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佇咧數學中，'''一 − 二 + 三 − 四 +…'''表示自細漢到大漢的接續正整數，看見加了後閣減、減後閣加，遮爾反起所構成的無窮級數。伊是交含級數，若以 Σ 符號表示前 _ m _ 項之佮，通好寫作：

: $ \ sum _ { n=一 } ^ { m } n ( 影一 ) ^ { n 影一 } $

這無窮級數發散，隨所有的部份和的序列（一 , − 一 , 二 , − 二 ,…）袂因為得欲比任一點仔窮極限。也就是講，單對極限的角度看的話，一 − 二 + 三 − 四 +…不存在和。猶毋過，佇咧十八世紀中期，萊昂哈德・歐拉寫出一个伊是承認為講鋪論的等式：

: $ 一孵二 + 三孵四 + \ cdots={ \ frac { 一 } { 四 } } $

該等式的頂真解說佇足久以後才出現。自一八九空年起，恩納斯托・切薩羅、埃米爾・鮑萊耳佮其他的一寡數學家就咧研究有佗一寡定義良好的方法，會當予發散級數予廣義佮—— 其中包括著對歐拉結果的新解說。遮的求和法大部份會當簡單來指定一 − 二 + 三 − 四 +…的「和」為一 ⁄ 四。切薩羅求和是少數幾種袂當計算出一 − 二 + 三 − 四 +…之和的方法，因為這種數求佮需要某一个略強的方法—— 比如講阿貝耳求和。

級數一 − 二 + 三 − 四 +…佮格蘭迪級數一 − 一 + 一 − 一 +…有密實的聯絡。歐拉將這兩个級數當做一个 − 二 n + 三 n − 四 n +…的特例（其中 n 為任意自然數），這个級數是直接擴展矣伊佇巴窒爾問題頂懸所做的工課，同時嘛引出咱這馬所知的狄利克雷 η 函數佮黎曼 ζ 函數。

==發散性==

級數項（一 , − 二 , 三 , − 四 ,…）無趨勢得過去，所以通過項測試就會當確定一个 − 二 + 三 − 四 +…發散。猶毋過作為後文的參考，這搭也用基礎的方法去證明此級數發散。首先，對定義會當知影講，無錢級數的斂散性是整個一部份和的斂散性所確定的，一 − 二 + 三 − 四 +…伊的部份佮為：

: 一='''一''',

: 一 − 二='''− 一''',

: 一 − 二 + 三='''二''',

: 一 − 二 + 三 − 四='''− 二''',

: 一 − 二 + 三 − 四 + 五='''三''',

: 一 − 二 + 三 − 四 + 五 − 六='''− 三''',

:…

此部份和序列的一个顯明特點是逐个整數攏拄好出現一改—— 若是共空部份佮計入猶包括零—— 伊閣說明矣整數集 $ \ mathbb { Z } $ 是可數。足明顯的，無可能予變化的結果收斂甲一个確定的數，因此一 − 二 + 三 − 四 +…發散。

==求和的啟發==

===穩定性和線性===

因為各項一 , − 二 , 三 , − 四 , 五 , − 六 ,…用一種簡單模式的排列，級數一 − 二 + 三 − 四 +…會當透過移項佮逐項求和，閣透過解方程式會當出一數值。暫時假使講 _ s _=一 − 二 + 三 − 四 +…按呢的寫法有意義—— 內底的 _ s _ 為常數，按呢以下的計算將說明 _ s _=一 ⁄ 四：

