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2025-08-22T18:29:32Z

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佇咧數學中，'''內積'''（德語：Punktprodukt；英語：Dot Product）閣稱'''數量積'''抑是'''純量積'''（德語：Skalarprodukt；英語：Scalar Product），是一種接受兩串等長的數字序列（通常是坐標向量）、倒轉來單一數字的代數運算。佇歐幾里著幾何，兩條𥰔仔卡兒坐標向量的內積定定號做'''內積'''（德語：inneres Produkt；英語：Inner Product），見內積空間。

對代數角度看，先求兩數字序列內底每組對應元素的積，閣求所有積之佮，結果就為著內積。對幾何角度看嘛，內積是兩向量的長度佮𪜶夾角餘弦的積。這兩種定義佇𥰔仔卡兒坐標系中等價。

'''內積'''的名稱源自表示點乘運算的點號（$ a \ cdot b $），讀作 $ a \ dot \ b $，'''純量積'''的叫法則是咧強調其運算結果為純量毋是向量。向量的另外一種乘法是'''叉仔乘'''（$ a \ times b $），結果向量，這號做'''叉仔積'''抑是'''向量積'''。

點積是'''內積'''（內積是內積的抽象，內底是一種雙線性函數，內積是歐幾里得空間（實內積空間）的度量）的一種特殊的形式。

==定義==

內積有兩種定義的方式：代數方式佮幾何方式。通過佇歐氏空間內底引入𥰔仔卡兒坐標系，向量間的'''內積'''既然會當由向量坐標的代數運算會出，嘛會當通過引入兩向量的'''長度'''和'''角度'''等幾何概念來求解。

===代數定義===

向量 $ { \ vec { a } }=[a _ { 一 } , a _ { 二 } , \ cdots , a _ { n }] $ 和 $ { \ vec { b } }=[b _ { 一 } , b _ { 二 } , \ cdots , b _ { n }] $ 的內積定義為：

: $ { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } }=\ sum _ { i=一 } ^ { n } a _ { i } b _ { i }=a _ { 一 } b _ { 一 } + a _ { 二 } b _ { 二 } + \ cdots + a _ { n } b _ { n } $

遮的 Σ 是求和符號，而且 _ n _ 是向量空間的維數。

比如講，三維向量 $ \ left [一 , 三 , 鋪五 \ right] $ 和 $ \ left [四 , 鋪二 , 影一 \ right] $ 內積是

: $ { \ begin { aligned } \ [一 , 三 , 鋪五] \ cdot [四 , 鋪二 , 影一] &=( 一 ) ( 四 ) + ( 三 ) ( 鋪二 ) + ( 鋪五 ) ( 影一 ) \ \ &=四配六 + 五 \ \ &=三 \ end { aligned } } $

內積閣會當寫為講：

: $ { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } }={ \ vec { a } } { \ vec { b } } ^ { T } $。

遮，$ { \ vec { b } } ^ { T } $ 是行向量 $ { \ vec { b } } $ 的轉置。

使用頂懸的例，一 × 三矩陣（行向量）乘以三 × 一矩陣（列向量）的行列式就是結果 ( 通過矩陣乘法得著一 × 一矩陣 ) :

: $ { \ begin { bmatrix } 一 & 三 & 鋪五 \ end { bmatrix } } { \ begin { bmatrix } 四 \ \ 鋪二 \ \ 影一 \ end { bmatrix } }={ \ begin { bmatrix } 三 \ end { bmatrix } }=三 $。

===幾何定義===

佇歐幾里著空間內底，內積會當直觀定義為

: $ { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } }=| { \ vec { a } } | \ , | { \ vec { b } } | \ cos \ theta \ ; $

遮 | $ { \ vec { x } } $ | 表示 $ { \ vec { x } } $ 的模仔（長度）， $ \ theta $ 表示向量間的角度。

'''注意'''：內積的形式定義和這定義無仝款；咧形式定義，$ { \ vec { a } } $ 和 $ { \ vec { b } } $ 的角度用上述等式定義。

