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2025-08-23T07:58:49Z

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'''M / M / 一排隊模型'''（M / M / 一 model）是一个單一服務台（single-server）的（排隊模型），會當用作模擬袂少系統的運作。

根據開恩特羅符號必須愛有下列的條件：

* 到時間跋瓦松過程（Poisson process）；
* 服務時間是指數分佈（exponentially distributed）；
* 干焦一服務台（server），遵循先到先服務規則
* 隊列長度無限制
* 會當加入隊列的人數為無限

==分析==

這種模型是一種出世-死亡的過程，現機的過程每一个狀態代表模型中人數的數目。因為模型的隊列長度無限而且參與人數亦無限，故此狀態數目亦為無限。譬如講狀態零表示模型無咧用、狀態一表示模型有一人咧接受服務、狀態二表示模型有二人（一人當咧接受服務、一人咧等候），遮推捒按呢。
在此模型中，出生率（即加入隊列的速率）λ 佇各狀態內底攏仝款，死亡率（得欲完成服務離開隊列的速率）μ 抑是各狀態當中相仝（除了狀態零，因為其實無可能有人離開隊列）。
故此，佇任何狀態之下，干焦兩款代誌可能發生：

* 有人加入隊列。若模型咧狀態 _ k _，伊會以速率 λ 進入狀態 _ k _ + 一
* 有人離開隊列。若模型咧狀態 _ k _（_ k _ 無等於零），伊會以速率 μ 進入狀態 _ k _ − 由此可見，模型的隱定條件為啥物 λ < μ。所以若死亡率若細漢出生率，則隊列中的平均人數為無限大，故此這種系統無平衡點。

現此時模型中有幾項數值定予人測量，比如講：

* 一个人佇系統當中的平均停跤的時間
* 一人咧接受服務前平均等候時間
* 規个系統內底的平均人數
* 等候隊列的平均人數
* 單位時間內系統完成服務人數，即服務速度

==穩定狀態下的公式==

緩衝效用 $ \ scriptstyle \ rho \ ,=\ , { \ tfrac { \ lambda } { \ mu } } . $ 表示服務被占用的平均概率平穩過程佇咧狀態 _ i _（「 i」個總人數，包括當咧服務的）的機率為

: $ { \ mbox { Prob } } ( q=i )=\ pi _ { i }=( 一-\ rho ) \ rho ^ { i } . \ , $

由此，會當予出各測量數值的公式：

* 規个系統的平均人數 _ N _：

: : $ { \ overline { N } }={ \ frac { \ rho } { 一-\ rho } } $，而且其方差為

: $ \ sigma _ { N } ^ { 二 }={ \ frac { \ rho } { ( 一-\ rho ) ^ { 二 } } } $ .

* 一單位時間內系統完成服務的人數：

: : $ { \ overline { N } } _ { S }=\ rho \ mu=\ lambda $

* 佇隊列中等候服務的人數：

: : $ { \ overline { N } } _ { Q }={ \ frac { \ rho ^ { 二 } } { 一-\ rho } } $

* 一个人佇系統內底的平均停跤（等候＋接受服務）時間：

: : $ T={ \ frac { 一 } { \ mu-\ lambda } } . $

* 一人的平均等候時間：

: : $ W={ \ frac { { \ overline { N } } _ { Q } } { \ lambda } }=T-{ \ overline { x } }=T-{ \ frac { 一 } { \ mu } }={ \ frac { \ rho } { \ mu-\ lambda } } $

==例==

可用 M / M / 一模型的例濟濟，比如講干焦有一个員工的郵局，干焦一隊列。人客入來，排隊、接受服務、離開。人客若入來的數目符合泊松過程，而且服務時間是指數分佈，著會當用 M / M / 一模擬，並算出平均隊列長度、無仝聽候時間的機率等。

M / M / 一般會當化做 M / M / n 模型，使用的時接受服務的人數為大於一。歷史上，M / M / n 模型代先予人用來模擬電話系統，因為一个佇丹麥兄本哈根電話局做工課的程師 Erlang 發現人客敲電話的速率符合泊松過程，而且通話的時間是指數分佈，所以佔用通訊線路的數目佮等待接線的人數符合 M / M / n 模型。

==關聯的項目==

* 排隊理論
* 馬爾科夫鏈

[[分類: 待校正]]

M/M/一 - 修訂紀錄

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