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'''愛因斯坦-嘉做理論'''（英語：Einstein-Cartan theory）是理論物理學中將廣義相對論延伸以正確處理自旋角動量。這个理論以物理學家阿爾仔伯特・愛因斯坦以及埃利・嘉當（Élie Cartan ) 為名。

做古典物理的主要理論，廣義相對論煞有一个缺點：其無法度去講「自旋軌道知影合」（spin-orbit coupling），亦即內稟角動量（intrinsic angular momentum）（自旋）佮鐵枝路角的動量（orbital angular momentum）間的交換。存在有定量的理論證明，其顯示：做物體具有自旋性質的時陣，廣義相對論必須愛擴充成愛因斯坦-嘉做理論。

實驗上的效應因為傷細，目前猶無法度觀測會著。

==歷史==

自從愛因為私坦將牛頓引力理論推廣為廣義相對論（要因斯坦引力理論）以來，愛因斯坦引力理論經受嚴格的實驗檢驗，取得著誠大的成功。隨著實驗觀察數據的積累，愛因斯坦引力理論拄著真濟困難。Ia 型超新星觀察數據表明宇宙是加速膨脹的，為著佇愛因為斯坦引力理論理說明宇宙的加速膨脹現象，著愛引入具有負壓的暗能量，若暗能量觀察密度煞佮量仔場論的估計值相差倍。用光度資料測得的星系質量無法度說明星系旋轉曲線，為著佇愛因斯坦引力理論（牛頓引力理論）來說明此現象，必須引入占星系質量做百分之九十六的暗物質，暗物質佇星系中的分布情形煞真歹用現有的物理論說明。美國的先鋒號宇宙飛船佇遠離日頭時受著無法度用愛因斯坦引力理論（牛頓引力理論）佮其他的物理效應說明的指向日頭的微微仔引力，後來物理學家斟酌研究其他的宇宙飛船嘛發現袂當用愛因為斯坦引力理論（牛頓引力理論）佮其他物理效應說明微小作用力，這款以宙飛船軌道異常現象強烈的表明：愛因斯坦引力理論有缺陷。

利用標準的正則量子化方法佮路徑積分方法將愛因斯坦引力理論進行量子化致使袂當重整化的結果，這宣告了愛因斯坦引力理論的標準量子化的失敗。雖罔輪量子化的方法取得一定的成果，但是箍量子化敢有愛因斯坦引力理論真限煞無證明。粒子物理學的理論嘛取得一定成果，毋過猶原無得著一个會當重整化的量引力理論。欲因斯坦引力理論的量期歹提出咱：愛因斯坦引力理論可能存在欠陷。

為著清度的描述愛因斯坦引力理論的物理圖像，咱需要用正交標架場來改寫愛因斯坦引力理論。

當將愛因斯坦引力理論佮狄拉克電子理論作較研究的時，阮有發現講：愛因斯坦引力理論佮狄拉克電子理論無相容。因為狄拉克電子理論的實驗檢驗精度佮較大的愛因斯坦引力理論的實驗檢驗精度，所以阮有理由認為：愛因斯坦引力理論有缺陷。

通過將愛因斯坦引力理論推廣為有撬時空中的愛因斯坦-嘉當引力-自旋場理論，咱會當消除愛因斯坦引力理論佮狄拉克電子理論之間的矛盾。因此會當認為愛因斯坦-嘉當引力-自旋場理論是比愛因斯坦引力理論閣較倚近真理的引力理論。利用愛因斯坦-嘉當引力-自旋場理論會使佇無引入暗能量的情形下解說飛船軌道異常和宇宙加速膨脹，嘛會使說明星系暗物質的分布情形。愛因斯坦-嘉當引力-自旋場理論預言：磁化物質之間除了有磁場作用力以外閣應該佇附加的自旋-自旋作用力。

==動機==

廣義相對論無法度描述自旋軌道知合的理由根源佇黎曼幾何，廣義相對論是講建構佇咧其中。佇黎曼幾何中，里奇曲率張量（Ricci curvature tensor）$ R _ { ab } $ 著愛是 _ a _ 佮 _ b _ 對稱的（亦即，$ R _ { ab }=R _ { ba } $）。所以愛因為斯坦曲率張量 ( Einstein curvature tensor ) $ G _ { ab } $ 定義做

