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'''Kalman–Yakubovich–Popov 引理'''（Kalman–Yakubovich–Popov lemma）是系統分析佮控制理論的結果，其中咧講：予定一數 $ \ gamma > 零 $，兩个 n 維向量 B , C，佮 n x n 的赫維茲穩定矩陣 A（所有特徵值的實部攏為負值）， 若是 $ ( A , B ) $ 有完全會當控制性，是滿足下式的對稱矩陣 P 佮向量 Q


: $ A ^ { T } P + PA=-QQ ^ { T } $


: $ PB-C={ \ sqrt { \ gamma } } Q $

存在的充份必要條件是


: $ \ gamma + 二 Re [C ^ { T } ( j \ omega I-A ) ^ { 影一 } B] \ geq 零 $

而且，集合矣 $ \ { x : x ^ { T } Px=零 \ } $ 是 $ ( C , A ) $ 的不可觀測子空間。

此引理會當看做是穩定性理論李亞普諾夫方程的推廣。建構矣由狀態空間 A , B , C 建構的線性矩陣無等式猶閣有其頻域條件的關係。

Kalman–Popov–Yakubovich 引理上早是佇一九六二年由 Vladimir Andreevich Yakubovich 寫出而且證明，彼當陣列的是嚴格的頻率無等式。允准等於的不等式是由魯道夫 ・ 卡爾曼在一九六三年提出。佇咧該文中嘛建立矣 Lur'e 方程可解性的關係。兩篇攏是對純量輸入系統。其控制維度的限制是佇一九六四年予人 Gantmakher 和 Yakubovich 放冗的，而且 Vasile M . Popov 嘛獨立得著仝款結論。佇中央遮有針對這个主題的廣泛探討。

==多變數 Kalman–Yakubovich–Popov 引理==

予定 $ A \ in \ mathbb { R } ^ { n \ times n } , B \ in \ mathbb { R } ^ { n \ times m } , M=M ^ { T } \ in \ mathbb { R } ^ { ( n + m ) \ times ( n + m ) } $，其中 $ \ det ( j \ omega I-A ) \ neq 零 $ 針對所有 $ \ omega \ in \ mathbb { R } $，而且 $ ( A , B ) $ 有通控制性，則以下的講是等價的：

一 . 針對所有 $ \ omega \ in \ mathbb { R } \ cup \ { \ infty \ } $


: $ \ left [{ \ begin { matrix } ( j \ omega I-A ) ^ { 影一 } B \ \ I \ end { matrix } } \ right] ^ { * } M \ left [{ \ begin { matrix } ( j \ omega I-A ) ^ { 影一 } B \ \ I \ end { matrix } } \ right] \ leq 零 $
二 . 存在一矩陣 $ P \ in \ mathbb { R } ^ { n \ times n } $ 予得 $ P=P ^ { T } $ 而且


: $ M + \ left [{ \ begin { matrix } A ^ { T } P + PA & PB \ \ B ^ { T } P & 零 \ end { matrix } } \ right] \ leq 零 . $

就算 $ ( A , B ) $ 無法度有通控制性，對應上式的嚴格無等式猶原成立。

==參考資料==

[[分類: 待校正]]