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佇咧數學中，'''被勒利歇爾－奈恩烏斯括號'''（Frölicher–Nijenhuis bracket）是金滑流形頂向量場的李括號到向量值微分形式的推廣。伊咧研究聯絡，特別是埃雷斯曼聯絡，猶閣有閣較一般的研究切欉的投影當中足有路用的。這括號由阿爾鴻雷德 ・ 被勒利歇爾佮阿爾伯特 ・ 奈恩烏斯佇一九五六年引入，佮斯豪學一九四零年的工課有聯絡。

伊和奈恩烏斯–理察森括號佮斯豪交代–奈恩烏斯括號相關但是毋是一回事。

==定義==

設 Ω \ * ( _ M _ ) 是金滑流形 _ M _ 上微分形式的外代數。這是一个分次代數，其次數由形式的階數予出：


: $ \ Omega ^ { * } ( M )=\ bigoplus _ { k=零 } ^ { \ infty } \ Omega ^ { k } ( M ) . $

一个階數為 ℓ 的分次導子是一个影射：


: $ D : \ Omega ^ { * } ( M ) \ to \ Omega ^ { * + l } ( M ) $

伊對常數是線性的而且滿足


: $ D ( \ alpha \ wedge \ beta )=D ( \ alpha ) \ wedge \ beta + ( 影一 ) ^ { \ ell \ deg ( \ alpha ) } \ alpha \ wedge D ( \ beta ) . $

對而且，特別地，關於一个向量的內容定義一个階數 ℓ=影響一的分次導子，啊若外導數是一个階數 ℓ=一的導子。

記所有的階數為 ℓ 的導子的向量空間為 DerℓΩ \ * ( _ M _ )。遮的空間的直和是一个分次向量空間其齊次分量由所有予定階分次導數組成；記成：


: $ \ mathrm { Der } \ , \ Omega ^ { * } ( M )=\ bigoplus _ { k=-\ infty } ^ { \ infty } \ mathrm { Der } _ { k } \ , \ Omega ^ { * } ( M ) . $

這形成一个分次李代數，其李括號做導子的反交換子，佇階數分別為 _ d _ 一和 _ d _ 二的齊次導子 _ D _ 一和 _ D _ 二上的定義為：


: $ [D _ { 一 } , D _ { 二 }]=D _ { 一 } \ circ D _ { 二 }-( 影一 ) ^ { d _ { 一 } d _ { 二 } } D _ { 二 } \ circ D _ { 一 } . $

因為是啥物愛值得 _ M _ 的切密密的向量微分形式 _ K _ ∈ Ωk ( _ M _ ,  T _ M _ ) 定義一个階數 _ k _ 影響一的分次導子，記作 _ i _ K，叫做插入去算子。著 ω ∈ Ωℓ ( _ M _ )，


: $ i _ { K } \ , \ omega ( X _ { 一 } , \ dots , X _ { k + \ ell 影一 } )={ \ frac { 一 } { k ! ( \ ell 影一 ) ! } } \ sum _ { \ sigma \ in { S } _ { k + \ ell 影一 } } { \ textrm { sign } } \ , \ sigma \ cdot \ omega ( K ( X _ { \ sigma ( 一 ) } , \ dots , X _ { \ sigma ( k ) } ) , X _ { \ sigma ( k + 一 ) } , \ dots , X _ { \ sigma ( k + \ ell 影一 ) } ) $

沿著 _ K _ ∈Ωk ( _ M _ ,  T _ M _ ) 的奈恩烏斯–李導數定義為


: $ { \ mathcal { L } } _ { K }=[d , i _ { K }]=d \ , { \ circ } \ , i _ { K }-( 影一 ) ^ { k 影一 } i _ { K } { \ circ } \ , d , $

遮 _ d _ 是外導數爾 _ i _ K 是插入去算子。

被勒利歇爾－奈恩烏斯括號定義為滿足下式的惟一向量值微分形式：


: $ [\ cdot , \ cdot] : \ Omega ^ { k } ( M , \ mathrm { T } M ) \ times \ Omega ^ { \ ell } ( M , \ mathrm { T } M ) \ to \ Omega ^ { k + \ ell } ( M , \ mathrm { T } M ) : ( K , L ) \ mapsto [K , L] $