: $ G _ { ab }=R _ { ab }-{ \ frac { 一 } { 二 } } Rg _ { ab } $

嘛著愛講是一个對稱的。佇咧廣義相對論中，愛因斯坦曲率張量為局域重新建構矣模型，而且其（透過重力常數的聯絡）等仝應力-能量張量抑是能量-動量張量 $ P _ { ab } $（這个所在阮將能量-動量張量表示為 _ P _，是因為廣義相對論中常用來表示能量-動量張量的 _ T _ 佇愛因斯坦-嘉當理論留予仿射扭率 ( affine torsion )。）愛因斯坦曲率張量的對稱性強迫動量張量著愛講對稱的。毋過，當自旋佮軌道角動量進行交換時，根據角動量守恆的廣義式，是知影動量張量為不對稱的。

: 自旋流 ( spin current ) 散度—— $ { \ frac { 一 } { 二 } } \ left ( T _ { ab }-T _ { ba } \ right )=零 $

_ 細節請參考自旋張量 ( spin tensor ) 條目。_

所以廣義相對論無法度適當地為自旋鐵道鋪合建構模型。

佇咧一九二二年，埃利・嘉當提出猜想欲認為廣義相對論應該予人延伸做包括仿射扭率 ( affine torsion )，其允許里奇張量會當是毋著稱的。雖然自旋-軌道知影四序是重力物理學中相對次愛的現象，愛因斯坦–嘉做理論則真重要，因為乎

: ( 一 ) 其顯示出仿射理論，毋是非度規理論，對重力會當提供閣較好的描述；

: ( 二 ) 其實解說仿射扭率的意義，佇一寡量子重力理論當中自然出現；

: ( 三 ) 其實自旋詮釋做仿射扭率，佇幾何意義上是時空介質 ( spacetime medium ) 之位毋著場 ( field of dislocations ) 的一項連紲近來敢若。

將黎曼幾何擴充以包含著仿射扭率稱做'''黎曼-嘉當幾何'''( Riemann–Cartan geometry )。

==幾若種佮表示式==

時空物理學的數學基礎是仿射微分幾何 ( affine differential geometry )，內底阮嘛有 n 維微分流形 M 一項沿 M 上路徑對向量作平行徙動的定律。（一微分流形的逐个點，咱攏有切向量所組的一个線性空間，毋過咱無法度共向量徙振動到其他點，抑是去較 M 上位佇咧無仝兩點上的向量。）平行徙動保存了向量間的線性關係；也就是講，若兩量 $ { \ vec { u } } $ 佮 $ { \ vec { v } } $ 佇咧 M 上仝一點，沿一曲線予平行徙動成做向量 $ { \ vec { u } } ^ { \ prime } $ 佮 $ { \ vec { v } } ^ { \ prime } $，則兩者的線性組合

: $ a { \ vec { u } } $ + $ b { \ vec { v } } $

嘛平行徙振動為

: $ a { \ vec { u } } ^ { \ prime } $ + $ b { \ vec { v } } ^ { \ prime } $。

仿射微分幾何中的平行性 ( Parallelism ) 是路徑相依 ( path-dependent ) 的；也就是講，若倚靠同齊點和同終點之兩相異路徑平行徙動一向量，佇終點所得的結果向量一般來講是有夠媠的。這款的差異本質上就為曲率的影響，曲率佇咧微分幾何中心是個中心概念。

==愛因斯坦-是嘉作引力論簡介==

===用標架場重寫愛因斯坦引力理論===

用標架場 $ \ lambda _ { \ mu } ^ { ( \ alpha ) } $ 代替度規場 $ { { g } _ { \ mu \ nu } } $，咱會當得著用標架場 $ \ lambda _ { \ mu } ^ { ( \ alpha ) } $（干焦考慮內稟坐標系變換是整體 Lorentz 變換）表示的兩種等價形式的推廣的愛因斯坦引力場運動方程式為：

*（一）引力場運動方程式頭一形式：$ { \ frac { D { { Q } ^ { ( \ alpha ) \ mu \ nu } } } { D { { x } ^ { \ nu } } } }={ \ frac { 十六 \ pi G } { { c } ^ { 四 } } } { { P } ^ { ( \ alpha ) \ mu } } $
*（二）引力場運動方程式第二形式：$ { { R } ^ { \ mu \ nu } }-{ \ frac { 一 } { 二 } } { { g } ^ { \ mu \ nu } } R + { \ frac { 一 } { 二 } } \ lambda _ { ( \ alpha ) } ^ { \ nu } { \ frac { DK _ { } ^ { ( \ alpha ) \ mu \ rho } } { D { { x } ^ { \ rho } } } }={ \ frac { 八 \ pi G } { { c } ^ { 四 } } } \ left ( P _ { m } ^ { \ nu \ mu }-P _ { gk } ^ { \ nu \ mu } \ right ) $

