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2025-08-22T06:17:31Z

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佇數學分析中有一類關於索博列夫空間內面的範數'''索博列夫不等式'''（英語：Sobolev inequality ; 俄語：Соболев неравенство）。遮的無等式會當用於證明'''索博列夫1875入定理'''，予出某一寡索博列夫空間的包含關係。而且 Rellich-Kondrachov 定理指出佇咧小強的條件之下，一寡仔索博列夫的空間會當予人去覕去另外一个空間。這類無等式著愛比蘇聯數學家謝爾起・利沃維奇・索博列夫。

==索博列夫1875入定理==

令 _ Wk , p _ ('''R'''n ) 表示包括'''R'''n 最所有的滿足之前 k 階弱導數屬於 _ Lp _ 的實值函數的索博列夫空間。其中 k 是非負整數而且有一 ≤ _ p _ < ∞。索博列夫1875入定理的頭一部份指出若是 _ k _ > _ ℓ _ 而且一 ≤ _ p _ < _ q _ < ∞ 滿足 ( _ k _ − _ ℓ _ ) _ p _ < _ n _ 和

: $ { \ frac { 一 } { q } }={ \ frac { 一 } { p } }-{ \ frac { k-\ ell } { n } } , $

遐爾

: $ W ^ { k , p } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) \ subseteq W ^ { \ ell , q } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) $

並且這个1875入連紲。佇咧 _ k _=一而且 _ ℓ _=零的特殊情形，索博列夫1875入定理予出

: $ W ^ { 一 , p } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) \ subseteq L ^ { p ^ { * } } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) $

其中 _ p _ ∗ 是 p 的索博列夫共擔，如下予出

: $ { \ frac { 一 } { p ^ { * } } }={ \ frac { 一 } { p } }-{ \ frac { 一 } { n } } . $

這个索博列夫1875入定理的特例可由 Gagliardo–Nirenberg–索仔列夫不等式直接提出。

去索博列夫1875入定理的第二个去分之一另外揣入去 Hölder 空間 _ Cr , α _ ('''R'''n )。若是 ( _ k _ − _ r _ − _ α _ ) / _ n _=一 / _ p _ 其中 _ α _ ∈ ( 零 , 一 )，是有1875入去

: $ W ^ { k , p } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) \ subset C ^ { r , \ alpha } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) . $

索博列夫1875入去這个部份會當由 Morrey 無等式直接提出。直觀的講，這種包含關係表示有夠懸階的弱導數存在性意味著一寡經典導數的連續性。

===推廣===

索博列夫1875入定理對有其他適當的定義域 M 的索博列夫空間 _ Wk , p _ ( _ M _ ) 嘛成立。特別的，去索博列夫1875入去的兩个部份佇咧滿足下跤列條件的時成立

* M 是'''R'''n 上有利普希茨邊界（Lipschitz boundary）的有界開集（抑是邊界滿足錐的條件）
* M 是快黎曼流形
* M 是有利普希茨邊界的快帶邊黎曼流形
* M 是滿足單射半徑 _ δ _ > 空而且截面曲率有界的完備黎曼流形。

===Kondrachov 1875入定理===

有啦 _ C _ 一邊界的快流形上，'''Kondrachov 1875入定理'''指出若是 _ k _ > _ ℓ _ 而且 _ k _ − _ n _ / _ p _ > _ ℓ _ − _ n _ / _ q _ 是索博列夫1875入去

: $ W ^ { k , p } ( M ) \ subset W ^ { \ ell , q } ( M ) $

是全連紲（絚）的。

==Gagliardo–Nirenberg–索博列夫不等式==

準講 u 是'''R'''n 上有緊支集的連紲會當微實值函數。對於一 ≤ _ p _ < _ n _ 存在常數 C 干焦依賴佇咧 n 和 p 予得

: $ \ | u \ | _ { L ^ { p ^ { * } } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) } \ leq C \ | Du \ | _ { L ^ { p } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) } . $

