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'''貝索函數'''（Bessel functions），是數學上的一類特殊函數的總稱。通常單講的'''貝索函數'''指'''第一類貝索函數'''（Bessel function of the first kind）。一般貝索函數是下列常微分方程式（一般號做'''貝塞爾方程式'''）的標準解函數 $ y ( x ) $：

: $ x ^ { 二 } { \ frac { d ^ { 二 } y } { dx ^ { 二 } } } + x { \ frac { dy } { dx } } + ( x ^ { 二 }-\ alpha ^ { 二 } ) y=零 $

該方程式的通解無法度用初等函數表示。

因為貝窒爾微分方程式是二階常落分方程式，需要由兩个獨立的函數來表示其標準解函數。典型的是使用第一類貝索函數和第二類貝索函數來表示標準解函數：

: $ y ( x )=c _ { 一 } J _ { \ alpha } ( x ) + c _ { 二 } Y _ { \ alpha } ( x ) $

注意，因為 $ Y _ { \ alpha } ( x ) $ 佇咧 x=零時陣是發散的（無窮），當取 x=零時，相關係數 $ c _ { 二 } $ 著愛為零時，才會當得著物理的結果。

貝索函數的具體形式隨上述方程式中任意實數抑是複數 α 變化咧變化（相應的喔，α 予人叫做其對應貝索函數的'''階數'''）。實際應用上捷看的情形為 α 是整數 _ n _，對應解稱做'''_ n _ 階貝索函數'''。

就算欲講按呢欲講微分的方式內底，α 本身的正負號無改變方程式的形式，但實際應用中猶原慣勢針對 α 和 −α 定義兩種無仝款的貝索函數（按呢做會當𤆬來好處，譬如消除了函數佇咧 α=零點的無光滑性）。

貝塞爾函數嘛予人號做'''柱仔函數'''、'''圓柱函數'''抑是'''圓柱諧波'''，因為𪜶是對拉普拉斯方程式佇咧圓柱坐標上的求解過程中去予人發現的。

==歷史==

貝索函數的幾若个正整數階特例早佇咧十八世紀中葉就由瑞士數學家丹尼爾・伯仔拍拚咧研究懸鏈振動的時陣提出，彼當陣引起了數學界的興趣。丹尼爾的阿叔雅各布・伯仔拍拚，歐拉、搝格朗日等等數學大師對貝索函數的研究作出過重要貢獻。一八一七年，德國數學家貝窒爾佇咧研究克卜勒提出的三體引力系統的運動問題的時陣，第一擺系統地提出了貝索函數的母體理論框殼，後擺人以伊的名來號名矣這種函數 [一] [二]。

==現實背景佮應用範圍==

貝塞爾方程式是佇咧圓柱坐標抑是球坐標下使用分離變數法求解拉普拉斯方程式佮亥姆霍姆方程式時得著的（佇圓柱域問題當中得著的是規階形式 α=_ n _；佇球形域問題中得著的是半奇數階形式 α=_ n _ + ½），因此貝索函數佇波的傳播問題佮各種牽涉著有勢場的問題當中占有真重要的地位，上典型的問題有：

* 佇圓柱形波導中的電磁波傳播問題；
* 圓柱體中的熱傳導問題；
* 圓形（抑是環形）薄膜的振動模態分析問題；

佇咧其他一寡領域，貝索函數嘛相當有路用。譬如講佇 ttf 字體文件壓縮，信號處理當中的調頻合成抑是凱澤窗的定義，攏愛用著貝索函數。

==定義==

貝塞爾方程式是一个二階常落分方程式，必然存在兩個線性獨立的解。針對各種具體的情形，人提出了表示遮的無仝的形式。下跤分別介紹遮的無仝類型的貝索函數。

===第一類貝索函數===

'''第一類貝索函數'''（Bessel function of the first kind），閣稱'''貝索函數'''（Bessel function），下文中有時會簡稱做'''J 函數'''，記作 _ J _ α。