其中：

: $ { { P } ^ { ( \ alpha ) \ mu } }=P _ { m } ^ { ( \ alpha ) \ mu }-P _ { g } ^ { ( \ alpha ) \ mu } $

: $ { \ begin { aligned } & { { Q } ^ { ( \ alpha ) \ mu \ nu } }=Q _ { E } ^ { ( \ alpha ) \ mu \ nu } + K _ { } ^ { ( \ alpha ) \ mu \ nu } \ \ & Q _ { E } ^ { ( \ alpha ) \ mu \ nu }={ { F } ^ { ( \ alpha ) \ mu \ nu } } + \ left ( { { F } ^ { \ mu ( \ alpha ) \ nu } }-{ { F } ^ { \ nu ( \ alpha ) \ mu } } \ right ) 鋪二 \ left ( { { \ lambda } ^ { ( \ alpha ) \ mu } } { { F } ^ { \ nu } }-{ { \ lambda } ^ { ( \ alpha ) \ nu } } { { F } ^ { \ mu } } \ right ) \ \ & K _ { } ^ { ( \ alpha ) \ mu \ nu }=\ beta _ { 一 } ^ { } { { F } ^ { ( \ alpha ) \ mu \ nu } } + \ beta _ { 二 } ^ { } \ left ( { { F } ^ { \ mu ( \ alpha ) \ nu } }-{ { F } ^ { \ nu ( \ alpha ) \ mu } } \ right ) 鋪二 \ beta _ { 三 } ^ { } \ left ( { { \ lambda } ^ { ( \ alpha ) \ mu } } { { F } ^ { \ nu } }-{ { \ lambda } ^ { ( \ alpha ) \ nu } } { { F } ^ { \ mu } } \ right ) \ \ \ end { aligned } } $

: $ P _ { g } ^ { ( \ alpha ) \ mu }={ \ frac { { c } ^ { 四 } } { 十六 \ pi G } } \ left (-{ { F } _ { \ lambda \ rho \ sigma } } { { Q } ^ { \ lambda \ mu \ sigma } } + { \ frac { 一 } { 四 } } { { F } _ { \ lambda m \ sigma } } { { Q } ^ { \ lambda m \ sigma } } \ delta _ { \ rho } ^ { \ mu } \ right ) { { \ lambda } ^ { ( \ alpha ) \ rho } } $

: $ { \ begin { aligned } & P _ { m } ^ { ( \ alpha ) \ mu }=-{ \ frac { 一 } { \ sqrt {-g } } } { \ frac { \ delta \ left ( { { L } _ { m } } { \ sqrt {-g } } \ right ) } { \ delta { { \ lambda } _ { ( \ alpha ) \ mu } } } }=-{ \ frac { \ delta { { L } _ { m } } } { \ delta { { \ lambda } _ { ( \ alpha ) \ mu } } } }-{ { L } _ { m } } { { \ lambda } ^ { ( \ alpha ) \ mu } } \ \ & \ \ \ end { aligned } } $

: $ P _ { gk } ^ { ( \ alpha ) \ mu }={ \ frac { { c } ^ { 四 } } { 十六 \ pi G } } \ left (-{ { F } _ { \ lambda \ rho \ sigma } } { { K } ^ { \ lambda \ mu \ sigma } } + { \ frac { 一 } { 四 } } { { F } _ { \ lambda m \ sigma } } { { K } ^ { \ lambda m \ sigma } } \ delta _ { \ rho } ^ { \ mu } \ right ) { { \ lambda } ^ { ( \ alpha ) \ rho } } $

當 $ { { \ beta } _ { 一 } } , { { \ beta } _ { 二 } } , { { \ beta } _ { 三 } } < < 一 $ 時，由引力場運動方程式的第二形式得著愛因斯坦引力場運動方程式：$ { { R } ^ { \ mu \ nu } }-{ \ frac { 一 } { 二 } } { { g } ^ { \ mu \ nu } } R={ \ frac { 八 \ pi G } { { c } ^ { 四 } } } P _ { m } ^ { \ nu \ mu } $

