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2025-08-23T03:24:17Z

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佇咧量仔力學內，一粒因為自旋佮鐵枝路運動來產生的作用，這號做'''自旋-軌道作用'''（英語：'''Spin–orbit interaction'''），嘛叫做'''自旋-軌道效應'''抑是'''自旋-軌道影影響合'''。上出名的例是電子能級的位徙。電子移動經過原子核的電場的時陣，會產生電磁作用．電子的自旋佮這電磁作用的被鋪排，形成自旋-軌道作用。譜線分裂實驗明顯地偵測著電子能級的位徙，證實了自旋-鐵枝道作用理論的正確性。另外一个類似的例是原子核殼層模型能級的位徙。

半導體抑是講其他新的穎材料定定會牽涉著電子的自旋-軌道效應。自旋電子學專門研究佮應用這方面的問題。

==電子的自旋-軌道作用==

佇這篇文章內底，會當相當簡單佮公式化的方式，詳細講解一个束縛佇原子內的電子的自旋-軌道作用理論。這用著電磁學、非常的對論性量子力學、一階微擾理論。這家己旋-軌道作用理論予出的答案，雖然佮實驗結果並無完全相仝，毋過相當的符合。較嚴謹的導引應該對狄拉克方程式開始，嘛會求一个相仝的答案。若想會著閣較準確的答案，著愛用量電動力學來計算微細仔修正。這兩種方法攏佇本條目範圍以外。

===磁場===

雖然佇原子核的靜止參考系 ( rest frame )，並無作用佇電子頂懸的磁場；佇電子的靜止參考系，有作用佇電子頂懸的磁場存在。暫時假設電子的靜止參考系做慣性參考系，是根據狹義相對論，磁場 $ \ mathbf { B } \ , \ ! $ 是

: $ \ mathbf { B }=-\ , { \ frac { \ mathbf { v } \ times \ mathbf { E } } { c ^ { 二 } } } \ , \ ! $；( 一 )

其中，$ \ mathbf { v } \ , \ ! $ 是電子的速度，$ \ mathbf { E } \ , \ ! $ 是電子運動經過的電場，$ c \ , \ ! $ 是光速。

以質子的位置為原點，對質子產生的電場是

: $ \ mathbf { E }={ \ frac { Ze } { 四 \ pi \ epsilon _ { 零 } r ^ { 二 } } } { \ hat { \ mathbf { r } } }={ \ frac { Ze } { 四 \ pi \ epsilon _ { 零 } r ^ { 三 } } } \ mathbf { r } \ , \ ! $；

其中，$ Z \ , \ ! $ 是質子數量（原子序數）， $ e \ , \ ! $ 是單位電錢量，$ \ epsilon _ { 零 } \ , \ ! $ 是真空電容率，$ { \ hat { r } } \ , \ ! $ 是向單位向量，$ r \ , \ ! $ 是徑向距離，徑向向量 $ \ mathbf { r } \ , \ ! $ 是電子的位置。

電子的動量 $ \ mathbf { p } \ , \ ! $ 是

: $ \ mathbf { p }=m \ mathbf { v } \ , \ ! $；

其中，$ m \ , \ ! $ 是電子的質量。

所以乎，作用佇電子的磁場是

: $ \ mathbf { B }={ \ frac { Ze } { 四 \ pi \ epsilon _ { 零 } mc ^ { 二 } r ^ { 三 } } } \ , \ mathbf { r } \ times \ mathbf { p }={ \ frac { Ze } { 四 \ pi \ epsilon _ { 零 } mc ^ { 二 } r ^ { 三 } } } \ , \ mathbf { L } \ , \ ! $；( 二 )

其中，$ \ mathbf { L } \ , \ ! $ 是角動量，$ \ mathbf { L }=\ mathbf { r } \ times \ mathbf { p } \ , \ ! $。

$ \ mathbf { B } \ , \ ! $ 是一个正值因為乘以 $ \ mathbf { L } \ , \ ! $，也就是講，磁場佮電子的軌道角動量平行。

===磁矩===

電子自旋的磁矩 $ { \ boldsymbol { \ mu } } \ , \ ! $ 是

: $ { \ boldsymbol { \ mu } }=\ gamma \ , \ mathbf { S } \ , \ ! $；

其中，$ \ gamma={ \ frac { g _ { s } q _ { e } } { 二 m } } \ , \ ! $ 是迴轉磁比率 ( gyromagnetic ratio )，$ \ mathbf { S } \ , \ ! $ 是自旋角動量，$ g _ { s } \ , \ ! $ 是電子自旋 g 因數，$ q _ { e } \ , \ ! $ 是電荷量。