第一類 α 階貝索函數 _ J _ α ( _ x _ ) 是貝塞爾方程式當咧 α 為整數抑是 α 非負時的解，著愛滿足佇咧 _ x _=零時有限。按呢選佮處理 _ J _ α 的原因見本主題下跤的性質介紹；另外一種定義方法是通過伊佇 _ x _=零點的泰勒級數展開（抑是閣一般的通過冪級數展開，這適用佇 α 為非整數）：

: $ J _ { \ alpha } ( x )=\ sum _ { m=零 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { m } } { m ! \ Gamma ( m + \ alpha + 一 ) } } { \ left ( { \ frac { x } { 二 } } \ right ) } ^ { 二 m + \ alpha } $

上式中 $ \ Gamma ( z ) $ 為 Γ 函數（伊會當看做階乘函數向非整型自變數的推廣）。第一類貝索函數的形狀大概佮揤 $ 一 / { \ sqrt { x } } $ 速率衰減的正弦抑是餘弦函數類似（參見本頁下跤對𥑮漸近形式的介紹），但是𪜶的零點並毋是週期的，另外隨著 _ x _ 的增加，零點的隔間隔會愈來愈接近週期性。圖二所示為零階、一階佮二階第一類貝索函數 $ J _ { \ alpha } ( x ) $ 的曲線（$ \ alpha=零 , 一 , 二 $）。

若是 α 無為整數，著 $ J _ { \ alpha } ( x ) $ 和 $ J _ {-\ alpha } ( x ) $ 線性獨立，會當構成微分方程式的一个'''解系'''。反應若 $ \ alpha $ 是整數，遐爾頂頭兩个函數之間滿足隨下關係：

: $ J _ {-\ alpha } ( x )=( 影一 ) ^ { \ alpha } J _ { \ alpha } ( x ) \ , $

就按呢兩函數之間已經不滿足線性獨立條件。為啥物走揣佇這个情形下微分方程式佮 $ J _ { \ alpha } ( x ) $ 線性獨立的另外一解，需要定義'''第二類貝索函數'''，定義過程將佇後壁的小節內底予出。

====貝塞爾積分====

$ \ alpha $ 為整數時貝索函數另外一種定義方法由下跤的積分予出：

: $ J _ { \ alpha } ( x )={ \ frac { 一 } { 二 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { 二 \ pi } \ cos ( \ alpha \ tau-x \ sin \ tau ) d \ tau . $

（ $ \ alpha $ 為任意實數的時陣表達式見參考文獻 [二] 第三百六十頁）

這个積分式就是貝塞爾當年提出的定義，而且伊閣對該定義內底捒出了函數的一寡性質。另外一款積分表達式為：

: $ J _ { \ alpha } ( x )={ \ frac { 一 } { 二 \ pi } } \ int _ {-\ pi } ^ { \ pi } e ^ { i ( \ alpha \ tau-x \ sin \ tau ) } d \ tau $

====佮超幾何級數的關係====

貝索函數會當用超幾何級數表示成下跤的形式：

: $ J _ { \ alpha } ( z )={ \ frac { ( z / 二 ) ^ { \ alpha } } { \ Gamma ( \ alpha + 一 ) } } \ ; _ { 零 } F _ { 一 } ( \ alpha + 一 ;-z ^ { 二 } / 四 ) . $

ɑ 為整數。因為函數線性相依的特性 ( 用一个就減一个，所以愛閣構造一个 )，才需定義如下詳細介紹的第二類貝窒爾函數。

===第二類貝索函數（諾依曼函數）===

'''第二類貝索函數'''（Bessel function of the second kind），閣稱'''嗎他曼函數'''（Neumann function），下文中有時會簡稱做'''Y 函數'''，記作 _ Y _ α。

第二類貝索函數凡勢比第一類閣較捷用。
這種函數通常用 _ Y _ α ( _ x _ ) 表示，𪜶是貝窒爾方程式的另外一類解。_ x _=空點是第二類貝索函數的（無窮）奇異點。