===愛因斯坦引力理論佮狄拉克電子理論之間的矛盾===

考慮電子佮引力的作用的時陣，我需要引入標架仿射聯絡 $ { \ hat { \ Gamma } } _ { ( \ beta ) \ mu } ^ { ( \ alpha ) } $。佇黎曼時空中，存在關係式：$ { { D } _ { \ nu } } \ lambda _ { \ mu } ^ { ( \ alpha ) }={ { \ partial } _ { \ nu } } \ lambda _ { \ mu } ^ { ( \ alpha ) }-\ Gamma _ { \ mu \ nu } ^ { \ rho } \ lambda _ { \ rho } ^ { ( \ alpha ) } + { \ hat { \ Gamma } } _ { ( \ beta ) \ nu } ^ { ( \ alpha ) } \ lambda _ { \ mu } ^ { ( \ beta ) }=零 $，標架場佮標架仿射聯絡無獨立。
所以，黎曼時空中的電子場、電磁場佮引力場的運動才有方程式為：

( 一 ) 電子場運動方程式：

: $ \ left \ { { \ begin { aligned } & i \ hbar { { \ gamma } ^ { \ mu } } { { D } _ { \ mu } } \ psi-mc \ psi=零 \ \ & i \ hbar { { D } _ { \ mu } } { \ bar { \ psi } } { { \ gamma } ^ { \ mu } } + mc { \ bar { \ psi } }=零 \ \ \ end { aligned } } \ right . $

( 二 ) 電磁場運動方程式：

: $ { { D } _ { \ nu } } { { F } ^ { \ mu \ nu } }=扳四 \ pi j _ { e } ^ { \ mu } $

( 三 ) 是引力場運動方程式：

: $ { { R } ^ { \ mu \ nu } }-{ \ frac { 一 } { 二 } } { { g } ^ { \ mu \ nu } } R={ \ frac { 八 \ pi G } { { c } ^ { 四 } } } \ left ( P _ { e } ^ { \ nu \ mu } + P _ { \ gamma } ^ { \ nu \ mu }-{ \ frac { 一 } { 二 } } D _ { \ sigma } ^ { } { { s } _ { e } } ^ { ( \ alpha \ beta ) \ sigma } \ lambda _ { ( \ alpha ) } ^ { \ nu } \ lambda _ { ( \ beta ) } ^ { \ mu } \ right ) $

根據電子場運動方程式得著能量-動量流運動方程式為：

: $ { { D } _ { \ nu } } P _ { e } ^ { \ mu \ nu }=-{ F _ { \ rho } } ^ { \ mu } j _ { e } ^ { \ rho } + { \ frac { 一 } { 二 } } { { R } _ { ( \ alpha \ beta ) \ nu } } ^ { \ mu } s _ { e } ^ { ( \ alpha \ beta ) \ nu } $

根據引力場運動方程式得著能量-動量流運動方程式為：

: $ { { D } _ { \ nu } } P _ { e } ^ { \ mu \ nu }=-{ F _ { \ rho } } ^ { \ mu } j _ { e } ^ { \ rho }-{ \ frac { 一 } { 四 } } { { R } _ { ( \ alpha \ beta ) \ nu } } ^ { \ mu } { { s } _ { e } } ^ { ( \ alpha \ beta ) \ nu } $

結果表明，對電子場運動方程式得著的能量-動量流運動方程式佮對引力場運動方程式得著的能量-動量流運動方程式是無相容的。

===有撬時空引力理論（愛因斯坦-嘉做理論）===

有囥佇空中，標架場 $ \ lambda _ { \ mu } ^ { ( \ alpha ) } $ 佮標架仿射聯絡 $ { \ hat { \ Gamma } } _ { ( \ beta ) \ mu } ^ { ( \ alpha ) } $ 是獨立的，標架場 $ \ lambda _ { \ mu } ^ { ( \ alpha ) } $ 來講時空的彎曲，標架仿射聯絡 $ { \ hat { \ Gamma } } _ { ( \ beta ) \ mu } ^ { ( \ alpha ) } $ 咧講時空的扭曲，並且有：

