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2025-08-22T23:56:39Z

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'''𥰔仔沙格定理'''（英語：Desargues's theorem）說明：佇射影空間內底，有六點 A , B , C , a , b , c。Aa , Bb , Cc 共點若而且唯若 AB∩ab , BC∩bc , CA∩ca 共線。

咧射幾何的對偶性來看，𥰔仔沙格定理是自對尪仔的。

==證明==

𥰔仔沙格定理會當表述如下：

: 若是 _ A _ . _ a _，_ B _ . _ b _，_ C _ . _ c _ 共點，著

: ( _ A _ . _ B _ ) ∩ ( _ a _ . _ b _ )，( _ A _ . _ C _ ) ∩ ( _ a _ . _ c _ )，( _ B _ . _ C _ ) ∩ ( _ b _ . _ c _ ) 共線。

利用向量積、數量積佮三重埔積，𥰔仔沙格定理嘛會當表述講：

若是

: $ \ langle A \ times a , B \ times b , C \ times c \ rangle=零 $

遐爾

: $ \ langle ( A \ times B ) \ times ( a \ times b ) , ( A \ times C ) \ times ( a \ times c ) , ( B \ times C ) \ times ( b \ times c ) \ rangle=零 . $

===第一个重新述===

向量三重埔埔

: $ X \ times ( Y \ times Z ) $

等於

: $ Y ( X \ cdot Z )-Z ( X \ cdot Y ) , $

咱便會當推出以下的公式 :

: $ ( X \ times Y ) \ times ( Z \ times W )=\ langle X , Y , W \ rangle Z-\ langle X , Y , Z \ rangle W . $

對這个公式內底，咱會當進一步推出以下的恆等式：

: $ \ langle U \ times V , W \ times X , Y \ times Z \ rangle=\ langle W , X , Z \ rangle \ langle U , V , Y \ rangle-\ langle W , X , Y \ rangle \ langle U , V , Z \ rangle . $

利用這个恆等式，𥰔仔沙格定理就會當重新講：

若是

: $ \ langle B , b , c \ rangle \ langle A , a , C \ rangle=\ langle B , b , C \ rangle \ langle A , a , c \ rangle $

遐爾

: $ \ langle A \ times C , a \ times c , b \ times c \ rangle \ langle A \ times B , a \ times b , B \ times C \ rangle=\ langle A \ times C , a \ times c , B \ times C \ rangle \ langle A \ times B , a \ times b , b \ times c \ rangle . $

===第二个重新述===

共第一个重述的後件閣應用面頂的恆等式，共三重埔交換，共每一个三重積中的向量進行循環置換，就是阮便得到第二个重新嘛：

若是

: $ \ langle A , a , c \ rangle \ langle b , B , C \ rangle=\ langle a , A , C \ rangle \ langle B , b , c \ rangle $

遐爾

: $ \ langle C , a , c \ rangle \ langle b , A , B \ rangle=\ langle c , A , C \ rangle \ langle B , a , b \ rangle . $

注意後件的左端會當對頭前件的左端通過變量代換 _ A _ → _ C _，_ B _ → _ A _，_ C _ → _ B _ 得著。後件的正爿嘛會當自頭前件的正爿通過變量代換 _ a _ → _ c _，_ b _ → _ a _，_ c _ → _ b _ 得著。

===第三个重新===

向量分析中的一个定理說明，兩个純量三重積的乘積等於以下矩陣的行列式：

: $ M _ { ij }=u _ { i } \ cdot v _ { j } , \ qquad \ langle u _ { 一 } , u _ { 二 } , u _ { 三 } \ rangle \ langle v _ { 一 } , v _ { 二 } , v _ { 三 } \ rangle=| M | . $

共這个定理應用佇第二个重新述，便得到第三个重新：

若是

: $ \ left | { \ begin { matrix } A \ cdot b & a \ cdot b & c \ cdot b \ \ A \ cdot B & a \ cdot B & c \ cdot B \ \ A \ cdot C & a \ cdot C & c \ cdot C \ end { matrix } } \ right |=\ left | { \ begin { matrix } a \ cdot B & A \ cdot B & C \ cdot B \ \ a \ cdot b & A \ cdot b & C \ cdot b \ \ a \ cdot c & A \ cdot c & C \ cdot c \ end { matrix } } \ right | $

遐爾

: $ \ left | { \ begin { matrix } C \ cdot b & a \ cdot b & c \ cdot b \ \ C \ cdot A & a \ cdot A & c \ cdot A \ \ C \ cdot B & a \ cdot B & c \ cdot B \ end { matrix } } \ right |=\ left | { \ begin { matrix } c \ cdot B & A \ cdot B & C \ cdot B \ \ c \ cdot a & A \ cdot a & C \ cdot a \ \ c \ cdot b & A \ cdot b & C \ cdot b \ end { matrix } } \ right | . $

