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2025-08-23T23:27:05Z

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'''伯仔拍拚微分方程'''是形式如 $ y'+ P ( x ) y=Q ( x ) y ^ { n } \ , $ 定定微分方程。

==解法==

: $ y'+ P ( x ) y=Q ( x ) y ^ { n } \ , $

代入 $ w={ y ^ { 一-n } } \ , $（注意 $ w'={ \ frac { ( 一-n ) } { y ^ { n } } } y'$）：

: $ { \ frac { w'} { 一-n } } + P ( x ) w=Q ( x ) $

現此時微微分方程會當減分因為求解。

==例==

解以下微分方面。

: $ y'-{ \ frac { 二 y } { x } }=-x ^ { 二 } y ^ { 二 } $

兩爿除以 $ y ^ { 二 } $，得：

: $ y'y ^ { 鋪二 }-{ \ frac { 二 } { x } } y ^ { 影一 }=-x ^ { 二 } $

利用分離變數法，可得：

: $ w={ \ frac { 一 } { y } } $

: $ w'={ \ frac {-y'} { y ^ { 二 } } } . $

: $ w'+ { \ frac { 二 } { x } } w=x ^ { 二 } $

伊會當用積分因為的方法來解出。

: $ M ( x )=e ^ { 二 \ int { \ frac { 一 } { x } } dx }=x ^ { 二 } . $

兩爿乘以 $ M ( x ) $，得：

: $ w'x ^ { 二 } + 二 xw=x ^ { 四 } , \ , $

等式的倒爿是 $ wx ^ { 二 } $ 的導數。兩爿積分，得：

: $ \ int ( wx ^ { 二 } )'dx=\ int x ^ { 四 } dx $

: $ wx ^ { 二 }={ \ frac { 一 } { 五 } } x ^ { 五 } + C $

: $ { \ frac { 一 } { y } } x ^ { 二 }={ \ frac { 一 } { 五 } } x ^ { 五 } + C $

所以：

: $ y={ \ frac { x ^ { 二 } } { { \ frac { 一 } { 五 } } x ^ { 五 } + C } } $

==參見==

* 里卡蒂方程
* 柯西-歐拉方程
* 克萊羅方程
* 全微分方程
* 線性微分方程

==外部連結==

* Bernoulli equation . PlanetMath .
* Differential equation . PlanetMath .
* Index of differential equations . PlanetMath .

[[分類: 待校正]]

伯仔拍拚微分方程 - 修訂紀錄

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