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2025-08-22T03:04:22Z

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'''勞侖次吸引子'''（Lorenz attractor）是'''勞侖次振子'''（Lorenz oscillator）的長期行為對應的碎形結構，以愛德華・諾蓋・勞侖次（Edward Norton Lorenz）的姓號名。勞侖次振子是能產生混流的三維動力系統，閣號做'''勞侖次系統'''（Lorenz system），其一組混解稱作勞侖次吸引囝，以其雙紐線形來講。映射展示出動力系統（三維系統的三个變量）的狀態是按怎以一種複雜閣無重複的模式，綴時間的推徙而演變的。

==簡述==

勞侖次吸引子佮其導出的方程組是由愛德華・諾蓋・勞侖次佇一九六三年發表，頭仔是發表佇咧《大氣科學雜誌》（_ Journal of the Atmospheric Sciences _）雜誌的論文《_ Deterministic Nonperiodic Flow _》中提出的，是由這个大氣方程式內底出現的對流卷方程式畫會著的。

這一勞侖模型毋但對非線性數學有重要性，對氣候佮天氣預報來講嘛有真重要的含義。行星佮恆星大氣可能會表現出濟款無仝款的準周期狀態，遮的準周期的狀態雖然是完全確定的，毋過煞誠緊發生突變，看起來敢若是隨機變化的，模型對這个現象有明確的表述。

對技術角度看起來，勞侖次振子具有非線性、三維性佮確定性。二空空一年，沃里克・塔克爾（Warwick Tucker）證明出佇一組確定的參數之下，系統會表現出混和行為，顯示出人今仔日所知的奇異吸引囝。這款的奇巧吸引子是豪斯多夫維數佇二佮三之間的碎形。那個得・格拉斯伯格（Peter Grassberger）已經一九八三年估算出豪斯多夫維數是二石樵空六 ± 空九九空一，若關聯維數是二交零五 ± 空九九空一。

此系統嘛會出現佇咧單模雷射佮發電機的簡化模型內底。除了這以外，閉環著流、水輪轉動等物理模型也有這系統的應用。

==勞侖方程式==

勞侖方程式是基於納維－斯托克斯方程式、連續性方程式佮熱傳導方程式簡化會出，上蓋起初的形式為：

: $ { \ frac { \ partial { \ vec { v } } } { \ partial t } } + \ left ( { \ vec { v } } \ nabla \ right ) { \ vec { v } }=-{ \ frac { \ nabla p } { \ rho } } + \ nu \ nabla ^ { 二 } { \ vec { v } } + { \ vec { g } } $

: $ { \ frac { \ partial \ rho } { \ partial t } } + \ nabla \ cdot \ left ( \ rho { \ vec { v } } \ right )=零 $

: $ { \ frac { \ partial T } { \ partial t } } + \ nabla \ cdot \ left ( T { \ vec { v } } \ right )=\ chi \ nabla ^ { 二 } T $

: $ \ rho=\ rho _ { 零 } \ left ( 一-\ gamma \ left ( T-T _ { 零 } \ right ) \ right ) $

$ { \ vec { v } } $ 是流速，$ T $ 是流體溫度，$ T _ { 零 } $ 是有限溫度（嘛會用得寫做 $ T _ { 零 } + \ Delta T $）， $ \ rho $ 是密度，$ p $ 是壓力，$ { \ vec { g } } $ 是重力，$ \ gamma $、$ \ chi $、$ \ nu $ 依次是熱脹係數、熱擴散率佮動黏滯係數。

簡化了後的形式號做'''勞侖方程式'''，是決定勞侖次振子狀態的方程式為一組常微分方程式：

: $ { \ frac { dx } { dt } }=\ sigma ( y-x ) $

: $ { \ frac { dy } { dt } }=x ( \ rho-z )-y $

: $ { \ frac { dz } { dt } }=xy-\ beta z $

含時間參數的形式：

: $ { \ begin { cases } { \ frac { \ mathrm { d } x ( t ) } { \ mathrm { d } t } }=\ sigma { \ bigl ( } y ( t )-x ( t ) { \ bigr ) } \ \ { \ frac { \ mathrm { d } y ( t ) } { \ mathrm { d } t } }=\ rho \ , x ( t )-y ( t )-x ( t ) \ , z ( t ) \ \ { \ frac { \ mathrm { d } z ( t ) } { \ mathrm { d } t } }=x ( t ) \ , y ( t )-\ beta \ , z ( t ) \ end { cases } } $

$ \ sigma $ 這號做'''普蘭特爾數'''，$ \ rho $ 這號做'''瑞立數'''。所有的 $ \ sigma $，$ \ rho $，$ \ beta $ > 零，但是通常 $ \ sigma $=十，$ \ beta $=三分之八，$ \ rho $ 無定著。若是 $ \ rho < 一 $，是唌人的原點，無任何其他穩定點。一 ≤ρ < 十三孵九二七的時，螺線軌跡接近兩點（這佮存在的阻尼振子），兩點的位置由下列式子決定：$ ~ x=\ pm { \ sqrt { b ( \ rho 影一 ) } } $、$ ~ y=\ pm { \ sqrt { b ( \ rho 影一 ) } } $、$ ~ z=\ rho 影一 $。系統咧 $ \ rho $=二十八點表現出混和特性，猶毋過 $ \ rho $ 為其他的值時會顯示出具紐結的週期軌道。比如講，當 $ \ rho=九十九九九六 $ 時，圖像變成一个 _ T _ ( 三 , 二 ) 環面紐結。