按呢乎，互相垂直的兩條向量的內積總是零。若是 $ { \ vec { a } } $ 和 $ { \ vec { b } } $ 攏是單位的向量（長度為一），𪜶的內積就是𪜶的挾角的餘弦。遐爾，予定兩條向量，𪜶之間的角色會當下公式來得著：

: $ \ cos { \ theta }={ \ frac { \ mathbf { a \ cdot b } } { | { \ vec { a } } | \ , | { \ vec { b } } | } } $

這个運算會當簡單來理解講：佇內積運算中，第一向量投影到第二向量（向量順序遮佇咧無重要，內積運算會當交換），然後通過除了𪜶的純量長度來「標準化」。按呢乎，這分數一定是小於等於一的，會當簡單轉化做角度。

===純量投影===

歐氏空間內底向量 $ \ mathbf { A } $ 咧向量 $ \ mathbf { B } $ 上的純量投影是講

: $ A _ { B }=| \ mathbf { A } | \ cos \ theta $

遮 $ \ theta $ 是'''$ \ mathbf { A } $'''和'''$ \ mathbf { B } $'''的夾角。按內底飼的幾偌何定義 $ \ mathbf { A } \ cdot \ mathbf { B }=| \ mathbf { A } | | \ mathbf { B } | \ cos \ theta $ 這袂難得出，兩向量的內積：$ \ mathbf { A } \ cdot \ mathbf { B } $ 會當理解做向量 $ \ mathbf { A } $ 咧向量 $ \ mathbf { B } $ 上的投影閣再乘以 $ \ mathbf { B } $ 的長度。

: $ \ mathbf { A } \ cdot \ mathbf { B }=A _ { B } | \ mathbf { B } |=B _ { A } | \ mathbf { A } | $

===兩種定義的等價性===

內積的兩種定義中，只需要予定一種定義，另外一種定義就會當推出。

====由幾何定義推出代數定義====

設 $ e _ { 一 } , . . . , e _ { n } $ 是 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 空間的一組標準正交基，會當著：

: $ { \ begin { aligned } \ mathbf { A } &=[a _ { 一 } , \ dots , a _ { n }]=\ sum _ { i } a _ { i } \ mathbf { e } _ { i } \ \ \ mathbf { B } &=[b _ { 一 } , \ dots , b _ { n }]=\ sum _ { i } b _ { i } \ mathbf { e } _ { i } . \ end { aligned } } $

喔上文中已經著知兩條向量內積的幾何定義實際上就是一條向量佇另外一條向量上的投影，故 $ \ mathbf { A } $ 在任一標準基 $ e _ { n } $ 內積 $ \ mathbf { A } \ cdot \ mathbf { e } _ { i } $ 就是講 $ \ mathbf { A } $ 佇遮標準基向量上的投影，根據向量家己的定義，這个投影即為 $ a _ { i } $。所以：

: $ \ mathbf { A } \ cdot \ mathbf { B }=\ mathbf { A } \ cdot \ sum _ { i } b _ { i } \ mathbf { e } _ { i }=\ sum _ { i } b _ { i } ( \ mathbf { A } \ cdot \ mathbf { e } _ { i } )=\ sum _ { i } b _ { i } a _ { i } $

====由代數定義推出幾何定義====

應用餘弦定理。'''注意'''：這个證明用三維向量，但是會當推廣著 $ n $ 維的情形。

考慮向量

: $ { \ vec { v } }=v _ { 一 } { \ vec { i } } + v _ { 二 } { \ vec { j } } + v _ { 三 } { \ vec { k } } \ ; $ .

重復使用畢氏定理的到

: $ | { \ vec { v } } | ^ { 二 }=v _ { 一 } ^ { 二 } + v _ { 二 } ^ { 二 } + v _ { 三 } ^ { 二 } \ ; $ .

