貝爾論文干焦牽涉著命定性隱變量理論。後來，這論文予人推廣至隨機理論。物理學者閣發覺，這論文所的論述的並毋但是隱變量，伊閣論述著一寡並無真正執行測量的變量可能會有的測量結果。這種變量的存在號做反事實確定性假使。

佇彼貝爾論文發表了後，物理學者想出誠濟種實驗來檢試貝爾不等式，遮的實驗一般攏依賴測量光子偏振的機制。所有到今完成的實驗結果，攏違背貝爾不等式，符合量子力學預測。雖然遮的實驗結果並無證實量子力學具有完備性，貝爾定理若親像終結了定域實在論，必須愛違背定域論抑是違背實在論，抑是講同時違背兩个。遮爾簡單佮幼路的理論致使出極為重要的量子力學結果，物理學者亨利 ・ 斯泰魄因為按呢稱呼其為「意義上蓋深的科學發現」。

==影響佮應用==

EPR 拈詭揭露矣量仔測量過程的基本非古典性質，對物件推捒學者對量仔的力學的了解。佇咧 EPR 論文發表進前，測量不時咧予人看做是一種物理攪擾，直接作用被測量系統。比如講，測量電子的位置會當想像為著照一束光波於電子，這會攪擾電子，造成電子動量的無確定性。咧講量仔力學的科普文章內面，不時就會拄著這類的解說。EPR 弔詭指出這類解釋的錯誤之處，並且表明，測量一粒仔的性質，無需要直接攪擾這粒仔，會當改做測量佇遙遠區域佮這粒子互相交纏的粒子。

真濟當佇咧研發中的科技倚靠量仔交纏做基本運作機制。佇咧量仔密碼學內，交纏粒仔被用來傳遞的資訊，使用這種方法，任何竊聽動作必定會留下痕跡。佇咧量仔計算學內，交纏量子態會使做並行計算，使用這種方法，某一寡算法的運算速度比古典計算機足濟。

==數學表述==

使用量子力學的自旋形式論，會當嘿著 EPRB 弔詭做數學表述。表現電子、正電子自旋量子態的態向量分別存在佇咧二維複向量空間 $ \ mathbb { V } $，每一个量態對應該一个二維向量。向著 $ x $、$ y $、$ z $ 方向的自旋算符，分別標記做 $ S _ { x } $、$ S _ { y } $、$ S _ { z } $，以包立矩陣表示為：


: $ S _ { x }={ \ frac { \ hbar } { 二 } } { \ begin { bmatrix } 零 & 一 \ \ 一 & 零 \ end { bmatrix } } , \ quad S _ { y }={ \ frac { \ hbar } { 二 } } { \ begin { bmatrix } 零 &-i \ \ i & 零 \ end { bmatrix } } , \ quad S _ { z }={ \ frac { \ hbar } { 二 } } { \ begin { bmatrix } 一 & 零 \ \ 零 & 影一 \ end { bmatrix } } $；

其中，$ \ hbar $ 是約化普朗克常數。

自旋算符 $ S _ { z } $ 的本徵態表示為著


: $ \ left | + z \ right \ rangle={ \ begin { bmatrix } 一 \ \ 零 \ end { bmatrix } } , \ quad \ left |-z \ right \ rangle={ \ begin { bmatrix } 零 \ \ 一 \ end { bmatrix } } $。

自旋算符 $ S _ { x } $ 的本徵態表示為著


: $ \ left | + x \ right \ rangle={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 } } } { \ begin { bmatrix } 一 \ \ 一 \ end { bmatrix } } , \ quad \ left |-x \ right \ rangle={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 } } } { \ begin { bmatrix } 一 \ \ 影一 \ end { bmatrix } } $。

電子-正電子嘿的向量空間是 $ \ mathbb { V } \ otimes \ mathbb { V } $，電子向量空間佮正電子向量空間的張量積。自旋單態是


