拉普拉斯-龍格-冷次向量

佇這篇文章內底，向量佮純量分別用粗體佮趨體顯示。比如講，位置向量通常用 $ \ mathbf { r } \ , \ ! $ 表示；毋過其大細則用 $ r \ , \ ! $ 來表示。

佇古典力學佇，拉普拉斯-龍格-冷次向量（簡稱做LRL 向量）主要是欲來講，當一个物體環踅咧另外一个物體運動的時，軌道的形佮取向。典型的例是行星的環境踅著日頭公轉。佇一个物理系統內底，假使兩个物體以萬有引力交互作用，著 LRL 向量必定是一个運動常數，不管是佇軌道的任何位置，計算出來的 LRL 向量攏仝款；也就是講，LRL 向量是一个保守量。閣較廣義地，咧克卜咧問題內底，因為兩个物體以連心力交互作用，煞連心力遵守平方反比定律，所以乎，LRL 向量是一个保守量。

氫原子是由兩个紮電粒子構成的。這兩个帶電粒仔以遵守庫侖定律的靜電力互相作用．靜電力是一个標準的平方反比連心力。所以乎，氫原子內底的微觀運動是一个克卜勒問題。咧量彼學初期，薛丁格閣咧思索伊的薛丁格方式的時陣，沃夫岡 ・ 包立使用 LRL 向量，關鍵性地推導出氫原子的發射光譜。這結果予物理學家足大的信心，量仔力學理論是正確的。

佇古典力學佮量仔力學，因為物理系統的某一種對稱性，會產生一个抑是濟个對應的保守值。LRL 向量嘛無例外。可是，伊相對應的一个對稱性足特別的；佇咧數學，克卜勒問題等等的價數佇一粒自由地移動佇四維空間的三維球面；所以乎，規个問題牽涉著四維空間的某一種旋轉對稱。

拉普拉斯-龍格-冷次向量是因為皮埃爾-西蒙 ・ 拉普拉斯、卡爾 ・ 龍格佮威廉 ・ 冷次號名。伊閣叫做拉普拉斯向量，龍格-冷次向量，抑是冷次向量。趣味的是，LRL 向量並毋是這三位先生發現的！這向量捌予人重複發現過幾若改。伊等價於天體力學中無因次的離心率向量。發展到今，佇物理學內底，有真濟各種各樣的 LRL 向量的推廣定義；牽涉著狹義相對論，抑是電磁場，甚至於無仝類型的連心力。

概論

佇一个物理系統內底，在任意保守的連心力的作用下（參閱保守力）， 一粒仔的運動，攏會有至少四个運動的常數；能量佮角的動量 $ \ mathbf { L } $ 三个分量攏為運動常數。粒子的軌道予人限制佇一个平面。粒仔的動量 $ \ mathbf { p } $ 佮對力中心點的位置到粒子位置的位徙 $ \ mathbf { r } $（參閱圖一）。 粒子的運動平面垂直於角動量 $ \ mathbf { L } $。用方程式表示，

$ \ mathbf { r } \ cdot \ mathbf { L }=零 $。

LRL 向量 $ \ mathbf { A } $，肯定共包括著粒子的運動平面。可是，干焦當連心力遵守平方反比定律的時，$ \ mathbf { A } $ 才是常數向量。對別種連心力，$ \ mathbf { A } $ 毋是常數向量，其大小佮方向攏會改變。假若是連心力近來若像地遵守平方反比定律，著 $ \ mathbf { A } $ 的大細近來親像是常算，而方向會沓沓仔振動。對所有的連心力，會當定義一个廣義 LRL 向量，猶毋過，這廣義向量通常並無解析，假若有，嘛會是一个足複雜的函數。

歷史

佇重要的克卜勒問題中，LRL 向量 $ \ mathbf { A } $ 是一个運動常數，時常用來描述天文軌道，譬如講行星的運動。毋過，物理學家對伊閣無熟似，這真有可能就是因為佮動量佮動量比起來，伊的物理內涵較歹去予直覺地理解。所以，佇咧過去三个世紀內面，伊捌予人重複發現過足濟改。一七一空年，佇一个無出名的義大利學刊裡，雅各布 ・ 赫爾曼最先發表了關於著 LRL 向量的論文。佇咧推捒一个鐵枝路方程式的過程，伊計算出 LRL 向量的大細，$ A $ 是保守的；並且推導出這个案例佮雞卵行軌道離心率的關係。較等咧，赫爾曼把這結果共講約翰 ・ 白努利，伊的恩師。白努利閣較進一步的推導出 LRL 向量的方向。按呢乎，LRL 向量去得著伊的現代的形式。所以乎，無疑慮的，LRL 向量是赫爾曼和白努利共同發現的。