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==瑞立數==

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==原始碼==

===GNU Octave===

下跤是 GNU Octave 模擬勞侖次吸引子的原始碼：

` ` `
==Lorenz Attractor equations solved by ODE Solve==
==x'=sigma * ( y-x )==
==y'=x * ( rho-z )-y==
==z'=x * y-beta * z==
function dx=lorenzatt ( X )
rho=二十八 ; sigma=十 ; beta=三分之八 ;
dx=zeros ( 三 , 一 ) ;
dx ( 一 )=sigma * ( X ( 二 )-X ( 一 ) ) ;
dx ( 二 )=X ( 一 ) * ( rho-X ( 三 ) )-X ( 二 ) ;
dx ( 三 )=X ( 一 ) * X ( 二 )-beta * X ( 三 ) ;
return
end
` ` `

` ` `
==Using LSODE to solve the ODE system .==
clear all
close all
lsode _ options ( " absolute tolerance " , 一 e ma三 )
lsode _ options ( " relative tolerance " , 一 e 扳四 )
t=linspace ( 零 , 二十五 , 一 e 三 ) ; X 零=[零 , 一 , 一人攑空五] ;
[X , T , MSG]=lsode ( @ lorenzatt , X 零 , t ) ;
T
MSG
plot 三 ( X ( : , 一 ) , X ( : , 二 ) , X ( : , 三 ) )
view ( 四十五 , 四十五 )
` ` `

===Borland C===

===Borland Pascal===

===Fortran===

===QBASIC / FreeBASIC ( " fbc-lang qb " )===

==參見==

* 混搬射列表
* Takens 定理
* 曼德布洛特集合

==參考文獻==

*（英文）Jonas Bergman , _ Knots in the Lorentz Equation _ , 學士畢業論文，Uppsala University 兩千空四 .
*（英文）Frøyland , J . , Alfsen , K . H . Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model . Phys . Rev . A . 一千九百八十四 ,'''二十九''': 兩千九百二十八–兩千九百三十一 . doi : 十二一一空三 / PhysRevA . 二十九學二九二八 .
*（英文）P . Grassberger and I . Procaccia . Measuring the strangeness of strange attractors . Physica D . 一千九百八十三 ,'''九''': 一百八十九–兩百空八 [二千空二十二孵一孵八] . doi : 十 . 一百六十七分之一千空一十六分二千七百八十九 ( 八十三 ) 九九石空二百九十八孵一 .（原始內容存檔佇兩千空一十六分二鋪十七）.
*（英文）Lorenz , E . N . Deterministic nonperiodic flow . J . Atmos . Sci . 一千九百六十三 ,'''二十''': 一百三十–一百四十一 . doi : 十 . 一千五百二十分之一千一百七十五刣四百六十九 ( 一千九百六十三 ) 二十 < 一百三十 : DNF > 二孵空 . CO ; 二 .
*（英文）Strogatz , Steven H . Nonlinear Systems and Chaos . Perseus publishing . 一千九百九十四 .
*（英文）Tucker , W . A Rigorous ODE Solver and Smale's 十四 th Problem . Found . Comp . Math . 兩千空二 ,'''二''': 五十三–一百十七喔 [二千空一十二二孵二十六] .（原始內容存檔佇兩千空一十九學十二鋪二十八）.

==外部連結==

*（英文）埃里克・韋斯坦因為。洛茨伊吸引子 . MathWorld .
*（英文）勞侖次吸引子，作者為 Wolfram Demonstrations Project 的 Rob Morris
*（英文）勞侖次吸引子，planetmath . org
*（英文）用佇畫出勞侖次吸引子抑是處理類似情況的原始碼，使用 ANSI C 佮 gnuplot 實現
*（英文）《同步混絡佮私人通信》，由 MIT 林肯實驗室的 Steven Strogatz 佮 Kevin Cuomo 講解電子電路中勞侖次吸引子的實現
*（英文）勞侖次吸引子交互式動畫（需要 Adobe Shockwave 插件）
*（英文）Levitated . net：算藝術佮設計
*（英文）三 D Attractors：三維方式顯示佮研究勞侖次吸引囝 Mac 程序
*（英文）三 D VRML Lorenz attractor（需要 VRML 瀏覽器插件）
*（英文）J 語言實現勞侖次吸引子演示的短文-見 J 語言
*（英文）無線性模擬的 Java 小程序（選擇預設「Lorenz attractor」），作者 Viktor Bachraty，編寫語言 Jython
*（英文）模擬電子技術中勞侖次吸引子的實現
*（簡體中文）混值蝴蝶—— 勞侖茲吸引引子

[[分類: 待校正]]

勞侖次吸引子 - 修訂紀錄

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