_ Y _ α ( _ x _ ) 閣予人稱做'''諾依曼函數'''（Neumann function），有時也記出來 _ N _ α ( _ x _ )。伊和 _ J _ α ( _ x _ ) 存在如下關係：

: $ Y _ { \ alpha } ( x )={ \ frac { J _ { \ alpha } ( x ) \ cos ( \ alpha \ pi )-J _ {-\ alpha } ( x ) } { \ sin ( \ alpha \ pi ) } } , $

若是 α 為整數（現此時上式是 $ { \ frac { 零 } { 零 } } $ 型未定式）是取正爿極限值。

對頭前對 _ J _ α ( _ x _ ) 的定義會當知影講，若是 α 無為著整數的時陣，定義 _ Y _ α 是加工的（因為貝窒爾方程式的兩个線性獨立解攏已經用 J 函數表示出來矣）。另外一方面，若是 α 為整數，_ Y _ α 就會當和 _ J _ α 構成貝塞爾方程式的一个解系。佮 J 函數類似，Y 函數正負整數階之間也存在如下關係：

: $ Y _ {-n } ( x )=( 影一 ) ^ { n } Y _ { n } ( x ) \ , $

_ J _ α ( _ x _ ) 和 _ Y _ α ( _ x _ ) 攏是沿負實半軸割開的複數平面內面關於 _ x _ 的攏全純函數。當 α 為整數的時陣，複數平面內面不存在貝索函數的支點，所以乎 _ J _ 和 _ Y _ 均為 _ x _ 的整函數。若共 _ x _ 固定，則貝索函數是 α 的整函數。圖三所示為零階、一階佮二階第二類貝索函數 $ Y _ { \ alpha } ( x ) $ 的曲線（$ \ alpha=零 , 一 , 二 $）：

===第三類貝索函數（漢克爾函數）===

'''第三類貝索函數'''（Bessel function of the third kind），閣稱'''漢克爾函數'''（Hankel function）。

貝塞爾方程式的另外一對重要的線性獨立解稱為'''漢克爾函數'''（Hankel functions）_ H _ α ( 一 ) ( _ x _ ) 和 _ H _ α ( 二 ) ( _ x _ )，分別定義為：

: $ H _ { \ alpha } ^ { ( 一 ) } ( x )=J _ { \ alpha } ( x ) + iY _ { \ alpha } ( x ) $

: $ H _ { \ alpha } ^ { ( 二 ) } ( x )=J _ { \ alpha } ( x )-iY _ { \ alpha } ( x ) $

其中 _ i _ 為虛數單位 $ { \ sqrt { 影一 } } $。以上的線性組合嘛成做'''第三類貝索函數'''；佇𪜶描述了二維波動方程式的外向行柱面波解佮內向行柱面波解（" 走 " 佮佇咧 " 行動 " 中同音）。

利用頭前推出的關係會當將漢克爾函數表示成：

: $ H _ { \ alpha } ^ { ( 一 ) } ( x )={ \ frac { J _ {-\ alpha } ( x )-e ^ {-\ alpha \ pi i } J _ { \ alpha } ( x ) } { i \ sin ( \ alpha \ pi ) } } $

: $ H _ { \ alpha } ^ { ( 二 ) } ( x )={ \ frac { J _ {-\ alpha } ( x )-e ^ { \ alpha \ pi i } J _ { \ alpha } ( x ) } {-i \ sin ( \ alpha \ pi ) } } $

若是 α 為整數，著愛對等號正爿取極限值。另外咧，無論 α 是毋是整數，下跤的關係攏成立：

: $ H _ {-\ alpha } ^ { ( 一 ) } ( x )=e ^ { \ alpha \ pi i } H _ { \ alpha } ^ { ( 一 ) } ( x ) $