: : $ { \ begin { smallmatrix } 四 s &=& \ ! & ( \ , 一 \ ,-\ , 二 \ , + \ , 三 \ ,-\ , 四 \ , + \ , \ cdots ) & + \ \ \ ; \ ; \ , & ( \ , 一 \ ,-\ , 二 \ , + \ , 三 \ ,-\ , 四 \ , + \ , \ cdots ) & + \ \ \ ; \ ; \ , & ( \ , 一 \ ,-\ , 二 \ , + \ , 三 \ ,-\ , 四 \ , + \ , \ cdots ) & + \ \ \ ; \ ; \ , & ( \ , 一 \ ,-\ , 二 \ , + \ , 三 \ ,-\ , 四 \ , + \ , \ cdots ) \ quad \ , \ \ \ \ \ &=& \ ! & ( { \ color { Blue } \ , 一 \ ,-\ , 二 \ , + \ , 三 \ ,-\ , 四 \ , + \ , \ cdots } ) & + \ , 一 \ , + & ( { \ color { Red } \ ,-\ , 二 \ , + \ , 三 \ ,-\ , 四 \ , + \ , 五 \ , \ cdots } ) & + \ , 一 \ , + & ( { \ color { Purple } \ ,-\ , 二 \ , + \ , 三 \ ,-\ , 四 \ , + \ , 五 \ , \ cdots } ) &-\ , 一 \ , + & ( { \ color { OliveGreen } \ , 三 \ ,-\ , 四 \ , + \ , 五 \ ,-\ , 六 \ , + \ , \ cdots } ) \ quad \ , \ \ \ \ \ &=& \ 一 \ , + & [\ , ( \ , { \ color { Blue } 一 } \ , { \ color { Red }-\ , 二 } \ , { \ color { Purple }-\ , 二 } \ , { \ color { OliveGreen } + \ , 三 } \ , ) \ quad & + \ \ \ ; \ ; \ , & ( \ , {-\ , \ color { Blue } 二 } \ , { \ color { Red } + \ , 三 } \ , { \ color { Purple } + \ , 三 } \ , { \ color { OliveGreen }-\ , 四 } \ , ) \ ; \ ; \ ; \ , & + \ \ \ ; \ ; \ , & ( \ , { \ color { Blue } 三 } \ , { \ color { Red }-\ , 四 } \ , { \ color { Purple }-\ , 四 } \ , { \ color { OliveGreen } + \ , 五 } \ , ) \ \ quad & + \ \ \ ; \ ; \ , & ( \ , { \ color { Blue }-\ , 四 } \ , { \ color { Red } + \ , 五 } \ , { \ color { Purple } + \ , 五 } \ , { \ color { OliveGreen }-\ , 六 } \ , ) \ , + \ , \ cdots] \ \ \ \ \ &=& \ 一 \ , + & [\ , 零 \ , + \ , 零 \ , + \ , 零 \ , + \ , 零 \ , \ cdots] \ \ ; \ \ 四 s \ &=& \ 一 \ \ , \ ; \ end { smallmatrix } } $

所以，_ s _=一 ⁄ 四，如右圖所示。

就算講一 − 二 + 三 − 四 +…無通常意義的佮，等式 _ s _=一 − 二 + 三 − 四 +…=一 ⁄ 四煞有法度予另外一種意義。發散級數之「和」的一種普遍定義予人叫做是一種求和法抑是會當佮法—— 通常是對符合特定條件的類級數可求佮。求和法有真濟種（部份欲佇下文中有所講），遮的方法佮普通求佮凡勢有著一寡共同的特性，比如講：

一 .'''線性'''：設'''A'''Σ 為一種級數求的法。若對著'''A'''Σ 可定義其實遐的序列，'''A'''Σ 是個線性泛函的話，是簡單的稱呼'''A'''Σ 是線性的。也就是講，對序列 _ r _ , _ s _ 佮純量 _ k _，有'''A'''Σ ( _ k r _ + _ s _ )=_ k _'''A'''Σ ( _ r _ ) +'''A'''Σ ( _ s _ )。
二 .'''穩定性'''：若是 _ a _ 是一種初項為 _ a _ 零的序列，設 _ a _ \ * 為 _ a _ 落初項了後的序列，就對一切 n 有 _ a _ \ * n=an + 一，遐爾'''A'''Σ ( _ a _ ) 有定義你若閣唯一'''A'''Σ ( _ a _ \ * ) 有定義。而且，'''A'''Σ ( _ a _ )=_ a _ 零 +'''A'''Σ ( _ a _ \ * )。

