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2025-08-24T03:23:05Z

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'''閣倒反切'''（英語：'''arccotangent'''，記為：$ \ operatorname { arccot } $、'''arcctg'''、'''ACOT'''抑是 $ \ cot ^ { 影一 } $）閣叫做'''逆餘切'''，是一種反三角函數，對應的三角函數共餘切函數，是利用已知直角三角形的角頭和對邊這兩條直角邊長度的比值求出其鋏角大細的函數，毋過其輸入值佮反正切的輸入值互為倒算，是高等數學中的一種基本特殊函數。

'''閣倒反切'''會當看做餘切的反函數，但是切函數是周期函數而且佇實數頂面無有一一對應的關係，所以伊無存在反函數，但是嘛會當看做多值函數，因此咱著愛限制餘切函數的定義域使其成做單射佮滿射嘛是洘旱的。

一般上捷看的方式是限制餘切函數的定義域佇咧零到 π（一百八十 °）之間，如下圖所示（以紅色曲線表示），這陣反餘切函數毋是奇函數嘛毋是偶函數，是一个單調遞減的有界函數，上蓋大值為 $ \ pi $（一百八十 °）、細漢值為零而且函數連紲，但是有兩條漸漸仔線。

另外一種定義方式是限制餘切函數的定義域佇 $ \ pm { \ frac { \ pi } { 二 } } $（± 九十 °）之間，如下圖所示（以紅色曲線表示），這種限制方式佮反正切相仝，這陣反餘切函數是奇函數，值域佮其他相關性質攏佮反正切類似，但函數並無連紲。

因為餘切是周期函數，啊若頂懸二種定義的方式攏是取餘切的一个禮拜，所以其實義域攏為著實數集。但是當將反切函數擴展到複數時，會採用後者的定義方式。

毋過因為複變分析的定義方式會造成函數無連紲，佇咧 $ x=零 $ 時有斷點，佇這个應用佇測量學上的時會採用上細的仝界角的方式避免斷點。

反餘切函數定定記為 $ \ cot ^ { 影一 } $，佇外文獻當中攏定記做 $ \ operatorname { arccot } $，佇一寡舊的教科書中嘛有人記為 arcctg，但是彼是舊的用法。根據 ISO 三十一孵十一，應該將反餘切函數記做 $ \ operatorname { arccot } $，因為乎 $ \ cot ^ { 影一 } $ 可能會佮 $ { \ frac { 一 } { \ cot } } $ 透濫，$ { \ frac { 一 } { \ cot } } $ 是正切函數。

==定義==

'''閣倒反切'''表示餘切的反函數，所以是一个多值函數。為著欲符合函數定義，因此愛對原函數加以限制，從而存在多種定義方式。上捷看著的定義方式有兩種：

一 . 將餘切函數限制佇咧 $ [零 , \ pi] $（[零 , 一百八十 °]）的反函數，應用佇測量學二 . 將餘切函數限制佇咧 $ (-{ \ frac { \ pi } { 二 } } , { \ frac { \ pi } { 二 } } ] $（$ ( 鋪九十 ^ { \ circ } , 九十 ^ { \ circ } ] $）的反函數，應用佇咧複變分析佇咧複變分析中是採用第二種的定義延伸至複數，閣存在等式：

: $ \ operatorname { arccot } x={ \ frac { i } { 二 } } \ left [\ ln \ left ( { \ frac { x-i } { x } } \ right )-\ ln \ left ( { \ frac { x + i } { x } } \ right ) \ right] $