: $ H _ {-\ alpha } ^ { ( 二 ) } ( x )=e ^ {-\ alpha \ pi i } H _ { \ alpha } ^ { ( 二 ) } ( x ) $

===修正貝索函數===

貝索函數變數 _ x _ 為著複數的時陣仝款成立，並且當 _ x _ 為純虛數的時陣得著一類重要的情形—— 𪜶予人叫做'''第一類修正貝索函數'''（modified Bessel function of the first kind）和'''第二類修正貝索函數'''（modified Bessel function of the second kind），抑是'''虛變數的貝索函數'''（有時閣號做'''雙曲型貝索函數'''），定義做：

: $ I _ { \ alpha } ( x )=i ^ {-\ alpha } J _ { \ alpha } ( ix ) \ ! $

: $ K _ { \ alpha } ( x )={ \ frac { \ pi } { 二 } } { \ frac { I _ {-\ alpha } ( x )-I _ { \ alpha } ( x ) } { \ sin ( \ alpha \ pi ) } }={ \ frac { \ pi } { 二 } } i ^ { \ alpha + 一 } H _ { \ alpha } ^ { ( 一 ) } ( ix ) \ ! $

以上形式保證了當變數 _ x _ 為實數的時陣，函數值亦為實數。這兩个函數構變成下列'''修正貝窒爾方程式'''（佮一般貝窒爾方程式的差別干焦佇兩个正負號）的一个互相線性獨立的解系：

: $ x ^ { 二 } { \ frac { d ^ { 二 } y } { dx ^ { 二 } } } + x { \ frac { dy } { dx } }-( x ^ { 二 } + \ alpha ^ { 二 } ) y=零 . $

修正貝索函數佮一般貝索函數的差別佇咧講：一般貝索函數隨實變數是振盪型的，修正貝索函數 _ I _ α 和 _ K _ α 是分別是指數增長和指數衰減型的。和第一類貝索函數 _ J _ α 仝款，函數 _ I _ α 當 α > 無佇咧 _ x _=零點等於零，當 α=無佇咧 _ x _=零點趨於有限值。類似地，_ K _ α 佇咧 _ x _=零點發散（因為無散）。

_ 複數變數的貝索函數之零值 _：$ J _ { \ alpha } ( x )=零 $ 的解在矣 α≥ 鋪一的狀況之下攏是實數；階數-二 > α > 鋪一的狀況之下，除了實數以外猶閣有而且干焦有一對共擔的純虛數解（G . N Watson 參考文獻 [五]）。

第二類修正貝索函數有當時仔予人號做'''第三類修正貝索函數'''（modified Bessel function of the third kind）。

===球貝索函數===

若咧使用分離變數法求解球坐標下的三維亥姆霍方程式，會當得著這个形式就是關於徑向（_ r _ 方向）分量定定微分方程式：

: $ x ^ { 二 } { \ frac { d ^ { 二 } y } { dx ^ { 二 } } } + 二 x { \ frac { dy } { dx } } + [x ^ { 二 }-n ( n + 一 )] y=零 . $

關於上述方程式的一對線性獨立解稱'''球貝索函數'''，分別用 _ j _ n 和 _ y _ n 表示（有時也記為講 _ n _ n）。這兩个函數佮一般貝索函數 _ J _ n 和 _ Y _ n 存在關係：

: $ j _ { n } ( x )={ \ sqrt { \ frac { \ pi } { 二 x } } } J _ { n + 二分之一 } ( x ) , $

: $ y _ { n } ( x )={ \ sqrt { \ frac { \ pi } { 二 x } } } Y _ { n + 二分之一 } ( x )=( 影一 ) ^ { n + 一 } { \ sqrt { \ frac { \ pi } { 二 x } } } J _ {-n-二分之一 } ( x ) . $

球貝索函數也會當寫做：

: $ j _ { n } ( x )=(-x ) ^ { n } \ left ( { \ frac { 一 } { x } } { \ frac { d } { dx } } \ right ) ^ { n } \ , { \ frac { \ sin x } { x } } , $