佇彼个世紀尾仔，皮埃爾-西蒙 ・ 拉普拉斯閣重新發現講 LRL 向量的保守性；小可無仝款，伊的導引使用的是分析方法，毋是幾何方法。十九世紀中葉，威廉 ・ 哈密頓推導出全等的離心率向量。伊用離心率向量來證明，平方反比連心力作用之下，速端曲線顯示出，粒仔動量向量的頭殼呈圓形徙動（參閱圖三）。 二十世紀初，約西亞 ・ 吉布斯，應用向量分析，推導出仝款的向量。後來，卡爾 ・ 龍格將吉布斯的導引，納入家己所寫的一本廣受歡迎的，關於著向量的，德文教科書內底，成做其中的一个例題。一九二四年，威廉 ・ 冷次發表了一篇關於氫原子的舊量子論的論文。佇這篇論文中，伊引用龍格所寫的教科書的例題為參考。一九二六年，沃爾夫岡 ・ 包立用 LRL 向量佮矩陣力學，毋是薛丁格方式，來推導氫原子的光譜。這傑作說服了大多數物理學家，予𪜶感覺量仔力學理論是正確的。

數學定義

平方反比連心力 $ \ mathbf { F } ( r ) $ 會當表達為

$ \ mathbf { F } ( r )=-{ \ frac { k } { r ^ { 二 } } } \ mathbf { \ hat { r } } $；

其中，$ k $ 是比例常數，$ \ mathbf { \ hat { r } }={ \ frac { \ mathbf { r } } { r } } $ 是單位向量，$ \ mathbf { r } $ 是粒仔的位置向量，$ r $ 是 $ \ mathbf { r } $ 的大細。

感受著此力的作用，一粒仔的鐵枝路運動，其實 LRL 向量的數學定義方程式為

$ \ mathbf { A }=\ mathbf { p } \ times \ mathbf { L }-mk \ mathbf { \ hat { r } } $；

其中，$ m $ 是粒子的質量，$ \ mathbf { p } $ 是動量，$ \ mathbf { L }=\ mathbf { r } \ times \ mathbf { p } $ 是角動量。

因為平方反比連心力為著保守力，能量 $ E={ \ frac { p ^ { 二 } } { 二 m } }-{ \ frac { k } { r } } $ 是運動常數：

$ { \ frac { \ mathrm { d } E } { \ mathrm { d } t } }={ \ frac { p } { m } } { \ dot { p } } + { \ frac { k } { r ^ { 二 } } } { \ dot { r } }=零 $。

再者，角動量 $ \ mathbf { L } $ 嘛是保守的，會當決定粒仔徙動平面的號做。因為乎 $ \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L } $ 佮 $ \ mathbf { r } $ 攏垂直於 $ \ mathbf { L } $，所以乎，LRL 向量 $ \ mathbf { A } $ 垂直於角動量；$ \ mathbf { A } $ 包含著鐵枝仔路的平面。

這个單獨粒子的 LRL 向量定義，嘛會當延伸甲像克卜勒問題一類的二體問題，只要設定質量 $ m $ 為兩个物體的約化質量，設定位置向量 $ \ mathbf { r } $ 為兩个物體之間的相對位置向量。

仝款的運動定數會當有足濟種無仝款的表述．上捷看的一種牽涉著離心率向量。定義離心率向量$ \ mathbf { e } $ 為 LRL 向量佮 $ mk $ 的除商：

$ \ mathbf { e }={ \ frac { \ mathbf { A } } { mk } }={ \ frac { 一 } { mk } } ( \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L } )-\ mathbf { \ hat { r } } $。

克卜勒軌道導引

克卜勒問題的運動軌道，其形體佮取向，會用得 LRL 向量決定。$ \ mathbf { A } $ 佮 $ \ mathbf { r } $ 內積為咱的

$ \ mathbf { A } \ cdot \ mathbf { r }=Ar \ cos \ theta=\ mathbf { r } \ cdot \ left ( \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L } \ right )-mkr $；

其中，$ \ theta $ 為 $ \ mathbf { A } $ 佮 $ \ mathbf { r } $ 之間的角色。

置換其三重埔積，

$ \ mathbf { r } \ cdot \ left ( \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L } \ right )=\ mathbf { L } \ cdot \ left ( \ mathbf { r } \ times \ mathbf { p } \ right )=\ mathbf { L } \ cdot \ mathbf { L }=L ^ { 二 } $。

所以乎，

$ Ar \ cos \ theta=L ^ { 二 }-mkr $。

編排做圓錐曲線的方程式形式：

$ { \ frac { 一 } { r } }={ \ frac { mk } { L ^ { 二 } } } \ left ( 一 + { \ frac { A } { mk } } \ cos \ theta \ right ) $。

離心率 $ e $ 為

$ e={ \ frac { A } { mk } }={ \ frac { \ left | \ mathbf { A } \ right | } { mk } } $。