由代數定義

: $ { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }=v _ { 一 } ^ { 二 } + v _ { 二 } ^ { 二 } + v _ { 三 } ^ { 二 } \ ; $ ,

所以乎，根據向量內積的代數定義，向量 $ { \ vec { v } } $ 佮家己的內積就是其長度的平方。

''''''引理一''''''
: $ { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }=| { \ vec { v } } | ^ { 二 } \ ; $

這馬乎，考慮對原點出發的兩條向量 $ { \ vec { a } } $ 和 $ { \ vec { b } } $，夾角 $ \ theta $。第三條向量 $ { \ vec { c } } $ 定義做

: $ { \ vec { c } } \ equiv { \ vec { a } }-{ \ vec { b } } \ ; $ ,

構造以 $ { \ vec { a } } $，$ { \ vec { b } } $，$ { \ vec { c } } $ 為邊的三角形，採用餘弦定理，有

: $ | { \ vec { c } } | ^ { 二 }=| { \ vec { a } } | ^ { 二 } + | { \ vec { b } } | ^ { 二 } 鋪二 | { \ vec { a } } | | { \ vec { b } } | \ cos \ theta \ ; $ .

根據引理一，用內積代替向量長度的平方，有

: $ { \ vec { c } } \ cdot { \ vec { c } }={ \ vec { a } } \ cdot { \ vec { a } } + { \ vec { b } } \ cdot { \ vec { b } } 鋪二 | { \ vec { a } } | | { \ vec { b } } | \ cos \ theta \ ; $ . _（一）_

同時，根據定義 $ { \ vec { c } } $ ≡ $ { \ vec { a } } $-$ { \ vec { b } } $，有

: $ { \ vec { c } } \ cdot { \ vec { c } }=( { \ vec { a } }-{ \ vec { b } } ) \ cdot ( { \ vec { a } }-{ \ vec { b } } ) \ ; $ ,

根據分配律，得

: $ { \ vec { c } } \ cdot { \ vec { c } }={ \ vec { a } } \ cdot { \ vec { a } } + { \ vec { b } } \ cdot { \ vec { b } } 鋪二 ( { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } } ) \ ; $ . _（二）_

連接等式 _（一）_ 和 _（二）_ 有

: $ { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { a } } + { \ vec { b } } \ cdot { \ vec { b } } 鋪二 ( { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } } )={ \ vec { a } } \ cdot { \ vec { a } } + { \ vec { b } } \ cdot { \ vec { b } } 鋪二 | { \ vec { a } } | | { \ vec { b } } | \ cos \ theta \ ; $ .

簡化等式就算講

: $ { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } }=| { \ vec { a } } | | { \ vec { b } } | \ cos \ theta \ ; $ ,

以上就為向量內積的幾何定義。

需要注意的是，內積的幾何解說通常只適用佇咧 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ ( $ n \ leq 三 $ )。佇高維空間，其他的域抑是模仔，內積干焦一个定義，彼就是

: $ \ left \ langle { \ vec { a } } , { \ vec { b } } \ right \ rangle=\ sum _ { i=一 } ^ { n } a _ { i } b _ { i } $

內積會當用來計算合力佮功。若是 $ { \ vec { b } } $ 為單向量，內積就算講 $ { \ vec { a } } $ 佇方向 $ { \ vec { b } } $ 的投影，即予出力佇這个方向頂懸的分解。功就是力佮位徙的內積。

==性質==

內積有以下性質。

* 滿足交換律：

: $ { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } }={ \ vec { b } } \ cdot { \ vec { a } } $，

: 按定義就會當證明（$ \ theta $ 為 $ a $ 佮 $ b $ 的夾角）：

: $ { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } }=\ left \ | { \ vec { a } } \ right \ | \ left \ | { \ vec { b } } \ right \ | \ cos \ theta=\ left \ | { \ vec { b } } \ right \ | \ left \ | { \ vec { a } } \ right \ | \ cos \ theta={ \ vec { b } } \ cdot { \ vec { a } } $
* 從向量加法滿足分配律：

: $ { \ vec { a } } \ cdot( { \ vec { b } } + { \ vec { c } } )={ \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } } + { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { c } } $
* 內積是雙線性算子：

: $ { \ vec { a } } \ cdot ( r { \ vec { b } } + { \ vec { c } } )=r ( { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } } ) + ( { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { c } } ) $
* 咧乘以純量的時陣滿足：