這个動作使倒反切去予人推廣到複數。

此外，反餘切函數嘛會當使用其他反三角函數來進行定義：

: $ { \ begin { aligned } \ operatorname { arccot } ( x )=\ cot ^ { 影一 } ( x ) &={ \ begin { cases } \ sec ^ { 影一 } \ left ( { \ frac { \ sqrt { x ^ { 二 } + 一 } } { x } } \ right )-\ pi , & { \ mbox { for } } x < 零 \ \ \ sec ^ { 影一 } \ left ( { \ frac { \ sqrt { x ^ { 二 } + 一 } } { x } } \ right ) , & { \ mbox { for } } x > 零 \ end { cases } }={ \ begin { cases }-{ \ frac { \ pi } { 二 } }-\ tan ^ { 影一 } x , & { \ mbox { for } } x < 零 \ \ { \ frac { \ pi } { 二 } }-\ tan ^ { 影一 } x , & { \ mbox { for } } x > 零 \ lor x=零 \ end { cases } } \ \ &={ \ begin { cases }-\ sin ^ { 影一 } \ left ( { \ frac { 一 } { \ sqrt { x ^ { 二 } + 一 } } } \ right ) , & { \ mbox { for } } x < 零 \ \ \ sin ^ { 影一 } \ left ( { \ frac { 一 } { \ sqrt { x ^ { 二 } + 一 } } } \ right ) , & { \ mbox { for } } x > 零 \ end { cases } }={ \ begin { cases }-\ csc ^ { 影一 } \ left ( { \ sqrt { x ^ { 二 } + 一 } } \ right ) , & { \ mbox { for } } x < 零 \ \ \ csc ^ { 影一 } \ left ( { \ sqrt { x ^ { 二 } + 一 } } \ right ) , & { \ mbox { for } } x > 零 \ end { cases } } \ \ &={ \ begin { cases }-\ cos ^ { 影一 } \ left ( { \ frac { \ sqrt { x ^ { 二 } + 一 } } { x } } \ right )-\ pi , & { \ mbox { for } } x < 零 \ \ \ cos ^ { 影一 } \ left ( { \ frac { \ sqrt { x ^ { 二 } + 一 } } { x } } \ right ) , & { \ mbox { for } } x > 零 \ end { cases } }={ \ begin { cases }-{ \ frac { \ pi } { 二 } }-\ sin ^ { 影一 } \ left ( { \ frac { 一 } { \ sqrt { x ^ { 二 } + 一 } } } \ right ) , & { \ mbox { for } } x < 零 \ \ { \ frac { \ pi } { 二 } }-\ sin ^ { 影一 } \ left ( { \ frac { 一 } { \ sqrt { x ^ { 二 } + 一 } } } \ right ) , & { \ mbox { for } } x > 零 \ end { cases } } \ \ \ end { aligned } } $

===直角坐標系中===

佇咧直角坐標系當中，反餘切函數會當看做已知直線垂線斜率的趨角，但是有可能差一个負號。

===級數定義===

反餘切函數會當使用無窮級數定義：

: $ { \ begin { aligned } \ operatorname { arccot } z & { }={ \ frac { \ pi } { 二 } }-\ arctan z \ \ & { }={ \ frac { \ pi } { 二 } }-( z-{ \ frac { z ^ { 三 } } { 三 } } + { \ frac { z ^ { 五 } } { 五 } }-{ \ frac { z ^ { 七 } } { 七 } } + \ cdots ) \ \ & { }={ \ frac { \ pi } { 二 } }-\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n } z ^ { 二 n + 一 } } { 二 n + 一 } } ; \ qquad | z | \ leq 一 \ qquad z \ neq i ,-i \ end { aligned } } $

著 $ x > 零 $ 時予出反餘切函數的泰勒展開式為：

: $ \ operatorname { arccot } x={ \ frac { \ pi } { 二 } }-\ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { k } { \ frac { x ^ { 二 k + 一 } } { 二 k + 一 } }={ \ frac { \ pi } { 二 } }-x + { \ frac { x ^ { 三 } } { 三 } }-{ \ frac { x ^ { 五 } } { 五 } } + { \ frac { x ^ { 七 } } { 七 } }-\ cdots $

以上等式嘛會當直接用來表示取上細仝界角的反餘切函數。

嘛會當用做 $ z=\ infty $ 的洛朗級數來定義，對應 $ \ left | z \ right | > 一 $ 的情形：

: $ \ operatorname { arccot } z=\ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { k } { \ frac { z ^ {-( 二 k + 一 ) } } { 二 k + 一 } }={ \ frac { 一 } { z } }-{ \ frac { 一 } { 三 x ^ { 三 } } } + { \ frac { 一 } { 五 x ^ { 五 } } }-{ \ frac { 一 } { 七 x ^ { 七 } } } + { \ frac { 一 } { 九 x ^ { 九 } } }-\ cdots $

另外嘛有歐拉導出來的無窮級數：

: $ \ operatorname { arccot } ( z )=\ cot ^ { 影一 } ( z )=z \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 二 n 鋪二 ) ! ! } { ( 二 n 影一 ) ! ! \ left ( z ^ { 二 } + 一 \ right ) ^ { n } } } $

==性質==

反餘切函數滿足等式：

: $ \ operatorname { arccot } (-x )=\ pi-\ operatorname { arccot } x=一百八十 ^ { \ circ }-\ operatorname { arccot } x \ ! $

反餘切函數是一个遞減函數。

佇複變分析內底，反餘切函數咧做 $ x $ 等於零時是一个奇函數，就按呢滿足下跤等式：

: $ \ operatorname { arccot } (-x )=-\ operatorname { arccot } x \ qquad ( x \ neq 零 ) $