: $ y _ { n } ( x )=-(-x ) ^ { n } \ left ( { \ frac { 一 } { x } } { \ frac { d } { dx } } \ right ) ^ { n } \ , { \ frac { \ cos x } { x } } . $

空階第一類球貝索函數 $ j _ { 零 } ( x ) $ 閣叫做 sinc 函數。頭幾階整階球貝索函數的表達式分別為：

第一類：

: $ j _ { 零 } ( x )={ \ frac { \ sin x } { x } } $

: $ j _ { 一 } ( x )={ \ frac { \ sin x } { x ^ { 二 } } }-{ \ frac { \ cos x } { x } } $

: $ j _ { 二 } ( x )=\ left ( { \ frac { 三 } { x ^ { 二 } } } 影一 \ right ) { \ frac { \ sin x } { x } }-{ \ frac { 三 \ cos x } { x ^ { 二 } } } $

第二類：

: $ y _ { 零 } ( x )=-j _ { 影一 } ( x )=-\ , { \ frac { \ cos x } { x } } $

: $ y _ { 一 } ( x )=j _ { 鋪二 } ( x )=-\ , { \ frac { \ cos x } { x ^ { 二 } } }-{ \ frac { \ sin x } { x } } $

: $ y _ { 二 } ( x )=-j _ { ma三 } ( x )=\ left (-\ , { \ frac { 三 } { x ^ { 二 } } } + 一 \ right ) { \ frac { \ cos x } { x } }-{ \ frac { 三 \ sin x } { x ^ { 二 } } } . $

閣會當照頭前構造漢克按呢函數相仝的步數構造所謂'''球漢克爾函數'''：

: $ h _ { n } ^ { ( 一 ) } ( x )=j _ { n } ( x ) + iy _ { n } ( x ) $

: $ h _ { n } ^ { ( 二 ) } ( x )=j _ { n } ( x )-iy _ { n } ( x ) . $

事實上，所有半奇數階貝索函數攏通寫做由三角函數組成的封閉形式的表達式，球貝索函數嘛仝款會當。特別地，著所有非負整數 _ n _，存在：

: $ h _ { n } ^ { ( 一 ) } ( x )=(-i ) ^ { n + 一 } { \ frac { e ^ { ix } } { x } } \ sum _ { m=零 } ^ { n } { \ frac { i ^ { m } } { m ! ( 二 x ) ^ { m } } } { \ frac { ( n + m ) ! ! } { ( n-m ) ! ! } } $

著實自變數 _ x _，_ h _ n ( 二 ) 是頂面 _ h _ n ( 一 ) 的複共擔（! ! 表示'''雙階乘'''）。由此咱會當通過會著 _ h _，閣分離實部虛部，求出相應階 _ j _ 和 _ h _ 的表達式，譬如講 _ j _ 零 ( _ x _ )=sin ( _ x _ ) / _ x _，_ y _ 零 ( _ x _ )=-cos ( _ x _ ) / _ x _，等咧。

球貝索函數的生成函數為：

: $ { \ frac { 一 } { z } } \ cos ( { \ sqrt { z ^ { 二 } 鋪二 zt } } )=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ frac { t ^ { n } } { n ! } } j _ { n 影一 } ( z ) , $

: $ { \ frac { 一 } { z } } \ sin ( { \ sqrt { z ^ { 二 } 鋪二 zt } } )=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ frac { t ^ { n } } { n ! } } y _ { n 影一 } ( z ) . $

===黎卡提-貝索函數：_ Sn _ , _ Cn _ , _ ξn _ , _ ζn _===

黎卡提-貝索函數（Riccati-Bessel functions）和球貝索函數較類似：

: $ S _ { n } ( x )=xj _ { n } ( x )={ \ sqrt { \ pi x / 二 } } J _ { n + 二分之一 } ( x ) $