其中一 / p \ *=一 / p-一 / n。$ 一 < p < n $ 的情形由索博列夫予出，$ p=一 $ 的情形由 Gagliardo 和 Nirenberg 獨立予出。Gagliardo–Nirenberg–索仔列夫不等式會使直接引出索博列夫1875入去

: $ W ^ { 一 , p } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) \ subset L ^ { p ^ { * } } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) . $

'''R'''n 上其他的嵌入會當由適做迵天。

==Hardy–Littlewood–索博列夫引𤆬==

索博列夫予出的索博列夫1875入定理的上早的證明基於如下定理，有時予人號做 Hardy–Littlewood–索博列夫分數次積分定理。一个等價陳述予人叫做是'''索博列夫引𤆬'''。

令零 < _ α _ < _ n _ 而且一 < _ p _ < _ q _ < ∞。令 _ Iα _=( −Δ ) − _ α _ / 二是'''R'''n 上的 Riesz 勢。遐爾，對於 q 如下定義

: $ q={ \ frac { pn } { n-\ alpha p } } $

存在常數 C 干焦依賴佇咧 p 予得

: $ \ left \ | I _ { \ alpha } f \ right \ | _ { q } \ leq C \ | f \ | _ { p } . $

若是 _ p _=一，著愛有兩个替代估計。頭一个是閣較經典的弱估計：

: $ m \ left \ { x : \ left | I _ { \ alpha } f ( x ) \ right | > \ lambda \ right \ } \ leq C \ left ( { \ frac { \ | f \ | _ { 一 } } { \ lambda } } \ right ) ^ { q } , $

其中一 / _ q _=一 − _ α _ / _ n _。另外一个估計是

$ $
\ left \ | I _ { \ alpha } f \ right \ | _ { q } \ leq C \ | Rf \ | _ { 一 } ,
$ $

: $ { \ frac { 一 } { p ^ { * } } }={ \ frac { 一 } { p } }-{ \ frac { 一 } { n } } . $

其中 $ Rf $ 是向量 Riesz 變換。Riesz 變換的有界性意味對一族不等式會當由上述不等式統一表達。

Hardy–Littlewood–索博列夫引理導出索博列夫1875入本質上是利用 Riesz 變換佮 Riesz 勢的關係。

==Morrey 不等式==

準講 _ n _ < _ p _ ≤ ∞。存在常數 C 干焦依賴佇咧 p 和 n，予得

: $ \ | u \ | _ { C ^ { 零 , \ gamma } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) } \ leq C \ | u \ | _ { W ^ { 一 , p } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) } $

: $ W ^ { k , p } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) \ subset C ^ { r , \ alpha } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) . $

嘿所有 _ u _ ∈ _ C _ 一 ('''R'''n ) ∩ _ Lp _ ('''R'''n )，其中

: $ \ gamma=一-{ \ frac { n } { p } } . $

因此若是 _ u _ ∈ _ W _ 一 , _ p _ ('''R'''n )，著 u 佇一个零測集頂懸重新定義了後，實際上共指數 γ 的 Hölder 連紲。

一个類似的結果咧帶有 _ C _ 一爿界的有界定義域 U 上成立。現此時，

: $ \ | u \ | _ { C ^ { 零 , \ gamma } ( U ) } \ leq C \ | u \ | _ { W ^ { 一 , p } ( U ) } $

其中常數 C 這馬依賴佇咧 _ n _ , _ p _ 和 U。這無等式會當由前一不等式利用按 _ W _ 一 , _ p _ ( _ U _ ) 到 _ W _ 一 , _ p _ ('''R'''n ) 的保范延拓得著。

==一般索博列夫不等式==

令 U 為'''R'''n 上帶有 _ C _ 一爿界的有界開集。（U 嘛會當無界，猶毋過這種情形下，伊的邊界若有存在，著愛充分好的。）準講 _ u _ ∈ _ Wk , p _ ( _ U _ )，考慮兩款狀況：