: $ \ left | \ psi \ right \ rangle={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 } } } { \ bigg ( } \ left | + z \ right \ rangle \ otimes \ left |-z \ right \ rangle-\ left |-z \ right \ rangle \ otimes \ left | + z \ right \ rangle { \ bigg ) } $；

其中，佇圓括弧內，頭一項項目 $ \ left | + z \ right \ rangle \ otimes \ left |-z \ right \ rangle $ 為量仔態 I，第二項項目 $ \ left |-z \ right \ rangle \ otimes \ left | + z \ right \ rangle $ 為量仔態 II。

這自旋單態嘛會當寫為


: $ \ left | \ psi \ right \ rangle={ \ frac { 影一 } { \ sqrt { 二 } } } { \ bigg ( } \ left | + x \ right \ rangle \ otimes \ left |-x \ right \ rangle-\ left |-x \ right \ rangle \ otimes \ left | + x \ right \ rangle { \ bigg ) } $；

其中，佇圓括弧內，頭一項項目、第二个項目分別為量子態 I、量仔態 II。

若欲講實在論按怎予人違背，著愛先顯示出佇愛麗斯測量電子的 $ S _ { z } $ 了後，鮑猛的正電子的 $ S _ { z } $ 已經予人唯一的決定矣，因此對應該一个實在的因素；仝款的道理，鮑猛的正電子的 $ S _ { x } $ 嘛對應該一个實在的因素。這是由量仔測量原理致使。做愛麗斯測量電子的 $ S _ { z } $ 時，規个量仔態 $ | \ psi \ rangle $ 縮起來 $ S _ { z } $ 的一个本徵態。假若測量結果為著正，是這種氣味的量子態 $ | \ psi \ rangle $ 佇測量了後隨經過一个正交投影到以下量子態空間：


: $ \ left | + z \ right \ rangle \ otimes \ left | \ phi \ right \ rangle \ quad \ phi \ in \ mathbb { V } $。

對𪜶自旋單態，新量仔態做


: $ \ left | + z \ right \ rangle \ otimes \ left |-z \ right \ rangle $。

類似地，假若愛麗斯的測量結果為負值，是量仔態 $ | \ psi \ rangle $ 佇測量了後隨經過一个正交投影到以下量子態空間：


: $ \ left |-z \ right \ rangle \ otimes \ left | \ phi \ right \ rangle \ quad \ phi \ in \ mathbb { V } $。

所以，新量仔態做 : $ \ left |-z \ right \ rangle \ otimes \ left | + z \ right \ rangle $。

這意味對鮑榮測量正電子的 $ S _ { z } $ 所得著的答案已經予人唯一地決定矣。這對頭一个案例，答案是負值，對第二个案例，答案是正值。

賰落來需要做的就是證明，佇咧量仔力學內，$ S _ { x } $、$ S _ { z } $ 袂當同時有明確值。這是因為兩个算符合著無簡單：


: $ \ left [S _ { x } , S _ { z } \ right]=-i \ hbar S _ { y } \ neq 零 $。

𪜶必須遵守無確定性原理：


: $ \ left \ langle ( \ Delta S _ { x } ) ^ { 二 } \ right \ rangle \ left \ langle ( \ Delta S _ { z } ) ^ { 二 } \ right \ rangle \ geq { \ frac { 一 } { 四 } } \ left | \ left \ langle \ left [S _ { x } , S _ { z } \ right] \ right \ rangle \ right | ^ { 二 } $。

==歷史==

佇咧第五、六改索爾維會議，愛因斯坦分別提出兩个思想實驗，試圖凸顯無確定性原理按怎無成立，對而且質疑量子力學的正確性，毋過，這兩改挑戰，攏分別予波耳成功倒轉去。愛因斯坦並毋因此失志，雖然伊開始接受量仔力學的自辦理性這事實，伊猶原認為量仔力學無有完備性。一九三五年，佇普林斯頓懸等研究院，伊佮博士後羅森、研究員波多爾斯基合作完成論文《物理實在的量子力學描述敢會當予人認為是完備的？》並且發表佇五月份的《物理評論》。 波多爾斯基閣發予紐約時報一份新聞稿，暗示已經揣著量仔力學的瑕疵。愛因斯坦為按呢非常氣憤，認為波多爾斯基傷過譀，自按呢閣嘛無佮波多爾斯基講話。