: $ C _ { n } ( x )=-xy _ { n } ( x )=-{ \ sqrt { \ pi x / 二 } } Y _ { n + 二分之一 } ( x ) $

: $ \ zeta _ { n } ( x )=xh _ { n } ^ { ( 二 ) } ( x )={ \ sqrt { \ pi x / 二 } } H _ { n + 二分之一 } ^ { ( 二 ) } ( x )=S _ { n } ( x ) + iC _ { n } ( x ) $

該函數滿足方程式：

: $ x ^ { 二 } { \ frac { d ^ { 二 } y } { dx ^ { 二 } } } + [x ^ { 二 }-n ( n + 一 )] y=零 $

這个方程式佮相應的黎卡提-貝塞爾解是德國物理學家古斯塔夫・米（Gustav Mie）佇一九空八年研究電磁波佇球狀粒仔表面散射問題的時提出的，後人共這種散射叫做米氏散射（Mie scattering）。這个問題這幾冬的進展會當參見文獻 Du ( 兩千空四 )。

後人有當時仔會遵對德拜（Debye）佇一九空九年的論文中的記法，用 $ \ psi _ { n } , \ chi _ { n } $ 代替頭前的 $ S _ { n } , C _ { n } $。

==漸漸近形式==

貝索函數佇咧 α 非負時具有下跤的漸漸形式。當自變數 _ x _ 為小量，即 $ 零 < x \ ll { \ sqrt { \ alpha + 一 } } $ 時，有：

: $ J _ { \ alpha } ( x ) \ rightarrow { \ frac { 一 } { \ Gamma ( \ alpha + 一 ) } } \ left ( { \ frac { x } { 二 } } \ right ) ^ { \ alpha } $

: $ Y _ { \ alpha } ( x ) \ rightarrow \ left \ { { \ begin { matrix } { \ frac { 二 } { \ pi } } \ left [\ ln ( x / 二 ) + \ gamma \ right] & { \ mbox { if } } \ alpha=零 \ \ \ \-{ \ frac { \ Gamma ( \ alpha ) } { \ pi } } \ left ( { \ frac { 二 } { x } } \ right ) ^ { \ alpha } & { \ mbox { if } } \ alpha > 零 \ end { matrix } } \ right . $

式當中 γ 為歐拉-馬歇羅尼常數（嘛叫做歐拉常數，等於空石五七七二一五六六四九 . . .）， Γ 為 Γ 函數。對著真大的 _ x _，即 $ x \ gg | \ alpha ^ { 二 }-四分之一 | $ 時，漸漸形式做：

: $ J _ { \ alpha } ( x ) \ rightarrow { \ sqrt { \ frac { 二 } { \ pi x } } } \ cos \ left ( x-{ \ frac { \ alpha \ pi } { 二 } }-{ \ frac { \ pi } { 四 } } \ right ) $

: $ Y _ { \ alpha } ( x ) \ rightarrow { \ sqrt { \ frac { 二 } { \ pi x } } } \ sin \ left ( x-{ \ frac { \ alpha \ pi } { 二 } }-{ \ frac { \ pi } { 四 } } \ right ) . $

（ α=二分之一的時陣漸漸號兩爿嚴格相等；參見頭前對球貝索函數的介紹）。其他的形式貝索函數的漸漸近的形式會當對面頂的式子直接捒甲。譬如講，著大自變數 $ x \ gg | \ alpha ^ { 二 }-四分之一 | $，修正貝索函數的漸漸形式為：

: $ I _ { \ alpha } ( x ) \ rightarrow { \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 \ pi x } } } e ^ { x } , $

: $ K _ { \ alpha } ( x ) \ rightarrow { \ sqrt { \ frac { \ pi } { 二 x } } } e ^ {-x } . $

著小自變數 $ 零 < x \ ll { \ sqrt { \ alpha + 一 } } $：

: $ I _ { \ alpha } ( x ) \ rightarrow { \ frac { 一 } { \ Gamma ( \ alpha + 一 ) } } \ left ( { \ frac { x } { 二 } } \ right ) ^ { \ alpha } $

