檢視 Artin群的原始碼

數學上，'''阿廷群'''（抑是'''Artin group、叫廣義辮群）'''，是講有如下展示的群：


: $ { \ Big \ langle } x _ { 一 } , x _ { 二 } , \ ldots , x _ { n } { \ Big | } \ langle x _ { i } , x _ { j } \ rangle ^ { m _ { i , j } }=\ langle x _ { j } , x _ { i } \ rangle ^ { m _ { j , i } } , i , j \ in \ { 一 , 二 , \ ldots , n \ } , i \ neq j { \ Big \ rangle } $

其中


: $ m _ { i , j }=m _ { j , i } \ in \ { 二 , 三 , \ ldots , \ infty \ } $ .

著 $ m < \ infty $，$ \ langle x _ { i } , x _ { j } \ rangle ^ { m } $ 表示長度為 $ m $ 的 $ x _ { i } $ 和 $ x _ { j } $ 的交錯積，以 $ x _ { i } $ 開首。比如講：


: $ \ langle x _ { i } , x _ { j } \ rangle ^ { 三 }=x _ { i } x _ { j } x _ { i } $，


: $ \ langle x _ { i } , x _ { j } \ rangle ^ { 四 }=x _ { i } x _ { j } x _ { i } x _ { j } $。

若是 $ m=\ infty $，照慣例這表示 $ x _ { i } $ 和 $ x _ { j } $ 間無要緊啦。

咧整數 $ m _ { i , j } $ 加入來 $ m _ { i , i }=一 $，會當組一个對稱矩陣，講這个群的這个考克斯特矩陣（Coxeter matrix）。 佇咧 Artin 群內底加入所有的形為 $ { x _ { i } } ^ { 二 }=一 $ 的關係，得著的商群是考克斯特群。這个考克斯特群佮原本的 Artin 群有仝款的生成元佮考克斯特矩陣。對 Artin 群到對應的考克斯特群的群同態的核，這號做'''純阿廷群'''（'''pure Artin group'''）。

==Artin 群的類==

後尾溜是 Artin 群的一種，其考克斯特矩陣為 $ m _ { i , i + 一 }=三 $，佮當 $ | i-j | > 一 $ 時 $ m _ { i , j }=二 $。

用 Artin 群的考克斯特矩陣，會當定義出數類重要的 Artin 群：

===有限 Artin 群===

若是 _ M _ 是有限型的考克斯特矩陣，使對應的考克斯特群 _ W _=_ A _ ( _ M _ ) 是有限群，遐爾 Artin 群 _ A _=_ A _ ( _ M _ ) 這號做'''有限 Artin 群'''（'''Artin group of finite type'''）。 其實「無可約型」標記做講 _ A _ n  , _ B _ n =  _ C _ n  , _ D _ n  , _ I _ 二 ( _ n _ )   , _ F _ 四   , _ E _ 六   , _ E _ 七   , _ E _ 八   , _ H _ 三   , _ H _ 四。一个有限型純 Artin 群，會當表現做'''C'''n 中一个有限超平面配置的補集的基本群。皮埃爾 ・ 德利劍佮 Brieskorn-Saito 用著這幾何描述，算出 _ A _ 的中心、最同調，佮解出字問題佮共車的問題。

===直角 Artin 群===

若矩陣 _ M _ 中除對角線外的元素攏是二抑是 ∞，對的來講 Artin 群稱做'''直角 Artin 群'''（'''right-angled Artin group'''）。 這類 Artin 群常用以下的方式標記：任何一个有 _ n _ 頂點的圖'''Γ'''，頂點標記做一个 , 二 ,…, n，攏會當定義一个矩陣 _ M _，其中若 _ i _ 和 _ j _ 佇咧'''Γ'''中相連，著 _ m _ ij=  二，抑無 _ m _ ij= ∞。佮矩陣 _ M _ 對應的直角 Artin 群 _ A _ ('''Γ''') 有 _ n _ 個生成元 _ x _ 一 , _ x _ 二 ,…, _ x _ n 佮關係


