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2025-08-19T14:04:23Z

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'''$ 二 i $'''是距離原點兩个單位的高斯整數，為虛數單位的兩倍，同時嘛是負四的平方根，是方程式 $ x ^ { 二 } + 四=零 $ 的正虛根。日常生活當中通常袂曉用 $ 二 i $ 來計量事物，譬如講無法度具體的所在 $ 二 i $ 個人，邏輯上 $ 二 i $ 個人並無意義。部份冊抑是教科冊三不五時攏會使用 $ 二 i $ 來做虛數的例抑是題目。

佇咧高斯平面上，佮 $ 二 i $ 相鄰的純虛數之高斯整數有 $ i $ 和 $ 三 i $，毋過複數無啥貨有序，就無法度判斷 $ 二 i $ 佮 $ 三 i $ 間的大細關係，所以無法度定義 $ i $ 佮 $ 三 i $ 何者為 $ 二 i $ 的前一个虛數、何者為 $ 二 i $ 的後一个虛數。

==性質==

*'''$ 二 i $'''無屬於實數，是一个純虛數，同時嘛是複數位佇咧複數平面，其實部為零、虛部為二，輻角為九十度（$ { \ frac { \ pi } { 二 } } $ 弧度），其實嘛會當表達為 $ 二 e ^ { i \ pi / 二 } $ 抑是 $ 二 \ left ( \ cos { \ frac { \ pi } { 二 } } + i \ sin { \ frac { \ pi } { 二 } } \ right ) $。
*'''$ 二 i $'''是一个高斯的整數，高斯整數分解為 $ ( 一 + i ) ^ { 二 } $，抑是 $ ( 一 + i ) ( 一 + i ) $，其中，一 + _ i _ 為而 _ i _ 的高斯質因數。
* 所有複數的會當表達為'''$ 二 i $'''之冪的線性組合。嘛會使講若進位制以'''$ 二 i $'''為底數，會當獨一無二的表示全體複數。這種的進制叫二 i 進制，由高德納佇咧一九五五年發現。
* 複數的虛數部會當定做複數佮其共擔複數的差除了以 $ 二 i $ 商，換言之，著 $ z-z ^ { * }=二 i \ , Im ( z ) $。

: $ Im ( z )={ \ frac { z-z ^ { * } } { 二 i } } $
* 正絃仔函數會當定義做純虛指數函數佮其尾仔的精差除以 $ 二 i $ 商。

: $ \ sin ( z )={ \ frac { e ^ { iz }-e ^ {-iz } } { 二 i } } $
*'''$ 二 i $'''等於上細的質數佮虛數單位的積，即 $ p _ { _ { 一 } } \ times i=二 i $，其中 $ p _ { n } $ 為第 $ n $ 個質數。
* 虛數單位佮虛數單位的倒算相差'''$ 二 i $'''。
* 任意數佮 $ 二 i $ 相乘的意義為模放大兩倍並佇複平面上以原點為中心逆時針旋轉九十度。

===二 _ i _ 的冪===

$ 二 i $ 的前幾改冪為一、二 _ i _、− 四、− 八 _ i _、十六、三十二 _ i _、− 六十四 . . .，其實會佇咧實部佮虛部交含變換，其單位會佇咧一、_ i _、− 一、− _ i _ 中變化。其中，實數項為 − 四的冪，虛數的正值項為十六的冪的二倍、虛數的負值項為十六的冪的 − 八倍，所以這種特性會當予 $ 二 i $ 作為底數會當袂複數表達為實部佮虛部就會當表示全體複數，並且有研究以此特性設計複數運算電路。

===二 _ i _ 的平方根===

'''$ 二 i $'''的平方根拄好是實數單位佮虛數單位的佮，即 $ { \ sqrt { 二 i } }=一 + i $，反過來講'''$ 二 i $'''拄仔好是實數單位佮虛數單位相加的平方，$ ( 一 + i ) ^ { 二 }=二 i $。

==相關數字==

===− 二 _ i _===

$ 鋪二 i $ 是 $ 二 i $ 顛倒反數，其平方根捌提議作為複數進位制的底數。

===一 + _ i _===

$ 一 + i $ 是 $ 二 i $ 的平方根，因為其冪次做一 + _ i _、二 _ i _、− 二 + 二 _ i _、− 四、− 四 − 四 _ i _、− 八 _ i _ . . .，佇正負、虛實交替變化，若做為進位制底數會當表達全體複數。但其組合變化比起來 $ 影一 + i $ 為底數的進位制，$ 影一 + i $ 做底數閣較適合。

===− 一 + _ i _===

$ 影一 + i $ 是 $ 鋪二 i $ 的平方根。因為其冪次為 − 一 + _ i _、− 二 _ i _、二 + 二 _ i _、− 四、四 − 四 _ i _、八 _ i _ . . .，其實正負、虛實交替變化，所以其實會當構建一个以早 $ 影一 + i $ 為底數並用一和零表達複數的進位制。其他的複數雖然嘛會當，如 $ 一-i $，但對高斯的整數來講，以 $ 一-i $ 為底並毋是一个優良的選擇。

除了 $ 影一 + i $ 外，其他 $-n + i $ 形式的複數也通做進位制底數，毋過其實表達數的範圍無仝款，以 $ 影一 + i $ 做例，其實伊表達的範圍較齊勻，而且 $ 鋪二 + i $、$ ma三 + i $ 等則會愈來愈狹。

==參見==

* 虛數單位
* 鋪二

==參考文獻==

[[分類: 待校正]]

二i - 修訂紀錄

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