: $ K _ { \ alpha } ( x ) \ rightarrow \ left \ { { \ begin { matrix }-\ ln ( x / 二 )-\ gamma & { \ mbox { if } } \ alpha=零 \ \ \ \ { \ frac { \ Gamma ( \ alpha ) } { 二 } } \ left ( { \ frac { 二 } { x } } \ right ) ^ { \ alpha } & { \ mbox { if } } \ alpha > 零 \ end { matrix } } \ right . $

==性質==

整階（α=_ n _）第一類貝索函數 _ J _ n 通過嘿其實'''母函數'''（_ generating function _）的羅朗級數（Laurent series）展開來定義：

: $ e ^ { ( x / 二 ) ( t 影一 / t ) }=\ sum _ { n=-\ infty } ^ { \ infty } J _ { n } ( x ) t ^ { n } , $

上式的倒爿準做是整階第一類貝索函數的母函數，這是丹麥天文學家漢森於一八四三年提出的。（這款定義嘛會當通過路徑積分抑是其他的方法來推廣甲非整數階）。規階函數的另外一个重要性質是下列'''雅可比-安格爾恆等式'''（_ Jacobi-Anger identity _）：

: $ e ^ { iz \ cos \ phi }=\ sum _ { n=-\ infty } ^ { \ infty } i ^ { n } J _ { n } ( z ) e ^ { in \ phi } , $

利用這等式會當將平面波展開做一系列柱面波的疊疊，抑是欲調頻信號分解成傅立葉級數的疊加。

函數 _ J _ α、_ Y _ α、_ H _ α ( 一 ) 和 _ H _ α ( 二 ) 攏滿足遞迴關係：

: $ Z _ { \ alpha 影一 } ( x ) + Z _ { \ alpha + 一 } ( x )={ \ frac { 二 \ alpha } { x } } Z _ { \ alpha } ( x ) $

: $ Z _ { \ alpha 影一 } ( x )-Z _ { \ alpha + 一 } ( x )=二 { \ frac { dZ _ { \ alpha } } { dx } } $

其中 _ Z _ 代表 _ J _ , _ Y _ , _ H _ ( 一 ) 抑是 _ H _ ( 二 )。（定定共這兩个恆等式聯立推出其他關係）。對這組遞迴關係會當通過低階貝索函數（抑是𪜶的低階導數）計算高階貝索函數（抑是𪜶的高階導數）。特別地，有：

: $ \ left ( { \ frac { d } { xdx } } \ right ) ^ { m } \ left [x ^ { \ alpha } Z _ { \ alpha } ( x ) \ right]=x ^ { \ alpha-m } Z _ { \ alpha-m } ( x ) $

: $ \ left ( { \ frac { d } { xdx } } \ right ) ^ { m } \ left [{ \ frac { Z _ { \ alpha } ( x ) } { x ^ { \ alpha } } } \ right]=( 影一 ) ^ { m } { \ frac { Z _ { \ alpha + m } ( x ) } { x ^ { \ alpha + m } } } $

因為貝窒爾方程式著應的作用算符除以 _ x _ 後便是一个（自伴隨的）厄米算符（Hermitian），所以伊的解佇咧適當的邊界條件下需要滿足交性關係。特別地，有捒甲：

: $ \ int _ { 零 } ^ { 一 } xJ _ { \ alpha } ( xu _ { \ alpha , m } ) J _ { \ alpha } ( xu _ { \ alpha , n } ) dx={ \ frac { \ delta _ { m , n } } { 二 } } J _ { \ alpha + 一 } ( u _ { \ alpha , m } ) ^ { 二 } , $