足緊的，這篇論文佇量仔力學界掀起一陣強風巨湧，沃爾夫岡 ・ 包立特別寫批要求大師維爾納 ・ 這海森堡隨發表聲明，予其他的物理學者袂因為這篇論文去予人憢疑。海森堡尾仔編寫一篇草稿，但是伊並無共之發表，因為波耳已經開始𤆬頭反駁矣。

波耳是哥本哈根詮釋的創建者之一，伊發現講 EPR 論題相當奧妙，需要周詳地思考，伊隨放下手裡所有其他工作，專心研究 EPR 論題。仝年七月，波耳撰寫了畢反駁論文，用仝款論文名發表佇十月份的《物理評論》。 佇這篇論文內底，伊掘出來 EPR 思想實驗內底有一个弱點，即實在性判據要求「測量的時陣對系統無造成任何攪擾」，伊指控這句話的語意含霧嗄。為著回應愛因斯坦進前提出的思想實驗，波耳捌濟改提出，測量的動作會造成不可避免的物理攪擾。猶毋過，EPR 思想實驗內底，無物理攪擾的問題。所以，波耳做出讓步，伊無閣主張「測量的動作會造成不可避免的物理攪擾。」代替之，波耳強調，被測量的微觀物體佮做測量的儀器形成一个無容分割的整體，這就是為啥物 EPR 思想實驗提出的實在要素判據，做應用佇量的時陣，顯得無清楚。專門咧測量位置的儀器，會當用來準確地測量粒仔 A 的位置喔，從而準確地預測粒子 B 的位置喔，但是因為袂當準確地測量粒仔 A 的動量，無法度準確地測量粒仔 B 的動量。實在欲素判據應該將測量儀器佮被測量的粒仔共同納入考量。愛因斯坦和波耳兩人彼此終生攏無予對方說服。

仝年，愛因斯坦佮埃爾溫 ・ 薛丁格就 EPR 弔詭佇咧書信中交換矣意見。薛丁格表示，愛因斯坦可能已經掠著量仔力學的燕尾。伊認為講，「 量子力學佮相對論無相符合。」為著欲進一步顯示量仔力學的無完備性，伊共量子力學應用著宏觀效應中，對而構思出名的薛丁格貓思想實驗。

一九五三年，英國物理學家大衛 ・ 玻姆仝款認為哥本哈根詮釋對物理實在的解說是無完備的，需要附加的參量來講，伊自按呢提出隱變量理論。一九六五年，北愛爾蘭物理學家約翰 ・ 貝爾佇這个基礎頂懸提出貝爾不等式，這為隱變量理論提供了實驗證方法。對二十世紀七十年代到今，對貝爾無等式的驗證予出的大多數結果敢有定著。

一九九一年，大衛 ・ 梅爾銘佇一場講座內面直接截矣做的表示，「 EPR 論文有誤。」略仔咧討論的時陣，EPR 作者之一，羅森真有禮貌的承認，「 該論文無誤，伊做一寡假設，然後予出邏輯的總結；該假使有誤。」

==參見==

* 不要特問題
* ER=EPR

==註解==

==參考文獻==

==外部連結==

* Einstein , A . ; Podolsky , B . ; Rosen , N . Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete ? . _ Physical Review _ . May 一千九百三十五 ,'''四十七'''( 十 ) : 七仔七十七–七仔八十 [二千空一十五五五鋪四四九] . doi : 十二一一空三 / PhysRev . 四十七孵七七七 .（原始內容存檔佇兩千空一十五五分三鋪二十六）（英語）.
* 中文版由杜雪翻譯：正體、簡體，MIT OpenCourseWare。
* 無人看月娘的時陣伊敢閣佇遐？--作者：黃志偉

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