予得


: $ { \ mathcal { L } } _ { [K , L] }=[{ \ mathcal { L } } _ { K } , { \ mathcal { L } } _ { L }] . $

若是 _ k _=零，故 _ K _ ∈ Ω 零 ( _ M _ , T _ M _ ) 是一个向量場，得著李導數的通常同倫公式：


: $ { \ mathcal { L } } _ { K }=[d , i _ { K }]=d \ , { \ circ } \ , i _ { K } + i _ { K } \ , { \ circ } \ , d . $

$ \ phi \ otimes X $ 佮 $ \ psi \ otimes Y $（遮 φ 佮 ψ 彼是形體，_ X _ 佮 _ Y _ 是向量場）的摃勒利歇爾－奈恩烏斯括號的明確表達式為


: $ \ left . \ right . [\ phi \ otimes X , \ psi \ otimes Y]=\ phi \ wedge \ psi \ otimes [X , Y] + \ phi \ wedge { \ mathcal { L } } _ { X } \ psi \ otimes Y-{ \ mathcal { L } } _ { Y } \ phi \ wedge \ psi \ otimes X + ( 影一 ) ^ { \ deg ( \ phi ) } ( d \ phi \ wedge i _ { X } ( \ psi ) \ otimes Y + i _ { Y } ( \ phi ) \ wedge d \ psi \ otimes X ) . $

==形式環的導子==

Ω \ * ( _ M _ ) 上任何導子，存在惟一元素 _ K _ 佮 _ L _ 屬於 Ω \ * ( _ M _ , T _ M _ ) 予得


: $ i _ { L } + { \ mathcal { L } } _ { K } . \ , $

遮的導仔的李括號如下共出。

* 形為 $ { \ mathcal { L } } _ { K } $ 的導子組成佮所有的 _ d _ 會當交換的李超代數。其實號做：


: : $ [{ \ mathcal { L } } _ { K _ { 一 } } , { \ mathcal { L } } _ { K _ { 二 } }]={ \ mathcal { L } } _ { [K _ { 一 } , K _ { 二 }] } $


: 遮正爿的括號是被勒利歇爾－奈恩烏斯括號。特別吐吐利歇睏爾－奈恩烏斯括號佇 $ \ Omega ( M , \ mathrm { T } M ) $ 上定義一个分次李代數結構，擴充著向量場的李括號。

* 形為 $ i _ { L } $ 的導子組成咧函數 Ω 零 ( _ M _ ) 上消無的李超代數。其實號做


: : $ [i _ { L _ { 一 } } , i _ { L _ { 二 } }]=i _ { [L _ { 一 } , L _ { 二 }] ^ { \ land } } $


: 遮正爿的括號是奈恩烏斯–理察森括號。

* 無仝類型的導子之括號做


: : $ [{ \ mathcal { L } } _ { K } , i _ { L }]=i _ { [K , L] }-( 影一 ) ^ { kl } { \ mathcal { L } } _ { i _ { L } K } $


: 其中 _ K _ 屬於 Ωk ( _ M _ , T _ M _ )，_ L _ 屬於 Ωl + 一 ( _ M _ , T _ M _ )。

==應用==

了復結構 _ J _ 的奈恩烏斯張量，是 _ J _ 佮家己的被勒利歇睏－奈恩烏斯括號。一个了復結構是復結構若是唯若奈恩烏斯這塊量是零。

有矣抹利歇睏的－奈恩烏斯括號會當定義一个向量值一-形式（這是一个投影）的曲率佮余曲率。這是聯絡的曲率概念之推廣。

斯豪學–奈恩烏斯括號佮被勒利歇爾－奈恩烏斯括號有一个一般的推廣；細節請參見斯豪學–奈恩烏斯括號一文。

==參考文獻==

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* P . W . Michor , Frölicher–Nijenhuis bracket , Hazewinkel , Michiel ( 編 ) , 被鋪百科全鋪排，Springer , 兩千空一 , ISBN  九百七十八孵一一鋪五千六百空八鋪十跡四
* Schouten , J . A . , Über Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grössen , Indagationes Mathematicae , 一千九百四十 ,'''二''': 四百四十九–四仔五   .

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