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2025-08-23T16:17:52Z

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數學中，複數的'''輻角'''是指複數佇複平面上對應的向量佮正向實數軸所成的有向角。複數的輻角值會當是一切實數，毋過因為有相差 $ 三百六十 ^ { \ circ } $（即弧度 $ 二 \ pi $）的輻角佇實際應用中無差別，所以定義複數的'''輻角主值'''為著輻角模 $ 三百六十 ^ { \ circ } $（$ 二 \ pi $）賰落來的數，定義取值範圍佇咧 $ 零 ^ { \ circ } $ 到 $ 三百六十 ^ { \ circ } $（$ 二 \ pi $）之間。複數的輻角是複數的重要性質，佇袂少理論內底攏有咧重要的作用。

==定義==

設有非零複數 $ z \ in \ mathbb { C } \ setminus \ { 零 \ } $，記作 $ z=x + yi $，內底的 $ x $ 和 $ y $ 為實數，遐爾仔複數 $ z $ 的輻角 $ \ varphi $ 指出的是使下列等式：

: $ z=x + yi={ \ sqrt { x ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } ( \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi ) $

成立的任何實數 $ \ varphi $。直觀來講，假使非零複數 $ z $ 佇複平面 $ O _ { xy } $ 著對應的向量是 $ { \ overrightarrow { OP } } $（正圖藍色向量），按呢伊的輻角是所有會當描述正實數軸到 $ { \ overrightarrow { OP } } $ 的斡角的有向角。其中有向角的正向規定做逆時針方向。圖內底會當看出講，相差 $ 二 \ pi $ 的倍數的角色攏會當是輻角。這个性質嘛會當對三角函數 $ \ cos $ 和 $ \ sin $ 是以 $ 二 \ pi $ 為周期的函數中推出來。

干焦非零複數才有輻角，複數 $ 零 $ 的輻角是無定義的。

==輻角主值==

仝一个複數的輻角有無窮濟个，以集合表示講 $ \ { \ varphi + 二 k \ pi \ , | \ , k \ in \ mathbb { Z } \ } $，啊若對所有 $ \ varphi _ { k }=\ varphi + 二 k \ pi $，$ \ cos \ varphi _ { k } + i \ sin \ varphi _ { k } $ 攏相仝，所以實際干焦需要以其中一个輻角為代表，此輻角叫做'''輻角主值'''抑是'''主輻角'''，記作 $ \ operatorname { Arg } ( z ) $。一般約定使用區間 $ (-\ pi , \ pi ] $ 中的值作為輻角主值（嘛有另外一款捷看著的約定是以區間 $ [ 零 , 二 \ pi ) $ 中的值作為輻角主值）。若複數的輻角主值是 $ \ operatorname { Arg } ( z ) $，按呢伊的所有的輻角值就是：

: $ \ arg ( z )=\ { \ operatorname { Arg } ( z ) + 二 k \ pi \ , | \ , k \ in \ mathbb { Z } \ } $

==輻角的計算==

予定一个形如 $ z=x + yi $ 的非零複數，輻角主值 $ \ operatorname { Arg } ( z ) $ 是將伊炤著區間 $ (-\ pi , \ pi ] $ 中的函數。輻角主值函數會當用反三角函數來描述：

: $ \ operatorname { Arg } ( x + yi )={ \ begin { cases } \ arccos { \ dfrac { x } { \ sqrt { x ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } } & y > 零 \ \-\ arccos { \ dfrac { x } { \ sqrt { x ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } } & y < 零 \ \ 零 & x > 零 \ land y=零 \ \ \ pi & x < 零 \ land y=零 \ \ \ end { cases } } $

抑是配合半角公式：

: $ \ operatorname { Arg } ( x + yi )={ \ begin { cases } 二 \ arctan { \ dfrac { y } { { \ sqrt { x ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } + x } } & y \ neq 零 \ \ 零 & x > 零 \ land y=零 \ \ \ pi & x < 零 \ land y=零 \ \ \ end { cases } } $

==性質==

複數 $ z $ 的一个輻角 $ \ varphi \ in \ arg ( z ) $ 佮絕對值 $ | z | $ 會當用來組成複數的極坐標形式：

: $ z=| z | e ^ { i \ varphi } $。

坐標形式下計算，會使得著複數乘積佮商的輻角的規律：

: $ \ operatorname { Arg } ( z _ { 一 } z _ { 二 } )=\ operatorname { Arg } ( z _ { 一 } ) + \ operatorname { Arg } ( z _ { 二 } ) { \ pmod { (-\ pi , \ pi ] } } $

: $ \ operatorname { Arg } \ left ( { \ frac { z _ { 一 } } { z _ { 二 } } } \ right )=\ operatorname { Arg } ( z _ { 一 } )-\ operatorname { Arg } ( z _ { 二 } ) { \ pmod { (-\ pi , \ pi ] } } $

於是對複數冪次的輻角嘛有：

: $ \ operatorname { Arg } ( z ^ { n } )=n \ operatorname { Arg } ( z ) { \ pmod { (-\ pi , \ pi ] } } $

複數的共擔的輻角是滿足：

: $ \ operatorname { Arg } ( { \ overline { z } } )=-\ operatorname { Arg } ( z ) { \ pmod { (-\ pi , \ pi ] } } $

==參考來源==

[[分類: 待校正]]

輻角 - 修訂紀錄

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