其中 α > 影一，δm , _ n _ 為克羅內克 δ，_ u _ α , m 表示 _ J _ α ( _ x _ ) 的第 _ m _ 級零點。這个正交性關係會當佇算傅立葉-貝塞爾級數中各項的係數，以利用該級數將任意函數來寫 α 固定、_ m _ 變化的函數 _ J _ α ( _ x _ _ u _ α , m ) 的無窮疊形式。（會使隨得著球貝索函數相應的關係）。

另外一个正交性關係是下列佇咧 α >-二分之一的成立的「共封閉方程式」（_ closure equation _）：

: $ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } xJ _ { \ alpha } ( ux ) J _ { \ alpha } ( vx ) dx={ \ frac { 一 } { u } } \ delta ( u-v ) $

其中 δ 為狄拉克 δ 函數。球貝索函數正交性條件為（當 α > 零）：

: $ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } x ^ { 二 } j _ { \ alpha } ( ux ) j _ { \ alpha } ( vx ) dx={ \ frac { \ pi } { 二 u ^ { 二 } } } \ delta ( u-v ) $

貝塞爾方程式的另外一个重要性質佮其朗斯基行列式（Wronskian）相關，由阿貝爾恆等式（Abel's identity）得著：

: $ A _ { \ alpha } ( x ) { \ frac { dB _ { \ alpha } } { dx } }-{ \ frac { dA _ { \ alpha } } { dx } } B _ { \ alpha } ( x )={ \ frac { C _ { \ alpha } } { x } } , $

其中 _ A _ α 和 _ B _ α 是貝塞爾方程式的任意兩个解，_ C _ α 是佮 _ x _ 無關係的常數（由 α 和貝索函數的種類決定）。譬如講，若是 _ A _ α=_ J _ α、_ B _ α=_ Y _ α，著 _ C _ α is 二 / π。該性質咧修正貝索函數中仝款適用，譬如講，若是 _ A _ α=_ I _ α、_ B _ α=_ K _ α，著 _ C _ α 為-一。

==參見==

* Hankel 變換—— 以貝窒爾函數作展開。

==參考文獻==

* [一] 嚴鎮軍編，《數學物理方程式》，二版，中國科學技術大學出版社，合肥，兩千空二，第八十二頁～第一百二十三頁，ISBN 七石三百一十二孵七百九十九石六
* [二] Milton Abramowitz and Irene A . Stegun , eds . , _ Handbook of Mathematical Functions with Formulas , Graphs , and Mathematical Tables _ ( Dover : New York , 一千九百七十二 )（英文）
* Chapter 九整階貝索函數
* Section 九陽一 J , Y（韋伯）and H（漢開而已）
* Section 九九尺六修正貝索函數（I 和 K）
* Section 九嬸九開爾文函數
* Chapter 十分數階貝索函數
* Section 十配一球貝索函數（j、y 和 h）
* Section 十二修正球貝索函數（I 和 K）
* Section 十二牛三黎卡提-貝索函數
* Section 十曉四艾里函數（Airy functions）
* [三] George B . Arfken and Hans J . Weber , _ Mathematical Methods for Physicists _ ( Harcourt : San Diego , 兩千空一 ) .
* [四] Frank Bowman , _ Introduction to Bessel Functions _ ( Dover : New York , 一千九百五十八 ) ISBN 空九四百八十六七五八空四百六十二鋪四 .
* [五] G . N . Watson , _ A Treatise on the Theory of Bessel Functions , Second Edition _ , ( 一千九百六十六 ) Cambridge University Press .
* [六] G . Mie , " Beiträge zur Optik trüber Medien , speziell kolloidaler Metallösungen " , _ Ann . Phys . Leipzig _'''二十五'''( 一千九百空八 ) , p . 三百七十七 .
* [七] Hong Du , " Mie-scattering calculation , " _ Applied Optics _'''四十三'''( 九 ) , 一千九百五十一孵一千九百五十六 ( 兩千空四 ) .

==外部連結==

* Engineering Fundamentals-Bessel Function

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貝索函數 - 修訂紀錄

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