===第四个重新===

共第三个重新的行列式展開，便得到第四个重新：

若是

: $ ( A \ cdot b ) ( a \ cdot B ) ( c \ cdot C ) + ( a \ cdot b ) ( c \ cdot B ) ( A \ cdot C ) + ( c \ cdot b ) ( A \ cdot B ) ( a \ cdot C ) $

: : $-( A \ cdot b ) ( c \ cdot B ) ( a \ cdot C )-( a \ cdot b ) ( A \ cdot B ) ( c \ cdot C )-( c \ cdot b ) ( a \ cdot B ) ( A \ cdot C ) $

: $=( a \ cdot B ) ( A \ cdot b ) ( C \ cdot c ) + ( A \ cdot B ) ( C \ cdot b ) ( a \ cdot c ) + ( C \ cdot B ) ( a \ cdot b ) ( A \ cdot c ) $

: $-( a \ cdot B ) ( C \ cdot b ) ( A \ cdot c )-( A \ cdot B ) ( a \ cdot b ) ( C \ cdot c )-( C \ cdot B ) ( A \ cdot b ) ( a \ cdot c ) $

遐爾

: $ ( C \ cdot b ) ( a \ cdot A ) ( c \ cdot B ) + ( a \ cdot b ) ( c \ cdot A ) ( C \ cdot B ) + ( c \ cdot b ) ( C \ cdot A ) ( a \ cdot B ) $

: : $-( C \ cdot b ) ( c \ cdot A ) ( a \ cdot B )-( a \ cdot b ) ( C \ cdot A ) ( c \ cdot B )-( c \ cdot b ) ( a \ cdot A ) ( C \ cdot B ) $

: $=( c \ cdot B ) ( A \ cdot a ) ( C \ cdot b ) + ( A \ cdot B ) ( C \ cdot a ) ( c \ cdot b ) + ( C \ cdot B ) ( c \ cdot a ) ( A \ cdot b ) $

: $-( c \ cdot B ) ( C \ cdot a ) ( A \ cdot b )-( A \ cdot B ) ( c \ cdot a ) ( C \ cdot b )-( C \ cdot B ) ( A \ cdot a ) ( c \ cdot b ) . $

===第五个重新述===

第四个重新述的兩个方程（前件佮後壁件）的兩爿的第一項佮第五項攏互相抵消，便得到第五个重述：

若是

: $ ( A \ cdot C ) ( B \ cdot c ) ( a \ cdot b ) + ( A \ cdot B ) ( C \ cdot a ) ( b \ cdot c ) $

: : $-( A \ cdot b ) ( B \ cdot c ) ( C \ cdot a )-( A \ cdot C ) ( B \ cdot a ) ( b \ cdot c ) $

: $=( A \ cdot B ) ( C \ cdot b ) ( a \ cdot c ) + ( A \ cdot c ) ( B \ cdot C ) ( a \ cdot b ) $

: : $-( A \ cdot c ) ( B \ cdot a ) ( C \ cdot b )-( A \ cdot b ) ( B \ cdot C ) ( a \ cdot c ) $

遐爾

: $ ( A \ cdot c ) ( B \ cdot C ) ( a \ cdot b ) + ( A \ cdot C ) ( B \ cdot a ) ( b \ cdot c ) $

: : $-( A \ cdot c ) ( B \ cdot a ) ( C \ cdot b )-( A \ cdot C ) ( B \ cdot c ) ( a \ cdot b ) $

: $=( A \ cdot B ) ( C \ cdot a ) ( b \ cdot c ) + ( A \ cdot b ) ( B \ cdot C ) ( a \ cdot c ) $

: : $-( A \ cdot b ) ( B \ cdot c ) ( C \ cdot a )-( A \ cdot B ) ( C \ cdot b ) ( a \ cdot c ) . $