===_ k _ < _ n _ / _ p _===

這陣 _ u _ ∈ _ Lq _ ( _ U _ )，其中

: $ { \ frac { 一 } { q } }={ \ frac { 一 } { p } }-{ \ frac { k } { n } } . $

有估計

: $ \ | u \ | _ { L ^ { q } ( U ) } \ leq C \ | u \ | _ { W ^ { k , p } ( U ) } $ ,

常數 C 干焦依賴佇咧 _ k _ , _ p _ , _ n _ 和 U。

===_ k _ > _ n _ / _ p _===

遮 u 屬於 Hölder 空間，閣較精確：

: $ u \ in C ^ { k-\ left [{ \ frac { n } { p } } \ right] 影一 , \ gamma } ( U ) , $

其中

: $ \ gamma={ \ begin { cases } \ left [{ \ frac { n } { p } } \ right] + 一-{ \ frac { n } { p } } & { \ frac { n } { p } } \ notin \ mathbf { Z } \ \ { \ text { any element in } } ( 零 , 一 ) & { \ frac { n } { p } } \ in \ mathbf { Z } \ end { cases } } $

有估計

: $ \ | u \ | _ { C ^ { k-\ left [{ \ frac { n } { p } } \ right] 影一 , \ gamma } ( U ) } \ leq C \ | u \ | _ { W ^ { k , p } ( U ) } , $

常數 C 干焦依賴佇咧 _ k _ , _ p _ , _ n _ , _ γ _ 和 U。

==_ p=n , k=一 _ 情形==

若是 $ u \ in W ^ { 一 , n } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) $，著 u 是有界平均振動函數而且有

: $ \ | u \ | _ { BMO } \ leq C \ | Du \ | _ { L ^ { n } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) } , $

對某一个常數 C 干焦依賴佇咧 n。這个估計是龐加萊無等式的推論。

==納啥物不等式==

納啥物不等式，由約翰・納啥物引入，指出存在一个常數 _ C _ > 零，滿足乎對所有 _ u _ ∈ _ L _ 一 ('''R'''n ) ∩ _ W _ 一 , 二 ('''R'''n ) ,

: $ \ | u \ | _ { L ^ { 二 } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) } ^ { 一 + 二 / n } \ leq C \ | u \ | _ { L ^ { 一 } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) } ^ { 二 / n } \ | Du \ | _ { L ^ { 二 } ( \ mathbf { R } ^ { n } ) } . $

這个無等式由傅立葉改換的基本性質導出。實際上，咧半徑為 ρ 彼球的補集頂懸的積分，

:

由帕仔窒瓦爾定理。另外一方面，有

: $ | { \ hat { u } } | \ leq \ | u \ | _ { L ^ { 一 } } $

，咧半徑為 ρ 的球上的積分予出

:

其中 _ ωn _ 是 n 維球的體積。選擇 ρ 上小化 ('''一''') 和 ('''二''') 的佮，再一遍使用帕仔窒瓦爾定理：

: $ \ | { \ hat { u } } \ | _ { L ^ { 二 } }=\ | u \ | _ { L ^ { 二 } } $

予出無等式。

佇咧 _ n _=一个特殊情形，納啥物款無等式會當湠到 _ Lp _ 情形，現此時是 Gagliardo-Nirenberg-索博列夫不等式的推捒。實際上，若是 I 是有界區間，著所有一 ≤ _ r _ < ∞ 佮所有一 ≤ _ q _ ≤ _ p _ < ∞ 如下不等式成立

: $ \ | u \ | _ { L ^ { p } ( I ) } \ leq C \ | u \ | _ { L ^ { q } ( I ) } ^ { 一-a } \ | u \ | _ { W ^ { 一 , r } ( I ) } ^ { a } , $

其中

: $ a \ left ( { \ frac { 一 } { q } }-{ \ frac { 一 } { r } } + 一 \ right )={ \ frac { 一 } { q } }-{ \ frac { 一 } { p } } . $

==參考文獻==

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[[分類: 待校正]]

索博列夫不等式 - 修訂紀錄

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