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'''科恩－沈呂九方程'''（英語：'''Kohn–Sham equation'''，簡稱'''科恩－沈方程'''）佇密度泛函理論內底指甲是佮真實體系相關的虛擬體系所滿足的薛丁格方程。該虛擬體系內底的粒子（通常是電子）佇無互相咧做用的有效勢場中運動，粒子密度佇空間各點攏佮真實系統相仝。科恩－沈呂九方程內底的有效勢通常用 $ v _ { \ rm { s } } ( \ mathbf { r } ) $ 抑是 $ v _ { \ rm { eff } } ( \ mathbf { r } ) $ ) 來表示，號做是科恩－沈勢。虛擬系統當中的粒仔是互相時行的費米，所以科恩－沈方程的精確解做單個斯萊特行列式，行列式內的軌道是稱做科恩－沈軌道，每一个科恩－沈軌道攏會當表示為原子軌道的線性組合，嘛會當按照基函數來展開。科恩－沈方程的形式如下：

$ \ left (-{ \ frac { \ hbar ^ { 二 } } { 二 m } } \ nabla ^ { 二 } + v _ { \ rm { eff } } ( \ mathbf { r } ) \ right ) \ phi _ { i } ( \ mathbf { r } )=\ varepsilon _ { i } \ phi _ { i } ( \ mathbf { r } ) $
式當中 $ \ varepsilon _ { i } $ 為科恩－沈軌道 $ \ phi _ { i } $ 的軌道能。有含 $ N $ 粒子的科恩－沈系統的電子密度是由下式予出：

$ \ rho ( \ mathbf { r } )=\ sum _ { i } ^ { N } | \ phi _ { i } ( \ mathbf { r } ) | ^ { 二 } . $
科恩－沈方程佇一九六五年由加利福尼亞大學聖地牙哥分校的沃水特・科恩佮沈呂九提出並以𪜶的名。

==科恩－沈勢==

密度泛函理論中，體系的能量是電子密度的泛函：

$ E [\ rho]=T _ { s } [\ rho] + \ int d \ mathbf { r } \ v _ { \ rm { ext } } ( \ mathbf { r } ) \ rho ( \ mathbf { r } ) + V _ { H } [\ rho] + E _ { \ rm { xc } } [\ rho] $
式當中 $ T _ { s } $ 是科恩－沈動能項，會當用科恩－沈軌道表出如下：

$ T _ { s } [\ rho]=\ sum _ { i=一 } ^ { N } \ int d \ mathbf { r } \ \ phi _ { i } ^ { * } ( \ mathbf { r } ) \ left (-{ \ frac { \ hbar ^ { 二 } } { 二 m } } \ nabla ^ { 二 } \ right ) \ phi _ { i } ( \ mathbf { r } ) , $
$ v _ { \ rm { ext } } $ 是作用佇咧真實系統頂懸的外勢（至少包括原子核佮電子之間的互相作用勢）， $ V _ { H } $ 是哈特里（庫侖）會當：

$ V _ { H }={ e ^ { 二 } \ over 二 } \ int d \ mathbf { r } \ int d \ mathbf { r }'\ { \ rho ( \ mathbf { r } ) \ rho ( \ mathbf { r }') \ over | \ mathbf { r }-\ mathbf { r }'| } . $
$ E _ { \ rm { xc } } $ 是交換相關能量。對虛擬體系總能量表達式正爿除動能項以外的部份取電子密度的泛函微商，就得著科恩－沈勢的表達式：

$ v _ { \ rm { eff } } ( \ mathbf { r } )=v _ { \ rm { ext } } ( \ mathbf { r } ) + e ^ { 二 } \ int { \ rho ( \ mathbf { r }') \ over | \ mathbf { r }-\ mathbf { r }'| } d \ mathbf { r }'+ { \ delta E _ { \ rm { xc } } [\ rho] \ over \ delta \ rho ( \ mathbf { r } ) } . $
上路中上尾一項

$ v _ { \ rm { xc } } ( \ mathbf { r } ) \ equiv { \ delta E _ { \ rm { xc } } [\ rho] \ over \ delta \ rho ( \ mathbf { r } ) } $
是交換相關勢項。遮的規个密度泛理論內底干焦這項（佮之相關的能量）是未知的。

科恩－沈軌道能 $ \ varepsilon _ { i } $ 並無明確的物理含義。伊佮體系總能量的關係下式共出（參見庫普曼斯定理）：

$ E=\ sum _ { i } ^ { N } \ varepsilon _ { i }-V _ { H } [\ rho] + E _ { \ rm { xc } } [\ rho]-\ int { \ delta E _ { \ rm { xc } } [\ rho] \ over \ delta \ rho ( \ mathbf { r } ) } \ rho ( \ mathbf { r } ) d \ mathbf { r } $
佇咧限制性開殼層計算中，因為科恩－沈鐵枝道的選取無唯一，上式干焦對某一寡鐵枝路會當的選取成立。

==參考文獻==

[[分類: 待校正]]

科恩-沈呂九方程 - 修訂紀錄

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