===第六个重述===

佇第五个重新述的兩个方程之間有八个無仝的項；每一項項攏出現矣兩擺。共遮的項記做伙：

: $ t _ { 一 }=( A \ cdot C ) ( B \ cdot c ) ( a \ cdot b ) , $

: $ t _ { 二 }=( A \ cdot B ) ( C \ cdot a ) ( b \ cdot c ) , $

: $ t _ { 三 }=( A \ cdot b ) ( B \ cdot c ) ( C \ cdot a ) , $

: $ t _ { 四 }=( A \ cdot C ) ( B \ cdot a ) ( b \ cdot c ) , $

: $ t _ { 五 }=( A \ cdot B ) ( C \ cdot b ) ( a \ cdot c ) , $

: $ t _ { 六 }=( A \ cdot c ) ( B \ cdot C ) ( a \ cdot b ) , $

: $ t _ { 七 }=( A \ cdot c ) ( B \ cdot a ) ( C \ cdot b ) , $

: $ t _ { 八 }=( A \ cdot b ) ( B \ cdot C ) ( a \ cdot c ) . $

所以咱得著第六个重述：

若是

: $ t _ { 一 } + t _ { 二 }-t _ { 三 }-t _ { 四 }=t _ { 五 } + t _ { 六 }-t _ { 七 }-t _ { 八 } , $

遐爾

: $ t _ { 六 } + t _ { 四 }-t _ { 七 }-t _ { 一 }=t _ { 二 } + t _ { 八 }-t _ { 三 }-t _ { 五 } . $

===第七个重新述===

共前件的正爿的項徙到倒爿，閣共後件的倒爿的項徙到正爿，便得著：

若是

: $ t _ { 一 } + t _ { 二 }-t _ { 三 }-t _ { 四 }-t _ { 五 }-t _ { 六 } + t _ { 七 } + t _ { 八 }=零 , $

遐爾

: $ 零=t _ { 一 } + t _ { 二 }-t _ { 三 }-t _ { 四 }-t _ { 五 }-t _ { 六 } + t _ { 七 } + t _ { 八 } . $

遮會當看出，前件佮後件是仝款的，就按呢便證明矣𥰔仔沙格定理。

===𥰔仔沙格定理的引申===

𥰔仔沙格定理會當簡單描述𥰔仔沙格圖形 $ ABC-S-A'B'C'$ 彼个形體，$ A , B , C $ 和 $ A', B', C'$ 是三對應點，$ S $ 是三對應點連線的交點 .

𥰔仔沙格定理猶閣會當進行向高維空間的引申，其引申形式對應的𥰔仔沙格圖形為 : $ ABCD-S-A'B'C'D'$ , 抑是講 $ ABCDE-S-A'B'C'D'E'$ , 乃至閣較懸維數的𥰔仔沙格圖形 .

三維空間內底 $ ABCD-S-A'B'C'D'$ 形式的𥰔仔沙格定理上有實用的價值。這陣，$ ABCD $ 和 $ A'B'C'D'$ 著愛攏是四面體，抑是至少其中一个是四面體，另外一个為完全四點形；𪜶對應線的 ( 組合數 $ C _ { n + 一 } ^ { 二 } $ , $ n=三 $ , 共六个 ) 交點，原仔由 $ ABC-S-A'B'C'$ 情況下的共線，擴展做三維時的共面，抑是閣較一般意義落去 " 共超平面 " .

因為齊次坐標表示形式對𥰔仔沙格定理進行的解析證明是向高維空間做引申的時上簡明方便的證明方式 .

根據引申的𥰔仔沙格定理佮是齊次坐標的表示而定義的幾何變換：空間透射 ( stereohomology ) , 其定義涵起了理論圖形學中的中心投影，平行投影，平移，反射，位像等幾何變換，而且會當證明其變換矩陣佮矩陣計算理論中的初等矩陣實際上是等價的集合。該幾何變換的意義主要是講，圖形學理論中重要的幾何變換抑是投影變換的定義佮其緊數矩陣的確定會當通過獨立佇坐標系選擇的方式進行，閣較簡明佮有一般性意義 .

關於著 " 空間透射 stereohomology " 的較早的利用𥰔仔沙格定理的引申所作的定義，會當去參考 :
一 . 透視投影研究。華東理工大學學報（自然科學版）. 兩千 , vol . 二十六 , No . 二 : pp 兩百空一 ~ 兩百空五關於空間透射佮初等矩陣的對應關係的總結，會當去參考 :
二 . 初等矩陣的射影幾何意義佮應用。自然科學進展 . 兩千空五 , vol . 十五 , No . 九 : pp 一千一百十三分一千一百二十二上好是參考英文版的更新：https : / / arxiv . org / abs / 一千三百空七堵空九九八以及非正式發表的資料 :

* 中文的講義 : http : / / www . newsmth . net / att . php ? p . 五十尺四八九六一 . 五百八十九 . pdf
* 英文的詳細論證 : https : / / arxiv . org / abs / 一千三百空七刣空九九八

==參見==

* 布列安桑定理
* 帕斯卡定理
* 帕普斯定理

[[分類: 待校正]]

𥰔仔沙格定理 - 修訂紀錄

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