所以，以上的計算實際上證明的是下跤的內容：予出任意的線性而且穩定的可和法，並且會當對級數一 − 二 + 三 − 四 +…求和，結果一定著愛替 ⁄ 四。此外，因為：

: : $ { \ begin { smallmatrix } 二 s &=& \ ! & ( \ , 一 \ ,-\ , 二 \ , + \ , 三 \ ,-\ , 四 \ , + \ , \ cdots ) \ ; \ ; \ ; & + \ quad \ quad \ & ( \ , 一 \ ,-\ , 二 \ , + \ , 三 \ ,-\ , 四 \ , + \ , \ cdots ) \ quad \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ \ \ \ \ &=& 一 \ , + & ( \ ,-\ , 二 \ , + \ , 三 \ ,-\ , 四 \ , + \ , \ cdots ) \ quad \ , & + \ , 一 \ ,-\ , 二 \ , + & ( \ , 三 \ ,-\ , 四 \ , + \ , 五 \ ,-\ , \ cdots ) \ qquad \ \ ; \ ; \ ; \ ; \ , \ \ \ \ \ &=& 零 \ , + & ( \ , ( \ ,-\ , 二 \ , + \ , 三 \ , ) \ , + \ , ( \ , 三 \ ,-\ , 四 \ , ) & + \ quad \ quad \ & ( \ ,-\ , 四 \ , + \ , 五 \ , ) \ , + \ , ( \ , 五 \ ,-\ , 六 \ , ) \ , + \ , \ cdots ) \ \ \ \ { \ frac { 一 } { 二 } } &=& \ ! & \ \ \ 一 \ , \ quad-\ quad 一 & + \ quad \ quad \ & \ \ ; 一 \ quad-\ quad 一 \ quad \ cdots \ end { smallmatrix } } $

故此方法嘛一定會對格蘭迪級數求佮，並得結果為著 $ 一孵一 + 一孵一 + \ cdots={ \ begin { matrix } { \ frac { 一 } { 二 } } \ end { matrix } } $

===柯西乘積===

一八九一年，恩納斯托・切薩羅佇伊的一篇論文中指出有可能將發散級數嚴謹地納入微積分學，並寫道：

> 已經會當寫出
>
>
> : $ ( 一孵一 + 一孵一 + \ cdots ) ^ { 二 }=一孵二 + 三孵四 + \ cdots $
>
> 並斷定兩爿攏等於一 ⁄ 四。
>
>

對切薩羅來講，這个等式是伊前一冬發表的一个定理的應用，定理會當講是佇歷史上關於著可求佮發散級數的頭一个定理。關於此求佮法的詳細內容請見下文；其中心思想是：一 − 二 + 三 − 四 +…是一 − 一 + 一 − 一 +…著一 − 一 + 一 − 一 +…的柯西乘積。

兩个䆀級數的柯西乘積會當予人定義，就算講佇𪜶攏開的時陣。比如講，若是 Σ _ a _ n=Σ _ b _ n=Σ ( − 一 ) n，柯西乘積的項由有散對角線求和的方式來共出：

: $ { \ begin { array } { rcl } c _ { n } &=& \ displaystyle \ sum _ { k=零 } ^ { n } a _ { k } b _ { n-k }=\ sum _ { k=零 } ^ { n } ( 影一 ) ^ { k } ( 影一 ) ^ { n-k } \ \ [一 em] &=& \ displaystyle \ sum _ { k=零 } ^ { n } ( 影一 ) ^ { n }=( 影一 ) ^ { n } ( n + 一 ) \ end { array } } $

積級數為：

: $ \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { n } ( n + 一 )=一孵二 + 三孵四 + \ cdots $

