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2025-08-23T00:41:30Z

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佇咧數學中，'''卡羅需要-庫恩-塔克條件'''（英文原名：Karush-Kuhn-Tucker Conditions，定定看別名：Kuhn-Tucker，KKT 條件，Karush-Kuhn-Tucker 上優化條件，Karush-Kuhn-Tucker 條件，Kuhn-Tucker 上優化條件，Kuhn-Tucker 條件）是佇滿足一寡有規則的條件下，一个非線性的規劃（Nonlinear Programming）問題會當有上優化解法的一个必要條件。這是一个使用廣義拉格朗日函數的結果。

考慮以下非線式上優化問題：

: $ \ min \ limits _ { x } \ ; \ ; f ( x ) $

: $ { \ mbox { Subject to : } } \ $

: : $ g _ { i } ( x ) \ leq 零 , h _ { j } ( x )=零 $

$ f ( x ) $ 是需要上細化的函數，$ g _ { i } ( x ) \ ( i=一 , \ ldots , m ) $ 是不等式的約束，$ h _ { j } ( x ) \ ( j=一 , \ ldots , l ) $ 是等式約束，$ m $ 和 $ l $ 分別為不等式約束和等式約束的數量。

不等式約束的問題的必要佮充分條件初見若卡羅需要的碩士論文，了後佇一份由 W . 庫恩（Harold W . Kuhn）佮塔克（Albert W . Tucker）撰寫的研討生論文出現了後受著重視。

==必要條件==

準講有目標函數，即是欲予人上小化的函數 $ f : \ mathbb { R } ^ { n } \ rightarrow \ mathbb { R } $，約束函數 $ g _ { i } : \ , \ ! \ mathbb { R } ^ { n } \ rightarrow \ mathbb { R } $ 佮 $ h _ { j } : \ , \ ! \ mathbb { R } ^ { n } \ rightarrow \ mathbb { R } $。再者，準講𪜶攏是 $ x ^ { * } $ 這點是連紲可微，若是 $ x ^ { * } $ 是一局部極小值，按呢將會存在一組人講乘子的常數 $ \ lambda \ geq 零 $ , $ \ mu _ { i } \ geq 零 \ ( i=一 , \ ldots , m ) $ 佮 $ \ nu _ { j } \ ( j=一 , . . . , l ) $ 令到

: $ \ lambda + \ sum _ { i=一 } ^ { m } \ mu _ { i } + \ sum _ { j=一 } ^ { l } | \ nu _ { j } | > 零 , $

: $ \ lambda \ nabla f ( x ^ { * } ) + \ sum _ { i=一 } ^ { m } \ mu _ { i } \ nabla g _ { i } ( x ^ { * } ) + \ sum _ { j=一 } ^ { l } \ nu _ { j } \ nabla h _ { j } ( x ^ { * } )=零 , $

: $ \ mu _ { i } g _ { i } ( x ^ { * } )=零 \ ; { \ mbox { for all } } \ ; i=一 , \ ldots , m $。

==正則性條件抑是約束規範==

佇頂懸的必要佮充分條件內底，dual multiplier $ \ lambda $ 可能是零。當 $ \ lambda $ 著無，這个狀況就是退化的抑是反常的。所致必要佮充分的條件會將約束的幾何特性毋是將函數自身的特點納入計算。

有一定數量的正則性條件能保證解法毋是退化的（即 $ \ lambda \ neq 零 $），𪜶包括：

* 線性獨立約束規範（Linear independence constraint qualification，LICQ）：有效不等式約束的梯度佮等式約束的梯度佇咧 $ x ^ { * } $ 線性獨立。
* Mangasarian-Fromowitz 約束規範（Mangasarian-Fromowitz constraint qualification，MFCQ）：有效不等式約束的梯度佮等式約束的梯度佇咧 $ x ^ { * } $ 正線性獨立。
* 常秩約束規範（Constant rank constraint qualification、CRCQ）：考慮每一个有效不等式約束的梯度子集佮等式約束的梯度，佇咧 $ x ^ { * } $ 的鄰近區域的秩（rank）不變。
* 定正線性依賴約束規範（Constant positive linear dependence constraint qualification，CPLD）：考慮每一个有效不等式約束的梯度子集佮等式約束的梯度，若𪜶於佇 $ x ^ { * } $ 是正線性依賴，按呢𪜶佇咧 $ x ^ { * } $ 的鄰近區域嘛是正線性依賴。（若佇咧 $ a _ { 一 } \ geq 零 , \ ldots , a _ { n } \ geq 零 $ not all zero 令到 $ a _ { 一 } v _ { 一 } + \ ldots + a _ { n } v _ { n }=零 $，遐爾 $ \ { v _ { 一 } , \ ldots , v _ { n } \ } $ 是正線性依賴）
* 斯萊特條件（Slater condition）：若是問題干焦包括無等式約束，哪會小可仔 $ x $ 令到 $ g _ { i } ( x ) < 零 $ for all $ i=一 , \ ldots , m $

雖然 MFCQ 無等仝款 CRCQ，會當證出講 LICQ=> MFCQ=> CPLD，LICQ=> CRCQ=> CPLD。佇實際的情形下，較弱的約束規範會去予人欺向使用，這是因為較弱的約束規範會當提供較強的最優化條件。

==充分的條件==

假使目標函數 $ f : \ mathbb { R } ^ { n } \ rightarrow \ mathbb { R } $ 佮約束函數 $ g _ { i } : \ mathbb { R } ^ { n } \ rightarrow \ mathbb { R } $ 攏為'''噗'''函數，而且 $ h _ { j } : \ mathbb { R } ^ { n } \ rightarrow \ mathbb { R } $ 是一'''仿射'''函數，準講有一行點 $ x ^ { * } $，若有常數 $ \ mu _ { i } \ geq 零 \ ( i=一 , \ ldots , m ) $ 佮 $ \ nu _ { j } \ ( j=一 , \ ldots , l ) $ 令到

: $ \ nabla f ( x ^ { * } ) + \ sum _ { i=一 } ^ { m } \ mu _ { i } \ nabla g _ { i } ( x ^ { * } ) + \ sum _ { j=一 } ^ { l } \ nu _ { j } \ nabla h _ { j } ( x ^ { * } )=零 $

: $ \ mu _ { i } g _ { i } ( x ^ { * } )=零 \ ; { \ mbox { for all } } \ ; i=一 , \ ldots , m , $

遐爾 $ x ^ { * } $ 這个點是一全局極小值。

==註解==

==參考文獻==

[[分類: 待校正]]

卡魯啥物-庫恩-塔克條件 - 修訂紀錄

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