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2025-08-22T23:19:36Z

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佇咧叫詞邏輯內底，'''全稱命題'''是對論域內所有成員的性質或關係的論斷結果的陳泗治。佇符號邏輯內底，'''講全稱量詞'''∀ 是用來指示全稱量化的符號。

相對的喔，表示至少一个物件為真的量詞為存在量詞。

==基礎==

欲表達「二乘以所有自然數攏等於這个自然數佮家己相加的佮」，一種方式的是：

: $ 二 \ times 零=零 + 零 $，而且 $ 二 \ times 一=一 + 一 $，而且 $ 二 \ times 二=二 + 二 $，而且 $ 二 \ times 三=三 + 三 $，以此類推。

因為使用著「而且」一詞，這看起去是邏輯合取。毋過形式邏輯內底合取概念煞袂當表達出「以此類推」一詞的含義。

因為按呢會當重題來改寫

:'''對任意'''自然數 $ n $，$ 二 \ times n=n + n $。

這是一个使用全稱量化的單一命題。該命題比原命題閣較精確，因為乎「以此類推」一詞想表示的是愛包括所有的自然數、而且除了這以外無包括任何其他的內容，但是語言內底並無明確的問題這點，這便是「以此類推」一詞袂使予人形式解說的根本原因。

這个新命題為真，因為任何自然數 $ n $ 攏使命題 $ 二 \ times n=n + n $ 成立。反之，命題「對任何自然數 $ n $，攏有 $ 二 \ times n > 二 + n $ 是假的，因為當 $ n $ 號一時，$ 二 \ times 一 > 二 + 一 $ 就無成立。就算講 _ 大多數啦 _ 自然數 $ n $ 攏滿足 $ 二 \ times n > 二 + n $，但是儉佇至少有一个反例真以舉證規稱命題做假。

毋過，「對任何合數 $ n $，攏有 $ 二 \ times n > 二 + n $」是真命題，因為所有的反例攏毋是合數。這說明了論域的重要性—— 確定變量 $ n $ 的取值範圍。
限制存在量化的論域欲使用邏輯條件。比如講「對任何合數 $ n $，攏有 $ 二 \ times n > 二 + n $」邏輯等價於「對任何自然數 $ n $，若是 $ n $ 為合數，著 $ 二 \ times n > 二 + n $」。遮「若是…… 著」的句仔構造出著邏輯條件。

佇符號邏輯內底，使用全稱量詞「∀」（倒爿的無襯線體字母「A」）來表示全稱量化。所以若是 $ P ( n ) $ 是叫詞「$ 二 \ times n > 二 + n $」，而且 $ \ mathbb { N } $ 是自然數集，遐爾有

: $ \ forall { n } { \ in } \ mathbb { N } \ , P ( n ) $

表示的是假命題「對任何自然數 $ n $，攏有 $ 二 \ times n > 二 + n $」。

類似地，若命題 $ Q ( n ) $ 白述的是「$ n $ 為合數」，遐爾有

: $ \ forall { n } { \ in } \ mathbb { N } \ , Q ( n ) \ ; \ ! \ ; \ ! { \ rightarrow } \ ; \ ! \ ; \ ! P ( n ) $

表示的是真命題「對任何合數 $ n $，攏有 $ 二 \ times n > 二 + n $」。

圓括號嘛有時用來表示講全稱量化。

: $ ( n { \ in } \ mathbb { N } ) \ , P ( n ) $

==性質==

===否定===

注意著一个量化的命題函數的結果是一个命題；因此若親像命題仝款，量化的函數嘛會當予人否定。數學家佮邏輯學家用來表示否定的符號是：$ \ lnot \ $。

比如講伊，定義 $ P ( x ) $ 為命題函數「$ x $ 已經結婚」；著對所有活人組成的論域 $ U $，考慮全稱量化「著予定的任何活人 $ x $，這馬人攏已經嫁矣」：

$ $
\ forall { x } { \ in } \ mathbf { X } \ , P ( x )
$ $

顯然，這个命題為假，所以咱會當切實地講：「毋是攏按呢的狀況，即：著予定的任何活人 $ x $，這馬人攏已經嫁矣」，抑是用符號記作：

$ \ lnot \ \ forall { x } { \ in } \ mathbf { X } \ , P ( x ) $ .

開點的時間來考慮，準確來講，著全稱量詞來進行是毋是定著意味：若是並毋是對論域內底的 _ 彼每一个 _ 元素來講命題為真的話，定著愛佇至少一個元素使命題做假。這就是講，對命題函數 $ P ( x ) $ 的否定是邏輯等等價數「有一个無結婚的活人 $ x $」的，抑是記作：

$ $
\ exists { x } { \ in } \ mathbf { X } \ , \ lnot \ P ( x )
$ $

一般地，則有，對一个命題函數全稱量化的若無定著這个命題函數的否定的一个存在量化；會當用符號表示為：

$ $
\ lnot \ \ lnot \ \ forall { x } { \ in } \ mathbf { X } \ , P ( x ) \ equiv \ \ lnot \ ( \ exists { x } { \ in } \ mathbf { X } \ , \ lnot \ P ( x ) )
$ $

===推理規則===

推理規則是講由假設著結論的過程中證明一个邏輯步驟成立的規則。有如果干推理規則利用了全稱量詞。

'''普遍例證'''（Universal instantiation）推定出的結論是按呢：若已經知命題函數普遍成立，則其必對論域中任何隨意予出的元素均成立。會遮的符號化地表示

$ $
\ forall { x } { \ in } \ mathbf { X } \ , P ( x ) \ to \ P ( c )
$ $

其中 $ c $ 是論域內底會當完全隨意確定的某一个元素。

'''普遍概用'''（Universal generalization）推定出的結論是按呢：若命題函數對論域中任何隨意給出的元素均成立，著其普遍成立。用符號表示為：著某一个會當凊彩確定的 c，

$ $
P ( c ) \ to \ \ forall { x } { \ in } \ mathbf { X } \ , P ( x )
$ $

特別重要的是著愛注意著，$ c $ 著愛是完全隨意確定的；抑無就會當遵循這个邏輯：若是 $ c $ 毋是講凊彩確定的、是論域中的一个特定元素，著 $ P ( c ) $ 干焦說明蘊意著該命題函數的某一个存在量化會當成立。

==參考資料==

* Hinman , P . Fundamentals of Mathematical Logic . A K Peters . 兩千空五 . ISBN 九百七十八追一孵五鋪六千八百八十一孵兩百六十二孵五 .
* Franklin , J . and Daoud , A . Proof in Mathematics : An Introduction . Quakers Hill Press . 九百九十六 . ISBN 九百七十八八閣一鋪八十七鋪六千一百九十二鋪空七六 . （ch . 二）

==參見==

* 存在量化（∃，there exists）
* 量化 ( 數理邏輯 )
* 絕對的普遍性—— 假使全稱量化的範圍為絕對一切事物

[[分類: 待校正]]

全稱量化 - 修訂紀錄

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