所以乎，若是有一種求和法會當保持兩个級數的柯西乘積，會使出來 $ 一孵一 + 一孵一 + \ cdots={ \ tfrac { 一 } { 二 } } $ 的結果，伊嘛會當求出 $ 一孵二 + 三孵四 + \ cdots={ \ tfrac { 一 } { 四 } } $。由前一節的結果會當知影，做方法是線性、穩定並且保持柯西乘積的時陣，一 − 一 + 一 − 一 +…與一 − 二 + 三 − 四 +…的可求佮之間是等價的。

切薩羅的定理是一个微妙的例。級數一 − 一 + 一 − 一 +…佇上弱的意義上是切薩羅可求和，這號做 ( C , 一 )-可求和，毋過一 − 二 + 三 − 四 +…需要切薩羅的定理的一个閣較強的形式，伊是 ( C , 二 )-可求和的。因為切薩羅的定理的所有形式攏是線性而且愛穩定，所得的值正是此前計算所得的。

==特殊方法==

===切薩羅佮赫爾德===

若一 − 二 + 三 − 四 +…的 ( C , 一 ) 切薩羅和存在的，愛揣著其數值就需要計算該級數部份和的算術平均值。
部份佮為：

: 一 , − 一 , 二 , − 二 , 三 , − 三 ,…,

遮的部份和的算講平均值為：

: 一 , 零 , 二 ⁄ 三 , 零 , 三 ⁄ 五 , 零 , 四 ⁄ 七 ,….

這平均值序列無欲收斂，因此一 − 二 + 三 − 四 +…毋是切薩羅可求和。

切薩羅求和有兩種有名的廣義化：予遮的概念上閣較簡單的是 ( H , _ n _ ) 法的序列，其中 _ n _ 為自然數。( H , 一 ) 佮切薩羅求和，閣較懸的方法則重複平均值的計算。咧上文中，偶數項平均值得倚一般 ⁄ 二，奇數項平均值是全部等於零，所以平均值 _ 的 _ 平均值得倚過零與一 ⁄ 二的平均數，即一 ⁄ 四。所以，一 − 二 + 三 − 四 +…是 ( H , 二 )-可求和，其實值為一 ⁄ 四。

符號「H」代表奧圖・赫爾德。一八八二年，伊第一遍證明矣被這馬數學家所看作的佇阿貝耳求和與 ( H , _ n _ ) 求和之間的關係；影一 + 二 − 三 + 四 −…是伊予的頭一个例。一 ⁄ 四个一 − 二 + 三 − 四+…的 ( H , 二 ) 和這个事實嘛保證著伊是阿貝耳和；這些都把在下文直接給以證明。

另外一个捷用的切薩羅求和的廣義化，是 ( C , _ n _ ) 法的序列。已經證明矣 ( C , _ n _ ) 求和佮 ( H , _ n _ ) 求和均會當提出仝款的結果，但是𪜶煞有無仝款的歷史背景。佇一八八七年，切薩羅已經接近佇陳述出 ( C , _ n _ ) 求和的定義矣，但是伊干焦出一寡少量的例。特別的，伊咧算一 − 二 + 三 − 四 +…為一 ⁄ 四時咧採用的方法可能是 ( C , _ n _ ) 的另外一種描述，但是佇彼个時陣並無對其進行證明。伊佇一八九零年正式定義矣 ( C , _ n _ ) 法，以陳述伊的定理：一个 ( C , _ n _ )-可求和級數佮一个 ( C , _ m _ )-可求和級數的柯西乘積是 ( C , _ m _ + _ n _ + 一 )-可求和。

===阿貝耳求和===

佇一份一七四九年的報告內底，萊昂哈德・歐拉承認級數一 − 二 + 三 − 四 +…是發散的，但是猶是決定愛對予其求佮：

歐拉捌幾擺仔提議會「和」這个詞廣義化。佇一 − 二 + 三 − 四 +…的狀況之下，伊的設想佮這馬知的阿貝耳求佮相𫝛：

上無咧做絕對值 | _ x _ | < 一時，有真濟方式去驗證歐拉的下列等式正確：

: $ 一孵二 x + 三 x ^ { 二 } 扳四 x ^ { 三 } + \ cdots={ \ frac { 一 } { ( 一 + x ) ^ { 二 } } } $