反餘切雖然有偌種定義的方式，毋過其在 $ x=零 $ 時值是仝款，為 $ { \ frac { \ pi } { 二 } } $（九十 °）。佇複變分析內底 $ x=零 $ 時無連紲倒極佮正極互相反數，顛倒反切若取上細的同界角講佇 $ x=零 $ 時連紲。

反餘切函數的微分導數為：

: $ { \ rm { arccot } }'x=-{ \ frac { 一 } { 一 + x ^ { 二 } } } $

: $ { \ rm { arccot } }''x={ \ frac { 二 x } { \ left ( 一 + x ^ { 二 } \ right ) ^ { 二 } \ , } } $

: $ { \ rm { arccot } }'''x=-{ \ frac { 八 x ^ { 二 } } { \ left ( 一 + x ^ { 二 } \ right ) ^ { 三 } \ , } } + { \ frac { 二 } { \ left ( 一 + x ^ { 二 } \ right ) ^ { 二 } \ , } } $

: $ { \ rm { arccot } }''''x={ \ frac { \ ; 四十八 x ^ { 三 } \ ; } { \ ; \ left ( 一 + x ^ { 二 } \ right ) ^ { 四 } \ , } }-{ \ frac { \ ; 二十四 x \ ; } { \ ; \ left ( 一 + x ^ { 二 } \ right ) ^ { 三 } \ , } } $

: $ \ cdots $

除了反正切，反餘切函數仝款會當表示梅欽類公式：

: $ { \ frac { \ pi } { 四 } }=四 \ operatorname { arccot } { 五 }-\ operatorname { arccot } { 兩百三十九 } $

==恆等式==

下跤恆等式攏適合'''函數二（取上小仝界角的反餘切函數）'''

: $ \ operatorname { arccot } x={ \ frac { \ pi } { 二 } }-\ arctan x $

: $ \ operatorname { arccot } (-x )=\ pi-\ operatorname { arccot } x \ ! $

: $ \ operatorname { arccot } { \ frac { 一 } { x } }={ \ frac { \ pi } { 二 } }-\ operatorname { arccot } x=\ arctan x , \ $ 若是 $ \ x > 零 $

: $ \ operatorname { arccot } { \ frac { 一 } { x } }={ \ frac { 三 \ pi } { 二 } }-\ operatorname { arccot } x=\ pi + \ arctan x , \ $ 若是 $ \ x < 零 $

===佮差===

: $ \ operatorname { arccot } x + \ operatorname { arccot } y=\ operatorname { arccot } { \ frac { xy 影一 } { x + y } } , x >-y $

: $ \ operatorname { arccot } x + \ operatorname { arccot } y=\ operatorname { arccot } { \ frac { xy 影一 } { x + y } } + \ pi , x <-y $

: $ \ arctan x + \ operatorname { arccot } x={ \ frac { \ pi } { 二 } } $

===積分===

: $ \ int \ operatorname{ arccot } { \ frac { x } { c } } \ dx=x \ operatorname { arccot } { \ frac { x } { c } } + { \ frac { c } { 二 } } \ ln ( c ^ { 二 } + x ^ { 二 } ) $

: $ \ int x \ operatorname { arccot } { \ frac { x } { c } } \ dx={ \ frac { c ^ { 二 } + x ^ { 二 } } { 二 } } \ operatorname { arccot } { \ frac { x } { c } } + { \ frac { cx } { 二 } } $

: $ \ int x ^ { 二 } \ operatorname { arccot } { \ frac { x } { c } } \ dx={ \ frac { x ^ { 三 } } { 三 } } \ operatorname { arccot } { \ frac { x } { c } } + { \ frac { cx ^ { 二 } } { 六 } }-{ \ frac { c ^ { 三 } } { 六 } } \ ln ( c ^ { 二 } + x ^ { 二 } ) $

: $ \ int x ^ { n } \ operatorname { arccot } { \ frac { x } { c } } \ dx={ \ frac { x ^ { n + 一 } } { n + 一 } } \ operatorname { arccot } { \ frac { x } { c } } + { \ frac { c } { n + 一 } } \ int { \ frac { x ^ { n + 一 } } { c ^ { 二 } + x ^ { 二 } } } \ dx , \ quad n \ neq 一 $

==參見==

* 反正切
* 正切
* 餘切

==註解==

'''無仝款的反餘切定義'''

==參考文獻==

==外部連結==

* 埃里克・韋斯坦因為 . Inverse Cotangent . MathWorld .
* 埃里克・韋斯坦因為 . Arccotangent . MathWorld .
* 埃里克・韋斯坦因為 . Machin-Like Formulas . MathWorld .

[[分類: 待校正]]

閣倒反切 - 修訂紀錄

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