電子的 g-因數（g-factor）是 $ 二 \ , \ ! $，電荷量是 $-e \ , \ ! $。所以乎，

: $ { \ boldsymbol { \ mu } }=-{ \ frac { e } { m } } \ mathbf { S } \ , \ ! $。( 三 )

電子的磁矩佮自旋反平行。

===哈密頓量微擾項目===

自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目是

: $ H'=-{ \ boldsymbol { \ mu } } \ cdot \ mathbf { B } \ , \ ! $。

代入 $ { \ boldsymbol { \ mu } } \ , \ ! $ 的公式 ( 三 ) 和 $ \ mathbf { B } \ , \ ! $ 的公式 ( 二 )，經過一番運算講，會用得著

: $ H'={ \ frac { Ze ^ { 二 } } { 四 \ pi \ epsilon _ { 零 } m ^ { 二 } c ^ { 二 } } } \ { \ frac { \ mathbf { L } \ cdot \ mathbf { S } } { r ^ { 三 } } } \ , \ ! $

一直到這馬，攏猶無考慮著電子袂靜止坐標乃非慣性坐標。這事實引發的效應講伊是托馬斯 ( Thomas precession )。因為這效應，著愛添因為 $ 二分之一 \ , \ ! $ 佇咧公式內底。所以乎，

: $ H'={ \ frac { Ze ^ { 二 } } { 八 \ pi \ epsilon _ { 零 } m ^ { 二 } c ^ { 二 } } } \ { \ frac { \ mathbf { L } \ cdot \ mathbf { S } } { r ^ { 三 } } } \ , \ ! $。

===能級位徙===

咧準備好矣自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目以後，這馬會當估算這个項目會造成的能量位徙。特別地，想欲揣著 $ H _ { 零 } \ , \ ! $ 伊的本徵函數形成的底蒂，使 $ H'\ , \ ! $ 會當對角化。為著揣到這基底，先定義總角動量算符 $ \ mathbf { J } \ , \ ! $：

: $ \ mathbf { J }=\ mathbf { L } + \ mathbf { S } \ , \ ! $。

總角動量算符佮家己的內積是

: $ \ mathbf { J } ^ { 二 }=\ mathbf { L } ^ { 二 } + \ mathbf { S } ^ { 二 } + 二 \ mathbf { L } \ cdot \ mathbf { S } \ , \ ! $。

所以乎，

: $ \ mathbf { L } \ cdot \ mathbf { S }={ 一 \ over 二 } ( \ mathbf { J } ^ { 二 }-\ mathbf { L } ^ { 二 }-\ mathbf { S } ^ { 二 } ) \ , \ ! $。

請注意 $ H'\ , \ ! $ 佮 $ \ mathbf { L } \ , \ ! $ 互相無簡單，$ H'\ , \ ! $ 佮 $ \ mathbf { S } \ , \ ! $ 互相無簡單。讀者會當真容易證明這兩个事實。因為這兩个事實，$ H _ { 零 } \ , \ ! $ 佮 $ \ mathbf { L } \ , \ ! $ 的共同本徵函數袂當予人當做零微擾波函數，用來計算一階能量位徙 $ E ^ { ( 一 ) } \ , \ ! $。$ H _ { 零 } \ , \ ! $ 佮 $ \ mathbf { S } \ , \ ! $ 的共同本徵函數嘛袂當予人當做零微擾波函數，用來計算一階能量位徙 $ E ^ { ( 一 ) } \ , \ ! $。可是，$ H'\ , \ ! $、$ J ^ { 二 } \ , \ ! $、$ L ^ { 二 } \ , \ ! $、$ S ^ { 二 } \ , \ ! $，這四个算符攏互相對伊。$ H _ { 零 } \ , \ ! $、$ J ^ { 二 } \ , \ ! $、$ L ^ { 二 } \ , \ ! $、$ S ^ { 二 } \ , \ ! $，這四个算符嘛攏互相對簡單。所以乎，$ H _ { 零 } \ , \ ! $、$ J ^ { 二 } \ , \ ! $、$ L ^ { 二 } \ , \ ! $、$ S ^ { 二 } \ , \ ! $，這四个算符的共同本徵函數 $ | n , j , l , s \ rangle \ , \ ! $ 會當予人當做零微擾波函數，用來計算一階能量位徙 $ E _ { n } ^ { ( 一 ) } \ , \ ! $；其中，$ n \ , \ ! $ 是主量子數，$ j \ , \ ! $ 是總角量子數，$ l \ , \ ! $ 是角量子數，$ s \ , \ ! $ 是家己旋量仔數。這組本徵函數所形成的基底，就是想欲走揣的基底。這共同本徵函數 $ | n , j , l , s \ rangle \ , \ ! $ 的 $ \ mathbf { L } \ cdot \ mathbf { S } \ , \ ! $ 的期望值是