: $ ( c _ { 一 } { \ vec { a } } ) \ cdot ( c _ { 二 } { \ vec { b } } )=( c _ { 一 } c _ { 二 } ) ( { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } } ) $
* 不滿足結合律。因為純量（$ { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } } $）佮向量（'''$ { \ vec { c } } $'''）內積無定義，所以結合律相關的表達式 $ ( { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } } ) \ cdot { \ vec { c } } $ 和 $ { \ vec { a } } \ cdot ( { \ vec { b } } \ cdot { \ vec { c } } ) $ 攏無真好的定義
* 兩个非空向量 $ { \ vec { a } } $ 和 $ { \ vec { b } } $ 是正交的，若是唯一 $ { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } }=零 $

若是 $ { \ vec { b } } $ 是單位向量，則內積予出 $ { \ vec { a } } $ 佇方向 $ { \ vec { b } } $ 上投影的大細，若是方向來反則有負號。分解向量對求向量的佮定定攏有用的，比如講佇這个力學中計算合力。

無像普通數的乘法服對消去律，若是 $ ab=ac $，著 $ b $ 總是等於 $ c $，除非講 $ a $ 等於零。啊若對著內積：

: 若是 $ { \ vec { a } } \ cdot { \ vec { b } }={ \ vec { a } } \ cdot { \ vec { c } } $ 並且 $ { \ vec { a } } \ neq 零 $ :

: 是根據分配律會當著著：$ { \ vec { a } } \ cdot \ left ( { \ vec { b } }-{ \ vec { c } } \ right )=零 $；進一步：

: 若是 $ { \ vec { a } } $ 垂直於 $ \ left ( { \ vec { b } }-{ \ vec { c } } \ right ) $，著 $ \ left ( { \ vec { b } }-{ \ vec { c } } \ right ) $ 可能 $ \ neq 零 $，因而 $ { \ vec { b } } $ 可能 $ \ neq { \ vec { c } } $；抑無 $ { \ vec { b } }={ \ vec { c } } $。

==延伸==

===矩陣===

矩陣有響羅比尼烏斯內積，會當類似向量的內積。伊予人定義做兩个相𫝛大細的矩陣'''A'''和'''B'''的對應元素的內積之佮。

複矩陣的情況下：

: $ \ mathbf { A } : \ mathbf { B }=\ sum _ { i } \ sum _ { j } A _ { ij } { \ overline { B _ { ij } } }=\ mathrm { tr } ( \ mathbf { B } ^ { \ mathrm { H } } \ mathbf { A } )=\ mathrm { tr } ( \ mathbf { A } \ mathbf { B } ^ { \ mathrm { H } } ) . $

實矩陣的情況下：

: $ \ mathbf { A } : \ mathbf { B }=\ sum _ { i } \ sum _ { j } A _ { ij } B _ { ij }=\ mathrm { tr } ( \ mathbf { B } ^ { \ mathrm { T } } \ mathbf { A } )=\ mathrm { tr } ( \ mathbf { A } \ mathbf { B } ^ { \ mathrm { T } } )=\ mathrm { tr } ( \ mathbf { A } ^ { \ mathrm { T } } \ mathbf { B } )=\ mathrm { tr } ( \ mathbf { B } \ mathbf { A } ^ { \ mathrm { T } } ) . $

==應用==

物理學中力學的物件做功的問題，經常用著內積計算。

計算機圖形學定定用來判斷方向，如兩向量內積大於零，是𪜶的方向向相倚；若無佇咧零，愛顛倒頭。

向量內積是人工智慧領域內底的神經網路技術的數學基礎之一。

此方法用動畫渲染（Animation-Rendering）。

==廣義定義==

咧向量空間 $ V $ 中，定義佇咧 $ V \ times V $ 上的'''正定對稱雙線性的形式'''函數就是 $ V $ 內積，添加有數量積的向量空間就是內積空間。

==參見==

* 向量積

[[分類: 待校正]]

內積 - 修訂紀錄

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