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2025-08-22T21:37:18Z

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'''藏本模型'''（Kuramoto model）是一種用來描述仝步的數學模型，由日本物理學家藏本由紀（Kuramoto Yoshiki）首先提出講。具體講來，伊描述了大量抹著振子的同步行為。這个模型原本是為著描述化學振子、生物振子而構建，後發現具遮爾仔應用，比如講神經振盪，猶閣有振動火焰的動力學。驚人的是，一寡物理系統的行為嘛符合這个模型，比如講鋪合約瑟夫森結的陣列。

這个模型假使講，所有的振子攏是完全仝款的抑是差不多完全仝款的，互相之間的交易足弱的、並且任意兩个振子之間的互相作用強度取決𪜶雙个差的正弦。

==定義==

佇藏本模型上蓋捷看著的版本內底，逐个振子攏有一个固有的自然頻率 $ \ omega _ { i } $，並且佮所有其他的振子以仝款的強度允合。驚人的是，佇咧 $ N \ to \ infty $ 的極限之下，通過巧妙的變換並使用平均場的方法，這个完全非線性的模型是會當精確求解的。

這个模型上捷看著的形式由以下四界組予出：

$ $
{ \ frac { d \ theta _ { i } } { dt } }=\ omega _ { i } + { \ frac { K } { N } } \ sum _ { j=一 } ^ { N } { \ sin { ( \ theta _ { j }-\ theta _ { i } ) } } , \ quad i=一 , \ cdots , N
$ $

系統由 $ N $ 個極限環振子組成，$ \ theta _ { i } $ 是第 $ i $ 個振子的相位，$ K $ 是四配合強度。

嘛會當佇系統中加入噪音。這款情形下，風景變做講

$ $
{ \ frac { d \ theta _ { i } } { dt } }=\ omega _ { i } + { \ frac { K } { N } } \ sum _ { j=一 } ^ { N } { \ sin { ( \ theta _ { j }-\ theta _ { i } ) } } + \ zeta _ { i } , \ quad i=一 , \ cdots , N
$ $

其中 $ \ zeta _ { i } $ 是起落，並且是時間的函數。若是考慮白噪聲的狀況，著：

$ $
\ langle \ zeta _ { i } ( t ) \ rangle=零 ,
$ $

$ $
\ langle \ zeta _ { i } ( t ) \ zeta _ { j } ( t') \ rangle=二 D \ delta _ { ij } \ delta ( t-t')
$ $

其中 $ D $ 代表噪聲強度。

==變換==

會當予這个模型（上無佇咧 $ N \ to \ infty $ 的極限之下）會當精確求解的變換如下所示：

定義「序」參量

$ $
Re ^ { i \ psi }={ \ frac { 一 } { N } } \ sum _ { j=一 } ^ { N } { e ^ { i \ theta _ { j } } }
$ $

$ R $ 表徵著這陣振動的相位相關性，$ \ psi $ 是平均鬥相位。方程兩爿乘以 $ e ^ {-{ \ text { i } } \ theta _ { i } } $，干焦考慮虛部得著：

$ $
{ \ frac { d \ theta _ { i } } { dt } }=\ omega _ { i } + KR \ sin { ( \ psi-\ theta _ { i } ) }
$ $

所致振子的方程組就毋是顯式鋪排的；相反，序參加支配系統的行為。通常閣會做進一步的變換，變換著一个轉動的坐標系，其中所有振子相位的統計平均做零（即 $ \ psi=零 $）。終其尾，風景變做講：

$ $
{ \ frac { d \ theta _ { i } } { dt } }=\ omega _ { i }-KR \ sin { \ theta _ { i } }
$ $

==大 N 極限==

考慮 $ N \ to \ infty $ 的狀況。自然頻率的分布記做 $ g ( \ omega ) $（準講已經歸一化）。設佇時刻 $ t $，佇所有的自然頻率為 $ \ omega $ 彼號振子內底，相位為 $ \ theta $ 的振子所占比例為 $ \ rho ( \ theta , \ omega , t ) $。歸一化要求

$ $
\ int _ { 零 } ^ { 二 \ pi } { \ rho ( \ theta , \ omega , t ) d \ theta }=一
$ $

振子密度的連續性方程為

$ $
{ \ frac { \ partial \ rho } { \ partial t } } + { \ frac { \ partial ( \ rho v ) } { \ partial \ theta } }=零
$ $

其中 $ v=\ omega + KR \ sin { ( \ psi-\ theta ) } $ 是振子的漂移速度。

終其尾，佇連紲統極限下重新寫出序參詳。$ \ theta _ { i } $ 應該用系綜平均來代替，求和替換做積分，得著

$ $
Re ^ { i \ psi }=\ int _ { 零 } ^ { 二 \ pi } { \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } { \ rho ( \ theta , \ omega , t ) g ( \ omega ) e ^ { i \ theta } d \ omega } d \ theta }
$ $

==解==

所有振子隨機漂徙的無相關態對應齊勻分佈解 $ \ rho={ \ frac { 一 } { 二 \ pi } } $。這款狀況 $ R=零 $，振子之間無牽連。系統整體處理統計穩定態，就算講每一个振子單獨來看攏佇咧以自然頻率無停運動。

