阿諾索夫微分同胚

佇咧數學中，尤其是動力系統參幾欲按怎拓捕中，流形 M 上的阿諾索夫映射（Anosov map）是 M 到家己的一種映射。阿諾索夫系統是 A 公理系統的特例。

阿諾索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）由德米的特里 ・ 維克托羅維奇 ・ 阿諾索夫引進，伊證明矣這款微分同胚的行為佇某一種意義上是普遍的。

概述

有三个相牽連但是有分別的定義：

• 若是 M 上的會當微微仔影射 f 佇咧切樹頂懸有雙曲結構，則稱 f 是一个阿諾索夫映射。例有伯仔拍拚映射，佮阿諾爾德貓演射。
• 若是這个映射抑是一个微分同胚，則稱做阿諾索夫微分同胚。
• 啊若流形頂懸的一个流共切欉分做三个無變子欉，其中一个子欉呈指數衰減，一个指數增大，第三个無增大嘛無減細，則這流稱為阿諾索夫流。

阿諾索夫證明矣阿諾索夫微分同胚是結構穩定，並且組成全體的映射（流）的開子集（$ { \ mathcal { C } } ^ { 一 } $ 拓撲）。

毋是每一个流形上攏會使有阿諾索夫微分同胚；比如講，球面上就無這款的微分同胚。容允有阿諾索夫微分同胚的上簡單的絚流形是環面：頂懸有所謂的線性阿諾索夫微分同胚，這是無模一特徵值的同構。會當證明環面上其他的阿諾索夫微分同胚攏佮這種同胚拓加車。

對容允有阿諾索夫微分同胚的流形進行分類是非常困難的問題，截到二空一二年猶原無解決。

另外咧，嘛無清楚敢是逐个 $ { \ mathcal { C } } ^ { 一 } $ 而且保持體積的阿諾索夫微分同胚攏是遍歷的。阿諾索夫證明矣共 $ { \ mathcal { C } } ^ { 一 } $ 換做 $ { \ mathcal { C } } ^ { 二 } $ 的條件下跤是成立的。

黎曼曲面（的切欉）上的阿諾索夫流

負曲率黎曼曲面的切密密上的阿諾索夫流。這流會當理解為雙曲幾何的龐加萊半平面模型的切欉頂的流。負曲率黎曼曲面會當用福克斯模型來定義，即時佇半平面佮福克斯群的商。設 $ \ mathbb { H } $ 為頂半平面，$ \ Gamma $ 為福克斯群，$ M=\ mathbb { H } / \ Gamma $ 為負曲率黎曼曲面，$ T ^ { 一 } M $ 為流形 M 伊的單位共切起來的部份，$ T ^ { 一 } \ mathbb { H } $ 是 $ \ mathbb { H } $ 的單位向量的切欉。注意曲面上單位向量的欉是復直線欉的主欉。

李向量場

注意 $ T ^ { 一 } \ mathbb { H } $ 仝款構佇李群 $ { \ text { PSL } } ( 二 , \ mathbb { R } ) $。這个群是頂半平面的保向等距仝構組成的群。$ { \ text { PSL } } ( 二 , \ mathbb { R } ) $ 的李代數是 $ { \ mathfrak { sl } } ( 二 , \ mathbb { R } ) $，由以下矩陣表示

$ $ J={ \ begin { pmatrix } 二分之一 & 零 \ \ 零 &-二分之一 \ end { pmatrix } } \ quad X={ \ begin { pmatrix } 零 & 一 \ \ 零 & 零 \ end { pmatrix } } \ quad Y={ \ begin { pmatrix } 零 & 零 \ \ 一 & 零 \ end { pmatrix } } $ $

$ $ [J , X]=X , \ quad [J , Y]=-Y , \ quad [X , Y]=二 J $ $

指數映射

$ $ g _ { t }=\ exp { tJ }={ \ begin { pmatrix } e ^ { t / 二 } & 零 \ \ 零 & e ^ {-t / 二 } \ end { pmatrix } } \ quad h _ { t } ^ { * }=\ exp { tX }={ \ begin { pmatrix } 一 & t \ \ 零 & 一 \ end { pmatrix } } \ quad h _ { t }=\ exp { tY }={ \ begin { pmatrix } 一 & 零 \ \ t & 一 \ end { pmatrix } } $ $

定義矣流形 $ T ^ { 一 } \ mathbb { H }={ \ text { PSL } } ( 二 , \ mathbb { R } ) $ 上的正無變流，而且 $ T ^ { 一 } M $ 佮這个類似。定義 $ P=T ^ { 一 } \ mathbb { H } , Q=T ^ { 一 } M $，遮的定義矣 P 和 Q 大量的向量場。