: $ x _ { i } x _ { j }=x _ { j } x _ { i } \ quad $ 若是 _ i _ 和 _ j _ 佇咧 $ \ Gamma $ 中相連。

直角 Artin 群包括了有限秩的自由群，對應無邊線的圖，佮有限生成的自由阿貝爾群，對應完全圖。事實上每一个秩為 _ r _ 的直角 Artin 群攏是一个秩為 _ r _ 學一的直角 Artin 群的 HNN 擴張，兩極端例是自由積和直積。這个構造法有一个推廣講做群的圖積（graph product of groups）。 直角 Artin 群是群的圖積的特例，其中每一个頂點群攏是秩一自由群（即無限循環群）。

Mladen Bestvina 和 Noel Brady 建構了一个非正曲立方複形（nonpositively curved cubical complex）_ K _，其基本群是一个予定的直角 Artin 群 _ A _ ('''Γ''')。𪜶咧 Artin 群的幾何描述最用不要而斯理論來論證，共出具有性質 ( FP 二 ) 的非有限展示群的頭一批例。

==其他 Artin 群==

若一个 Artin 群抑是一个考克斯特群的對應矩陣中，嘿所有 _ i _ ≠ _ j _ 攏有 _ m _ i , _ j _ ≥ 三，講這个群是大型（large type）的；若對所有 _ i _ ≠ _ j _ 攏有 _ m _ i , _ j _ ≥ 四，則稱這个群是超大型（extra-large type）的。

凱尼斯 ・ 阿佩爾佮 P . E . Schupp 探討 Artin 群的性質，證明了四條定理。遮的定理進前已經知對考克斯特群成立，而𪜶證明著 Artin 群嘛成立。𪜶發現會當使用小消去理論的技巧研究超大型 Artin 群和考克斯特群，會當共技巧改入來用佇遐的大型的群內底。

𪜶證明的定理做：

一 . 設 _ G _ 為超大型 Artin 抑是考克斯特群。若是 _ J _ ⊆ _ I _，著 _ G _ J 有一个展示由考克斯特矩陣 _ M _ J 定義，而且 _ G _ J 佇咧 _ G _ 中的廣義字問題會當解。若是 _ J _ , _ K _ ⊆ _ I _ 著 _ G _ J ∩ _ G _ K=_ G _ ( _ J _ ∩ _ K _ ) .
二 . 超大型的 Artin 群是沒有扭著（即無限目的元素）的。
三 . 設 _ G _ 為超大型 Artin 群，是集合 { _ a _ i 二   : _ i _ ∈ _ I _ } 自由生成 _ G _ 的一个自由子群。
四 . 超大型的 Artin 抑是考克斯特群共車問題會當解。

==參考==

* Mladen Bestvina , Noel Brady , _ Morse theory and finiteness properties of groups _ . Invent . Math . 百二九 ( 一千九百九十七 ) , no . 三 , 四百四十五孵四百七十 .
* Pierre Deligne , _ Les immeubles des groupes de tresses généralisés _ . Invent . Math . 十七 ( 一千九百七十二 ) , 兩百七十三石三百空二 .
* Egbert Brieskorn , Kyoji Saito , _ Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen _ . Invent . Math . 十七 ( 一千九百七十二 ) , 兩百四十五-鋪兩百七十一 .
* Ruth Charney , An introduction to right-angled Artin groups
* Montserrat Casals-Ruiz and Ilya V . Kazachkov , On systems of equations over free partially commutative groups
* Evgenii S . Esyp , Ilya V . Kazachkov , and Vladimir N . Remeslennikov , Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups
* Susan Hermiller , John Meier , Algorithms and geometry for graph products of groups
* Appel , Kenneth I . , and P . E . Schupp . _ Artin Groups and Infinite Coxeter Groups . _ Inventiones Mathematicae 七十二孵二 ( 一千九百八十三 ) : 兩百空一鋪兩百二十

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