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2025-08-22T07:10:53Z

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佇咧數學中，'''斯梅爾 A 公理'''（Smale's axiom A）確定一類相對容易理解的動力系統。一个出名的例是斯梅爾馬蹄鐵映射。術語「A 公理」是史蒂芬・斯梅爾起的。

==定義==

設 M 是金滑流形，$ f : M \ to M $ 是 M 到家己的微分同胚。以下兩个條件敆做伙叫做 A 公理：

一 . $ f $ 的非遊走集 $ \ Omega ( f ) $ 是雙曲的集倚來。
二 . $ f $ 的周期點佇 $ \ Omega ( f ) $ 中膏膏。

滿足 A 公理的微分同胚稱做'''A 公理微分同胚'''。若是 M 是二維曲面，是非遊走集的雙曲性蘊含了周期點的濟密性，但對三維以上的流形是無成立。就算講按呢，A 公理微分同胚有時猶原予人稱做'''雙曲微分同胚'''，因為乎 M 上發生趣味的動力學的部分，即 $ \ Omega ( f ) $，表現出雙曲的行為。

A 公理微分同胚是不而而而已斯-斯梅爾系統的推廣，後者有閣較濟的限制（有限的周期點，穩定、無穩定子流形的橫截性）。斯梅爾馬蹄鐵影射是有無限周期點佮正的楦闊莽莽的 A 公理微分同胚。

==性質==

所有阿諾索夫微分同胚都滿足 A 公理。對這種情形，規个流形 M 就是雙曲的（就算講猶毋知影通𨑨迌集 $ \ Omega ( f ) $ 敢有結構變規个 M）。

Rufus Bowen 證明矣 A 公理微分同胚的非遊人集 $ \ Omega ( f ) $ 都有馬爾可夫劃來分。

真𨑨迌集中的週期點會膏膏性蘊有了局部極大性：存在 $ \ Omega ( f ) $ 的開厝邊 U 予得

$ $
\ bigcap _ { n \ in \ mathbb { Z } } { f ^ { n } ( U ) }=\ Omega ( f )
$ $

==ω 穩定性==

A 公理系統有一个足重要的性質：對微小擾動的結構穩定性。就是講乎，嘿系統施加一微細的擾動，擾動了後的系統佮未擾動的系統之間有一對一的楦闊對應，共擾動了系統的軌道變做無擾動系統的軌道。這个性質的重要性佇咧講，伊表明矣 A 公理系統毋是特例，佇某一種意義上是「有普遍的」。

閣較精確咧講，著 $ f $ 的連紲會當微微仔擾動 $ f _ { \ varepsilon } $，非遊趖集由兩个幼路的 $ f _ { \ varepsilon } $-不變子集 $ \ Omega _ { 一 } , \ Omega _ { 二 } $ 組成。頭一个子集同胚於 $ \ Omega ( f ) $，同胚映射 h 滿足：

$ $
f _ { \ varepsilon } \ circ h ( x )=h \ circ f ( x ) , \ quad \ forall x \ in \ Omega ( f )
$ $

若是 $ \ Omega _ { 二 } $ 是空集，著 h 是到 $ \ Omega ( f _ { \ varepsilon } ) $ 原仔滿射。若對任意擾動 $ f _ { \ varepsilon } $ 攏是這種情形稱呼 f 是'''ω 穩定'''的。微分同胚 $ f $ 是 ω 穩定的若而且唯一若 $ f $ 滿足 A 公理佮'''沒有環條件'''（軌道一旦離開某一个不變子集就不再倒轉來這個子集）。

==參考資料==

* Abraham and Marsden , _ Foundations of Mechanics _ ( 一千九百七十八 ) Benjamin / Cummings Publishing , _ see Section 七瀨五 _
* Ruelle , David ( 一千九百七十八 ) . _ Thermodynamic formalism . The mathematical structures of classical equilibrium _ . Encyclopedia of Mathematics and its Applications .'''五'''. Reading , Massachusetts : Addison-Wesley . ISBN 空九二百空一四一鼻三千五百空四鼻三 . Zbl 四百空一鼻二八空一六 .
* Ruelle , David ( 一千九百八十九 ) . _ Chaotic evolution and strange attractors . The statistical analysis of time series for deterministic nonlinear systems _ . Lezioni Lincee . Notes prepared by Stefano Isola . Cambridge University Press . ISBN 空九五百二十一鋪三鋪六千八百三十知八 . Zbl 六百八十三石五八空空一 .

[[分類: 待校正]]

A公理 - 修訂紀錄

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