阿諾索夫流

$ g _ { t } $ 是 P 和 Q 掠著地流。根據定義李向量場佇群元素的作用之下是倒不變的，會當得著這个場佇咧 $ g _ { t } $ 下是倒不變的。嘛會使講，空間 $ TP $ 和 $ TQ $ 分做三个一維空間，抑是樹頭，每一个攏佇咧測地流作用下無變。最後注意著其中有一个子欉的向量場呈指數擴大，另外一个無變，第三个呈指數縮小。

精確咧講，切叢 $ TQ $ 會當寫做直和

$ $ TQ=E ^ { + } \ oplus E ^ { 零 } \ oplus E ^ {-} $ $

遮的空間咧測地流的作用之下無變；即，佇群元素 $ g=g _ { t } $ 的作用之下無變。

較無仝款 q 處 $ T _ { q } Q $ 彼向量的長度，這需要有度量。$ T _ { e } P={ \ mathfrak { sl } } ( 二 , \ mathbb { R } ) $ 上的任何內積攏會當擴張成 P 最的左不變黎曼度量，會得著這个 Q 最的黎曼度量。向量 $ v \ in E _ { q } ^ { + } $ 的長度佇咧 $ g _ { t } $ 的作用人指數增大。向量 $ v \ in E _ { q } ^ {-} $ 的長度佇咧 $ g _ { t } $ 的作用之下指數衰減。$ E _ { q } ^ { 零 } $ 中的向量不變。測地流是無變的

$ $ g _ { s } g _ { t }=g _ { t } g _ { s }=g _ { s + t } $ $

但是另外兩个分別是欲衰減佮增大的：

$ $ g _ { s } h _ { t } ^ { * }=h _ { t \ exp { (-s ) } } ^ { * } g _ { s } $ $

$ $ g _ { t } h _ { t }=h _ { t \ exp { s } } g _ { s } $ $

其中 $ E _ { q } ^ { + } $ 中的切向量由曲線 $ h _ { t } $ 佇咧 $ t=零 $ 處的導數予出。

阿諾索夫流的幾何解說

當做用佇頂懸平面的點 $ z=i $ 時，$ g _ { t } $ 著應了頂半平面的一條過點 $ z=i $ 的測地線。這个作用就是 $ { \ text { SL } } ( 二 , \ mathbb { R } ) $ 佇頂懸的標準無比烏斯變換，所以乎

$ $ g _ { t } \ cdot i={ \ begin { pmatrix } \ exp { ( t / 二 ) } & 零 \ \ 零 & \ exp { (-t / 二 ) } \ end { pmatrix } } \ cdot i=i \ exp { t } $ $

一般測地線

$ $ { \ begin { pmatrix } a & b \ \ c & d \ end { pmatrix } } \ cdot i \ exp { t }={ \ frac { ai \ exp { t } + b } { ci \ exp { t } + d } } $ $

式當中 $ a , b , c , d $ 是實數，而且 $ ad-bc=一 $。曲線 $ h _ { t } ^ { * } $ 佮 $ h _ { t } $ 叫做極限圓。極限圓對應該極限球面的法向量佇頂半平面的運動。

另見

• 不要爾斯-斯梅爾系統
• 偽阿諾索夫映射

參考資料

• Hazewinkel , Michiel , ed . ( 兩千空一 ) [一千九百九十四] , " Y-system , U-system , C-system " , _ Encyclopedia of Mathematics _ , Springer Science + Business Media B . V . / Kluwer Academic Publishers , ISBN 九百七十八孵一一鋪五千六百空八鋪十跡四
• Anthony Manning , _ Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature _ , ( 一千九百九十一 ) , appearing as Chapter 三 in _ Ergodic Theory , Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces _ , Tim Bedford , Michael Keane and Caroline Series , Eds . Oxford University Press , Oxford ( 一千九百九十一 ) . ISBN 空鋪十九石八十五五三千三百九十-X _ ( Provides an expository introduction to the Anosov flow on _ SL ( 二 ,R) . )
• _ This article incorporates material from Anosov diffeomorphism on PlanetMath , which is licensed under the Creative Commons Attribution / Share-Alike License . _
• Toshikazu Sunada ( 砂田利一 ) , _ Magnetic flows on a Riemann surface _ , Proc . KAIST Math . Workshop ( 一千九百九十三 ) , 九十三–一百空八 .