會當對正爿做泰勒展開，使用正規的多項式長除。對倒手開始，會當採用上文的一般啟發式，並且試看覓兩改 ( 一 + _ x _ )，抑是對幾何級數一 − _ x _ + _ x _ 二 −…求平方。歐拉敢若嘛提出會當對後者的級數的每項求導。

用現代的觀點看，級數一 − 二 _ x _ + 三 _ x _ 二 − 四 _ x _ 三 +…並無定義一个佇咧 _ x _=一時的函數，所以袂當簡單共值代入到相應的表達式。毋過因為這个級數佇咧 | _ x _ | < 一時定義一个函數，所以猶會當提 _ x _ 和一時的盡磅，這就是阿貝耳和的定義：

: $ \ lim _ { x \ rightarrow 一 ^ {-} } \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } n (-x ) ^ { n 影一 }=\ lim _ { x \ rightarrow 一 ^ {-} } { \ frac { 一 } { ( 一 + x ) ^ { 二 } } }={ \ frac { 一 } { 四 } } $

===歐拉佮波萊爾===

歐拉嘿該級數猶閣用另外一種技巧：歐拉轉換，這是伊家己的發明。愛計算歐拉轉換，首先愛有可形成交雜級數的正項序列—— 在此的情形下為一 , 二 , 三 , 四 ,…。照這起工列的頭一項標示 _ a _ 零。

後一步需要一 , 二 , 三 , 四 ,…的前向差分序列；這拄仔好是一 , 一 , 一 , 一 ,…。為欲將這个該序列的頭一項標示 Δ _ a _ 零。歐拉轉換咱嘛差分的差分，閣較懸迵天的迵天，猶毋過佇一 , 一 , 一 , 一 ,…各項進前的前向差分均做零。一 − 二 + 三 − 四 +…的歐拉轉換便可定義做：

: $ { \ frac { 一 } { 二 } } a _ { 零 }-{ \ frac { 一 } { 四 } } \ Delta a _ { 零 } + { \ frac { 一 } { 八 } } \ Delta ^ { 二 } a _ { 零 }-\ cdots={ \ frac { 一 } { 二 } }-{ \ frac { 一 } { 四 } } $

用現代術語來講，一 − 二 + 三 − 四 +…是歐拉可求和而且其價值做一个 ⁄ 四。

歐拉可求和嘛蘊涵了另外一種可求和性。將一 − 二 + 三 − 四 +…表示講：

: $ \ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } a _ { k }=\ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { k } ( k + 一 ) $

有相關的處理收斂級數：

: $ a ( x )=\ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { k } ( k + 一 ) x ^ { k } } { k ! } }=e ^ {-x } ( 一-x ) $

因此一 − 二 + 三 − 四 +…的波萊爾和為：

: $ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } e ^ {-x } a ( x ) \ , dx=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } e ^ { 鋪二 x } ( 一-x ) \ , dx={ \ frac { 一 } { 二 } }-{ \ frac { 一 } { 四 } } $

===尺度分離===

賽切夫佮 Woyczyński 干焦通過兩个物理原理便會出一 − 二 + 三 − 四 +…=一 ⁄ 四，這兩个原理分別是：無窮小鹿楝（_ infinitesimal relaxation _）佮尺度分離（_ separation of scales _）。為著求表達準確，遮的原理促使了𪜶去定義一系列的「_ φ _-求和法」，所有遮的方法攏會當將級數求佮得一 ⁄ 四：

* 若是 φ ( _ x _ ) 是一个函數，其實乎、二階導數佇咧 ( 零 , ∞ ) 上是連紲而且會當積的，有 φ ( 零 )=一，並且 φ ( _ x _ ) 佮 _ x _ φ ( _ x _ ) 佇咧 + ∞ 時的極限攏替零，著：

: : $ \ lim _ { \ delta \ downarrow 零 } \ sum _ { m=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { m } ( m + 一 ) \ varphi ( \ delta m )={ \ frac { 一 } { 四 } } $

