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MV-代數 - 修訂紀錄
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<p><b>新頁面</b></p><div>佇純數學分支抽象代數中，'''MV-代數'''（多值代數）是帶領域二箍運算 $ \ oplus $、一箍運算 $ \ neg $ 佮常量 $ 零 $ 滿足特定公理的代數結構。多值邏輯是 MV-代數的模型。<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
設 _ A _ 是一个集合。'''MV-代數'''是代數結構，帶有型 $ \ \ langle 二 , 一 , 零 \ rangle $ 的標識 ( signature ) $ \ left \ langle A , \ oplus , \ lnot , 零 \ right \ rangle , $，伊滿足如下恆等式：<br />
<br />
* $ ( x \ oplus y ) \ oplus z=x \ oplus ( y \ oplus z ) $ ,<br />
* $ x \ oplus 零=x $ ,<br />
* $ x \ oplus y=y \ oplus x $ ,<br />
* $ \ lnot \ lnot x=x $ ,<br />
* $ x \ oplus \ lnot 零=\ lnot 零 $ ,<br />
* $ \ \ lnot ( \ lnot x \ oplus y ) \ oplus y=\ lnot ( \ lnot y \ oplus x ) \ oplus x $ .<br />
<br />
備註：通過前三个公理 $ \ left \ langle A , \ oplus , 零 \ right \ rangle $ 是交換屘囝半陣。<br />
<br />
抑是作為替代，MV-代數是一个賰的格 $ A=\ left \ langle L , \ wedge , \ vee , \ otimes , \ rightarrow , 零 , 一 \ right \ rangle $ 滿足額外恆等式<br />
<br />
<br />
: $ \ forall \ x , y \ in A : x \ vee y=( x \ rightarrow y ) \ rightarrow y $。<br />
<br />
Hájek ( 一千九百九十八 ) 來講這兩个公式的等同。<br />
<br />
==例==<br />
<br />
一个簡單的例是 $ A=[零 , 一] \ , $，帶閣有定義做 $ x \ oplus y=min ( x + y , 一 ) $ 和 $ \ lnot x=一-x $ 的運算。<br />
<br />
==討論==<br />
<br />
佇加值邏輯內底，予定一个 MV-代數 A，一个 A-值就是對命題演算中公式的集合到 MV-代數的函數。若對著所有 A-共這个函數共一个公式影射著一（抑是 $ \ lnot $ 零）， 則這个公式是一个 A-重言式。因此對無窮值的邏輯（譬如講霧嗄嗄、武卡謝維奇邏輯）， 阮設 [零 , 一] 是 A 的下層集合來得著 [零 , 一]-才值和 [零 , 一]-重言式（定定就是講號做有一个重言式）。<br />
<br />
Chang 發明 MV-代數來研究波蘭數學家揚 ・ 武卡謝維奇（Jan Łukasiewicz）佇一九二空年介入的濟值邏輯。Chang 的完備定理 ( 一千九百五十八 , 一千九百五十九 ) 彼个聲稱任何在 [零 , 一] 區間成立的 MV-代數等式嘛佇所有的 MV-代數中成立。通過這个定理，證明無窮值的武卡謝維奇邏輯會當予 MV-代數所刻畫。後來仝款適用佇模糊邏輯。這類似 { 零 , 一 } 成立的布爾代數等式佇任何布爾代數中嘛成立，布爾代數就按呢刻畫標準二值邏輯。<br />
<br />
==引用==<br />
<br />
* Chang , C . C . ( 一千九百五十八 ) " Algebraic analysis of many-valued logics , " _ Transactions of the American Mathematical Society 八十八 _ : 四百七十六交九十 .<br />
*------( 一千九百五十九 ) " A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms , " _ Transactions of the American Mathematical Society 八十八 _ : 七十四抹八十 .<br />
* Cignoli , R . L . O . , D'Ottaviano , I , M . L . , Mundici , D . , 兩千 . _ Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning _ . Kluwer .<br />
* Di Nola A . , Lettieri A . ( 一千九百九十三 ) " Equational characterization of all varieties of MV-algebras , " _ Journal of Algebra 二百二十一 _ : 一百二十三孵三十一 .<br />
* Hájek , Petr ( 一千九百九十八 ) _ Metamathematics of Fuzzy Logic _ . Kluwer .<br />
<br />
==外部連結==<br />
<br />
* Stanford Encyclopedia of Philosophy：" Many-valued logic "--by Siegfried Gottwald .<br />
<br />
==參見==<br />
<br />
* 布爾代數<br />
* 武卡謝維奇邏輯<br />
<br />
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