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2025-08-22T16:22:07Z

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'''一 + 一 + 一 + 一 +…'''，亦寫作 $ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } n ^ { 零 } $ , $ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } 一 ^ { n } $ 抑是 $ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } 一 $，是一个發散級數，表示其部份和形成的數列袂收斂。數列一 n 會當看做公比為一的等比級數。無仝款其他的公比做有理數的等比級數，現級數毋但佇咧實數內底無欲收縮，佇某一寡特定的數字 p 的 p 進數下也無欲抾錢。若欲擴展實數內底，因為部份佮形成的數列單調遞增而且無上界，就按呢級數的值如下：

: $ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } 一=+ \ infty \ , , $

此發散級數無法度用切薩羅求和及阿貝爾和的求和法求和。

當出現佇物理運用的時陣，伊嘛解說講 ζ 函數正規化，伊是黎曼 ζ 函數佇咧零點的取值。

: $ \ zeta ( s )=\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { 一 } { n ^ { s } } }={ \ frac { 一 } { 一孵二 ^ { 一-s } } } \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n + 一 } } { n ^ { s } } } \ , , $

欲講兩个公式佇 $ s=零 $ 時不成立，需要利用解析連紲定義。

: $ \ zeta ( s )=二 ^ { s } \ pi ^ { s 影一 } \ \ sin \ left ( { \ frac { \ pi s } { 二 } } \ right ) \ \ Gamma ( 一-s ) \ \ zeta ( 一-s ) \ ! , $

用上式求的（準講 $ \ Gamma ( 一 )=一 $）

: $ \ zeta ( 零 )={ \ frac { 一 } { \ pi } } \ lim _ { s \ rightarrow 零 } \ \ sin \ left ( { \ frac { \ pi s } { 二 } } \ right ) \ \ zeta ( 一-s )={ \ frac { 一 } { \ pi } } \ lim _ { s \ rightarrow 零 } \ \ left ( { \ frac { \ pi s } { 二 } }-{ \ frac { \ pi ^ { 三 } s ^ { 三 } } { 四十八 } } + . . . \ right ) \ \ left (-{ \ frac { 一 } { s } } + . . . \ right )=-{ \ frac { 一 } { 二 } } \ ! $

以下 ζ ( _ s _ ) 佇咧 _ s _=一時的級數展開：嘛是這種意義下此級數的佮：

一 + 一 + 一 + 一 +···=ζ ( 零 )=− 一 ⁄ 二嘛通用其他的 s 價值來為其他的級數求和，比如講 ζ ( 影一 )=一 + 二 + 三 + 四 + ⋯=–十二分之一，ζ ( 鋪二 )=一 + 四 + 九 + . . .=零，其通式為

: $ \ zeta (-s )=\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } n ^ { s }=一 ^ { s } + 二 ^ { s } + 三 ^ { s } + \ ldots=-{ \ frac { B _ { s + 一 } } { s + 一 } } $

其中 _ B _ k 為伯仔拍拚數。

佇仝一年內，有兩位傑出的物理學家斯拉夫諾夫（A . Slavnov）和 F . Yndurain 分別佇巴窒羅彼作矣學術演講。兩場學術演講的主題無仝，但是佇咧這兩个人的介紹當中，攏講著一句予觀眾非常的難忘：「各位攏知影，一 + 一 + 一 + 一 +…=− 一 ⁄ 二」，某乜程度意味對「若觀眾毋知影這，按呢繼續聽落去是無意義的。」

==參考資料==

[[分類: 待校正]]

一+一+一+一+… - 修訂紀錄

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