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佇咧向量微積分中，'''影響內-塞雷公式'''（'''Frenet–Serret 公式'''）用來描述歐幾里得空間'''R'''三中的粒仔佇連紲會當微曲線頂的運動。閣較具體的講，抹著內公式描述著曲線的'''切向，法向，副法方向'''之間的關係。這一公式由法國數學家予・熔雷德里克・影響內（佇一八四七年的博士論文中）佮約瑟夫・阿爾鴻雷德・塞雷（佇一八五一年）分別提出。

單位切向量'''T'''，單位法向量'''N'''，單位副法向量'''B'''，予人號做'''抹佇內標架'''，𪜶的具體定義如下：

*'''T'''是單位的切向的量，方向指向粒子運動的方向。
*'''N'''是切向量'''T'''著弧長參數的微分單位化得著的向量。
*'''B'''是'''T'''和'''N'''的外積。

被勒內公式如下：

: $ { \ begin { aligned } { \ dfrac { d \ mathbf { T } } { ds } } &=\ kappa \ mathbf { N } , \ \ { \ dfrac { d \ mathbf { N } } { ds } } &=-\ kappa \ mathbf { T } + \ tau \ mathbf { B } , \ \ { \ dfrac { d \ mathbf { B } } { ds } } &=-\ tau \ mathbf { N } , \ end { aligned } } $

其中 _ d _ / _ ds _ 是對弧長的微分，κ 為曲線的曲率，τ 為曲線的撬率。抹著內公式描述了空間曲線曲率率的變化規律。

==被勒內公式==

記'''r'''( t ) 為歐式空間'''R'''三中的曲線，表示粒子佇時間 t 時刻的位置向量。被勒內公式只適用佇正則曲線，即速度向量'''r'''′ ( t ) 佮加速度向量'''r'''′′ ( t ) 無為零的曲線。

記 _ s ( t ) _ 為 _ t _ 時刻粒仔所在佇位置到曲線頂懸某定點的弧長：

: $ s ( t )=\ int _ { 零 } ^ { t } \ | \ mathbf { r }'( \ tau ) \ | d \ tau . $

因為假使講'''r'''′ ≠ 零，所以會當共 _ t _ 表示講 _ s _ 的函數，所以會當共曲線表示做弧長 _ s _ 的函數'''r'''( s )='''r'''( _ t _ ( _ s _ ) )。_ s _ 通常嘛予人叫做曲線的弧長參數。

對於由弧長參數定義的正則曲線'''r'''( _ s _ )，'''抹佇內標架'''( 抑是'''抹內底基底''') 定義如下：

* 單位切向量'''T'''：

: : $ \ mathbf { T }={ d \ mathbf { r } \ over ds } . \ qquad \ qquad ( 一 ) $

* 主法向量'''N'''：

: : $ \ mathbf { N }={ { \ frac { d \ mathbf { T } } { ds } } \ over \ left \ | { \ frac { d \ mathbf { T } } { ds } } \ right \ | } . \ qquad \ qquad ( 二 ) $

* 副法向量'''B'''定義做'''T'''和'''N'''的外積：

: : $ \ mathbf { B }=\ mathbf { T } \ times \ mathbf { N } . \ qquad \ qquad ( 三 ) $

因為 $ | \ mathbf { T } |=一 , { \ frac { d ( \ mathbf { T } \ cdot \ mathbf { T } ) } { ds } }=二 \ mathbf { T } \ cdot \ mathbf { N }=零 , $ 所以乎'''N'''佮'''T'''直的。四角勢 ( 三 ) 說明'''B'''垂直於'''T'''和'''N'''，所以向量'''T'''，'''N'''，'''B'''互相垂直。

被勒內公式如下：

: $ { \ begin { matrix } { \ frac { d \ mathbf { T } } { ds } } &=& & \ kappa \ mathbf { N } & \ \ & & & & \ \ { \ frac { d \ mathbf { N } } { ds } } &=&-\ kappa \ mathbf { T } & & + \ , \ tau \ mathbf { B } \ \ & & & & \ \ { \ frac { d \ mathbf { B } } { ds } } &=& &-\ tau \ mathbf { N } & \ end { matrix } } $

其中 κ 為曲線的曲率，τ 為曲線的撬率。

抹內公式有當時仔嘛予人號做 _ 抹腹內定理 _，並且會使寫做矩陣的形式：

: $ { \ begin { bmatrix } \ mathbf { T'} \ \ \ mathbf { N'} \ \ \ mathbf { B'} \ end { bmatrix } }={ \ begin { bmatrix } 零 & \ kappa & 零 \ \-\ kappa & 零 & \ tau \ \ 零 &-\ tau & 零 \ end { bmatrix } } { \ begin { bmatrix } \ mathbf { T } \ \ \ mathbf { N } \ \ \ mathbf { B } \ end { bmatrix } } . $

其中矩陣是反對稱矩陣。

嘿弧長 s 求導，會當看做是對切方向的協變導數。

==參閱==

* 曲線仿幾何
* 曲線微分幾何
* 達布標架
* 運動學

==注釋==

==參考資料==

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* Frenet , F . , Sur les courbes à double courbure ( PDF ) , Thèse , Toulouse , 一千八百四十七 [二千空一十三分一] ,（原始的內容 ( PDF ) 存檔佇二千空一十一鋪七堵十六） . Abstract in _ J . de Math .'十七'_ , 一千八百五十二 .
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* Sternberg , Shlomo , Lectures on Differential Geometry , Prentice-Hall , 一千九百六十四
* Struik , Dirk J . , Lectures on Classical Differential Geometry , Reading , Mass : Addison-Wesley , 一千九百六十一 .

==外部連結==

* Rudy Rucker's KappaTau Paper .
* Very nice visual representation for the trihedron

[[分類: 待校正]]

鋪萊納公式 - 修訂紀錄

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