: $ { \ begin { aligned } \ langle n , j , l , s \ , | \ , \ mathbf { L } \ cdot \ mathbf { S } \ , | \ , n , j , l , s \ rangle &={ 一 \ over 二 } ( \ langle \ mathbf { J } ^ { 二 } \ rangle-\ langle \ mathbf { L } ^ { 二 } \ rangle-\ langle \ mathbf { S } ^ { 二 } \ rangle ) \ \ &={ \ hbar ^ { 二 } \ over 二 } [j ( j + 一 )-l ( l + 一 )-s ( s + 一 )] \ \ &={ \ hbar ^ { 二 } \ over 二 } [j ( j + 一 )-l ( l + 一 )-四分之三] \ \ \ end { aligned } } \ , \ ! $；

其中，電子的自旋 $ s=二分之一 \ , \ ! $。

經過一番厚工的運算，會用得著 $ r ^ { ma三 } \ , \ ! $ 的期望值

: $ \ langle n , j , l , s \ , | \ , r ^ { ma三 } \ , | \ , n , j , l , s \ rangle={ \ frac { 二 Z ^ { 三 } } { a _ { 零 } ^ { 三 } n ^ { 三 } l ( l + 一 ) ( 二 l + 一 ) } } \ , \ ! $；

其中，$ a _ { 零 }={ \ frac { 四 \ pi \ epsilon _ { 零 } \ hbar ^ { 二 } } { me ^ { 二 } } } \ , \ ! $ 是波耳半徑。

共這兩个向望值的公式代入，能級位徙是

: $ E _ { n } ^ { ( 一 ) }={ \ frac { Z ^ { 四 } e ^ { 二 } \ hbar ^ { 二 } } { 八 \ pi \ epsilon _ { 零 } m ^ { 二 } c ^ { 二 } a _ { 零 } ^ { 三 } } } \ { \ frac { [j ( j + 一 )-l ( l + 一 )-四分之三] } { n ^ { 三 } \ , l ( l + 一 ) ( 二 l + 一 ) } } \ , \ ! $。

經過一番運算講，會用得著

: $ E _ { n } ^ { ( 一 ) }={ \ frac { ( E _ { n } ^ { ( 零 ) } ) ^ { 二 } } { mc ^ { 二 } } } \ { \ frac { 二 n [j ( j + 一 )-l ( l + 一 )-四分之三] } { l ( l + 一 ) ( 二 l + 一 ) } } \ , \ ! $；

其中，$ E _ { n } ^ { ( 零 ) }={ \ frac { Z ^ { 二 } \ hbar ^ { 二 } } { 二 ma _ { 零 } ^ { 二 } n ^ { 二 } } } \ , \ ! $ 是主量子數為 $ n \ , \ ! $ 的零微擾能級。

特別注意，當 $ l=零 \ , \ ! $ 時，這方程式會拄著除以零的袂使定義運算；雖然分子的項目 $ j ( j + 一 )-l ( l + 一 )-四分之三=零 \ , \ ! $ 嘛等於零。零除以零，猶原無法度計算這方程式的值。足好運的，佇精細結構能量微擾的計算內，這不可定義問題自動地會消失。事實上，當 $ l=零 \ , \ ! $ 時，電子的軌道運動是球對稱的。這會當對電子的波函數的角部份觀察出來，$ l=零 \ , \ ! $ 球諧函數是

: $ Y _ { 零 } ^ { 零 }={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 四 \ pi } } } \ , \ ! $，

因為完全佮角度無關係，角動量嘛是零，電子並袂感覺著任何磁場，所以乎，電子的 $ l=零 \ , \ ! $ 軌道我無自旋-軌道作用。

==參閱==

* 史塔克效應
* 塞曼效應
* 有夠幼路結構
* 蘭姆位徙

==參考文獻==

* E . U . Condon and G . H . Shortley . The Theory of Atomic Spectra . Cambridge University Press . 一千九百三十五 . ISBN 空九五百二十一五五九千二百空九九五四 .

==外部連結==

* 聖地牙哥加州大學物理系量子力學視聽教學：自旋-軌道作用

[[分類: 待校正]]

自旋-軌道作用 - 修訂紀錄

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