做符合有夠強的時陣，可能會出現完全同步的解說。佇完全仝款步數內底，所有振子以相仝頻率運動，但是相位會當無仝。

部份同步是干焦一寡振子仝步，啊若另外一寡振子自由漂徙的狀態。對數學上來講，著鎖相的振子

$ $
\ rho=\ delta \ left ( \ theta-\ psi-\ arcsin { \ frac { \ omega } { KR } } \ right )
$ $

著漂徙的振子，

$ $
\ rho \ propto { \ frac { 一 } { \ omega-KR \ sin { ( \ theta-\ psi ) } } }
$ $

==佮哈密頓系統的聯絡==

了散的藏本模型包含佇某一寡保守的哈密頓系統中，哈密頓量具有形式：

$ $
{ \ mathcal { H } }=\ sum _ { i=一 } ^ { N } { { \ frac { 一 } { 二 } } \ omega _ { i } ( q _ { i } ^ { 二 } + p _ { i } ^ { 二 } ) } + { \ frac { K } { 四 N } } \ sum _ { i , j=一 } ^ { N } { ( q _ { i } p _ { j }-q _ { j } p _ { i } ) ( q _ { j } ^ { 二 } + p _ { j } ^ { 二 }-q _ { i } ^ { 二 }-p _ { i } ^ { 二 } ) }
$ $

用正則變換變做作用量-角度的形式，作用量為 $ I _ { i }={ \ frac { 一 } { 二 } } ( q _ { i } ^ { 二 } + p _ { i } ^ { 二 } ) $，角度（相位）$ \ theta _ { i }=\ arctan { \ frac { q _ { i } } { p _ { i } } } $，咧作用量 $ I _ { i } \ equiv I $ 為常數的不變流形上就是藏本動力學。變換以後的哈密頓量

$ $
{ \ mathcal { H } }=\ sum _ { i=一 } ^ { N } { \ omega _ { i } I _ { i } }-{ \ frac { K } { N } } \ sum _ { i=一 } ^ { N } { \ sum _ { j=一 } ^ { N } { { \ sqrt { I _ { j } I _ { i } } } ( I _ { j }-I _ { i } ) \ sin { ( \ theta _ { j }-\ theta _ { i } ) } } }
$ $

哈密頓運動方程為

$ $
{ \ frac { dI _ { i } } { dt } }=-{ \ frac { \ partial { \ mathcal { H } } } { \ partial \ theta _ { i } } }=-{ \ frac { 二 K } { N } } \ sum _ { j=一 } ^ { N } { { \ sqrt { I _ { j } I _ { i } } } ( I _ { j }-I _ { i } ) \ cos { ( \ theta _ { j }-\ theta _ { i } ) } }
$ $

$ $
{ \ frac { d \ theta _ { i } } { dt } }={ \ frac { \ partial { \ mathcal { H } } } { \ partial I _ { i } } }=\ omega _ { i } + { \ frac { K } { N } } \ sum _ { j=一 } ^ { N } { { \ sqrt { I _ { j } / I _ { i } } } ( I _ { i } + I _ { j } ) \ sin { ( \ theta _ { j }-\ theta _ { i } ) } }
$ $

因為乎 $ { \ frac { dI _ { i } } { dt } }=零 $，所以乎 $ I _ { i }=I $ 確實的流形是無變的，而且相位動力學 $ { \ frac { d \ theta _ { i } } { dt } } $ 就是藏本模型的動力學。這類哈密頓系統是咧講某一寡量仔-經典系統，包括玻色-愛因斯坦凝聚。

==模型的變體==

模型有兩種類型的變體，一種改變模型的拓撲結構，另外一種改變癩合函數的形式。

===改變拓撲===

除了具有全連拓撲的原始模型，有夠洘手的複雜網路拓佈嘛會當用仝款的平均場處理。啊若對著局域的行為，譬如講鏈形抑是環形網路頂懸的狀況，袂當閣用經典的平均場方法，所以干焦會當具體問題具體分析，雖然利用對稱性取解的信息。

===改變相位的互相作用===

藏本共兩个振子之間的相放伴互相作用第一个傅立葉分量來近似，即 $ \ Gamma ( \ phi )=\ sin \ phi $，其中 $ \ phi=\ theta _ { j }-\ theta _ { i } $。通過共高階傅立葉分量包括入來，會當得著閣較好的近似

$ $
\ Gamma ( \ phi )=\ sin \ phi + a _ { 一 } \ sin { ( 二 \ phi + b _ { 一 } ) } + \ cdots + a _ { n } \ sin { ( 二 n \ phi + b _ { n } ) }
$ $

比如講，對弱瀨合 Hodgkin-Huxley 神經元的網路，其實會當用一寡振動來表示，遮的振子的互相用函數保留前四階傅立葉分量。高階項的引入嘛會當帶來趣味的同步現象，比如講異宿環、部份仝步態、猶閣有奇美拉態。

==參考資料==

[[分類: 待校正]]

藏本模型 - 修訂紀錄

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