: $ { { D } _ { \ nu } } \ lambda _ { \ mu } ^ { ( \ alpha ) }={ { \ partial } _ { \ nu } } \ lambda _ { \ mu } ^ { ( \ alpha ) }-\ Gamma _ { \ mu \ nu } ^ { \ rho } \ lambda _ { \ rho } ^ { ( \ alpha ) } + { \ hat { \ Gamma } } _ { ( \ beta ) \ nu } ^ { ( \ alpha ) } \ lambda _ { \ mu } ^ { ( \ beta ) } \ neq 零 $

有撬時空中的引力場推廣做引力-自旋場，所以簡化形式的愛因斯坦-嘉當引力-自旋場的運動方程式：

( 一 ) 電子場運動方程式：

: $ \ left \ { { \ begin { aligned } & { \ frac { 一 } { 二 } } \ left ( i \ hbar { { \ gamma } ^ { \ mu } } D _ { \ mu } ^ { } \ psi + i \ hbar D _ { \ mu } ^ { } ( { { \ gamma } ^ { \ mu } } \ psi ) \ right )-mc \ psi=零 \ \ & { \ frac { 一 } { 二 } } \ left ( i \ hbar D _ { \ mu } ^ { } { \ bar { \ psi } } { { \ gamma } ^ { \ mu } } + i \ hbar D _ { \ mu } ^ { } ( { \ bar { \ psi } } { { \ gamma } ^ { \ mu } } ) \ right ) + mc { \ bar { \ psi } }=零 \ \ \ end { aligned } } \ right . $

( 二 ) 電磁場運動方程式：

: $ D _ { \ nu } ^ { } { { F } ^ { \ mu \ nu } }=扳四 \ pi j _ { e } ^ { \ mu } $

( 三 ) 自旋場運動方程式：

: $ D _ { \ nu } ^ { } { { R } ^ { ( \ alpha \ beta ) \ mu \ nu } }={ \ frac { 八 \ pi \ kappa } { { c } ^ { 四 } } } \ left ( s _ { e } ^ { ( \ alpha \ beta ) \ mu } + s _ { g } ^ { ( \ alpha \ beta ) \ mu } \ right ) $

( 四 ) 是引力場運動方程式：

a . 彼第一形式：

: $ D _ { \ nu } ^ { } { { Q } ^ { ( \ alpha ) \ mu \ nu } }={ \ frac { 十六 \ pi G } { { c } ^ { 四 } } } \ left ( P _ { e } ^ { ( \ alpha ) \ mu } + P _ { \ gamma } ^ { ( \ alpha ) \ mu } + P _ { f } ^ { ( \ alpha ) \ mu }-P _ { g } ^ { ( \ alpha ) \ mu }-{ \ frac { { c } ^ { 四 } } { 十六 \ pi G } } { \ bar { \ beta } } \ left ( 二 { { \ hat { R } } ^ { \ mu ( \ alpha ) } }-{ \ hat { R } } { { \ lambda } ^ { ( \ alpha ) \ mu } } \ right ) \ right ) $

b . 第二形式：

: $ { \ bar { \ beta } } \ left ( R _ { \ nu } ^ { \ mu }-{ \ frac { 一 } { 二 } } \ delta _ { \ nu } ^ { \ mu } R \ right ) \ lambda _ { } ^ { ( \ alpha ) \ nu } + { \ frac { 一 } { 二 } } \ beta D _ { \ nu } ^ { } { { \ bar { K } } ^ { ( \ alpha ) \ mu \ nu } }={ \ frac { 八 \ pi G } { { c } ^ { 四 } } } \ left ( P _ { e } ^ { ( \ alpha ) \ mu } + P _ { \ gamma } ^ { ( \ alpha ) \ mu } + P _ { f } ^ { ( \ alpha ) \ mu }-P _ { gk } ^ { ( \ alpha ) \ mu } \ right ) $

會當證明講運動的方程式是相容的，因此有撬時空的愛因斯坦-嘉當引力-自旋場理論消除了愛因斯坦引力的理論佮狄拉克電子理論之間的矛盾。

==應用==

* 解說宇宙加速膨脹
* 解說先鋒異常
* 解說星系轉動曲線
* 預言𤆬電物體周圍的引力異常
* 預言日月食的引力異常

==參見==

* ECT 理論-牛頓引力理論

==參考文獻==

[[分類: 待校正]]

愛因斯坦-嘉做理論 - 修訂紀錄

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