該結果推廣矣阿貝耳求和，當取 _ φ _ ( _ x _ )=exp ( − _ x _ ) 時會當得著進前的等式。這一般陳述會通過會關於著 _ m _ 級數內底的項配著，閣欲表達式轉換做黎曼積分的形式予以證明。佇後一步內底，著一 − 一 + 一 − 一 +…的相應證明運用了均值定理，毋過佇遮需要泰勒公式內底閣較強的拉格朗日形式。

==廣義化==

一 − 一 + 一 − 一 +…的三重柯西乘積做一 − 三 + 六 − 十 +…，為三角形數的交雜級數；其阿貝耳佮歐拉佮做伙 ⁄ 八。一 − 一 + 一 − 一 +…的四重柯西乘積做一 − 四 + 十 − 二十 +…，為四面體數的交錯級數，其阿貝耳和為一 ⁄ 十六。

另外一个一 − 二 + 三 − 四 +…佇略略仔無仝的方向的廣義化是一般級數一 − 二 n + 三 n − 四 n +…。著正整數 _ n _ 來講，這个級數有下列的阿貝耳佮：

: $ 一孵二 ^ { n } + 三 ^ { n }-\ cdots={ \ frac { 二 ^ { n + 一 } 影一 } { n + 一 } } B _ { n + 一 } $

其中 _ B _ n 是伯仔拍拚數。著大於零的偶數 _ n _，是化約為：

: $ 一孵二 ^ { 二 k } + 三 ^ { 二 k }-\ cdots=零 $

後一个佮成為尼爾斯・亨利克・阿貝爾特別笑詼的物件，佇一八二六年的時伊講：

:「發散級數純粹是魔鬼的工課，膽敢去揣著任何證明𪜶的行為攏是見笑的。若用著𪜶，會當對內底上著想欲愛的物件；仝時陣嘛是𪜶，製造遮爾濟的無爽快佮遮爾濟的被論。試問會去想著比下跤內容較予人驚惶的物件無：

: 零=一 − 二 n + 三 n − 四 n + etc .

: 其中，_ n _ 為正數。這是一个笑詼，朋友。」

切薩羅的老師歐仁・查理・卡塔蘭嘛輕視發散級數。佇咧卡塔蘭的影響之下，切薩羅早期提出一 − 二 n + 三 n − 四 n +…的「習用式」是「譀古的等式」；佇一八八三年，切薩羅表明矣彼陣的一个典型看法：遮公式是毋著的，猶毋過佇某一寡場合佇咧形式上是有路用的。最後咧，佇伊一八九零年的冊《_ Sur la multiplication des séries _》中，切薩羅對定義開始用一个現代的做法。

現級數佇咧 _ n _ 是非整數值的情形亦有所研究；這產生矣狄利克雷 η 函數。歐拉研究一 − 二 + 三 − 四 +…相關級數的部份動機是 η 函數的函數方程式，這直接導向了黎曼 ζ 函數的函數方程式。歐拉佇咧咱的偶數（包括佇彼巴窒爾問題當中）時揣著遮的函數值的建樹仔已經予伊出名，伊嘛試圖揣著正奇數（包括佇阿培里常數內底）時的值，毋過這个問題一直到今仔日猶是真歹解決的。η 函數通過歐拉的方法去解決會較簡單，因為伊的狄利克雷的級數是處理的阿貝耳可求和；而且 ζ 函數的狄利克雷級數是非常的困難以對發散的部份求和。比如講，一 − 二 + 三 − 四 +…佇咧 η 函數中的相𫝛級數是非交錯級數一 + 二 + 三 + 四 +…，該級數佇現代物理學上有真深的應用，猶毋過需要非常強的方法才會當求和。

==參見==

* 伯仔拍拚利數
* 黎曼 ζ 函數
* 泰勒級數
* 泛函方程式

==註解==

==參考來源==

===冊目===

[[分類: 待校正]]

一−二+三−四+… - 修訂紀錄

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