克卜勒軌道佮能量的關係會當由 LRL 向量推導出。$ \ mathbf { A } $ 佮家己的內積為

$ { \ begin { aligned } \ mathbf { A } \ cdot \ mathbf { A } &=( \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L }-mk \ mathbf { \ hat { r } } ) \ cdot ( \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L }-mk \ mathbf { \ hat { r } } ) \ \ &=p ^ { 二 } L ^ { 二 } + m ^ { 二 } k ^ { 二 } 鋪二 mk { \ hat { \ mathbf { r } } } \ cdot ( \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L } ) \ \ &=\ left ( 二 mE + { \ frac { 二 mk } { r } } \ right ) L ^ { 二 } + m ^ { 二 } k ^ { 二 }-{ \ frac { 二 mk } { r } } L ^ { 二 } \ \ \ end { aligned } } $。

所以乎，

$ A ^ { 二 }=m ^ { 二 } k ^ { 二 } + 二 mEL ^ { 二 } $。

小可仔編排，離心率的平方 $ e ^ { 二 } $ 是能量 $ E $ 的函數：

$ e ^ { 二 }=一 + { \ frac { 二 L ^ { 二 } } { mk ^ { 二 } } } E $。

假若是能量 $ E $ 是負值的（束縛鐵枝路）， 是離心率較細一，這个軌道是雞卵行的軌道。反倒轉來，假若能量是正值的（非束縛鐵枝路，閣叫做散射軌道）是離心率大於一，這軌道是雙曲線軌道。最後咧，假使使量等於零，是離心率就等於一，這軌道是拋物線軌道。對所有的狀況，LRL 向量佮圓錐曲線的對稱軸平行，而且對力中心點指向近圓拱點。

圓形的速端曲線

假使一粒子咧做軌道運動。其速度向量的物理行為會當用速端曲線顯示出來，動量是速度乘以質量。所以乎，速端曲線也會當顯示出動量的物理行為。平方反比連心力作用之下，速端曲線（圖三）顯示出，粒仔的動量向量的頭殼呈圓形徙動；這事實會用得 LRL 向量 $ \ mathbf { A } $ 佮角動量 $ \ mathbf { L } $ 的保守性來證明。計算 $ \ mathbf { L } $ 佮 $ \ mathbf { A } $ 的叉仔積：

$ L ^ { 二 } \ mathbf { p }=\ mathbf { L } \ times \ mathbf { A }-mk { \ hat { \ mathbf { r } } } \ times \ mathbf { L } $。

設定 xyz 參考系的圓點佇力中心點，$ \ mathbf { L } $ 佮 z-軸同方向，x-軸佮半長軸仝軸。著

$ p _ { x } ^ { 二 } + \ left ( p _ { y }-A / L \ right ) ^ { 二 }=\ left ( mk / L \ right ) ^ { 二 } $。

嘛會使講，動量 $ \ mathbf { p } $ 的頭殼予人限制佇咧一个圓箍仔；圓箍仔的半徑為 $ mk / L $，圓心為 $ ( 零 , \ A / L ) $。如圖三所示，圓形的動量速端曲線攏無疑問地顯示出克卜勒問題的對稱性。

夾角 $ \ eta $ 的一爿是點二佮圓心的連線，另外一爿是負 py-軸。足顯然的，離心率等於 $ \ cos \ eta $。為著簡化運算，佇遮提出一个足有路用的變量 $ p _ { 零 }={ \ sqrt { 二 m \ left | E \ right | } } $。

運動常數佮超級可積分性

咧克卜咧問題內底，兩个向量 $ \ mathbf { A } $，$ \ mathbf { L } $ 佮一个純量 $ E $ 加起來攏總有七个常數純量。𪜶之間的相關性表達到 $ \ mathbf { A } \ cdot \ mathbf { L }=零 $ 佮 $ A ^ { 二 }=m ^ { 二 } k ^ { 二 } + 二 mEL ^ { 二 } $ 這兩个公式。因為乎 $ \ mathbf { A } $ 會當由角動量 $ \ mathbf { L } $ 佮能量 $ E $ 計算出來。再者，$ \ mathbf { A } $ 著愛垂直於 $ \ mathbf { L } $。所以乎，$ \ mathbf { A } $ 干焦會當貢獻爾運動的常數。

因為有上出兩个關係公式，這物理系統攏總有五个獨立的運動常數。這結果佮設定粒仔軌道所需要的六个初初時條件（粒仔的初始位置向量佮初初速度向量，每一个向量有三个量）相符合，原因是運動的常數無牽磕初初佇咧時間（視六个初初條件函數的參數為自變量初初佇時間。用其中的一个初初條件函數除去這自變量；將此初初條件函數就當做一个自變量，則準備五个初初的條件函數，函數的參數為新自變量）。

因為運動的方程式是二階微分方程式，一个擁有 $ d $ 自由度的物理系統，需要 $ 二 d $ 個初初條件來設定解答。因為運動的常數無牽涉初初的時間，這物理系統上濟干焦會當有 $ 二 d 影一 $ 個運動常數。一个擁有超過 $ d $ 個運動常數的物理系統號做有夠積分系統；啊若一个有 $ 二 d 影一 $ 個運動常數的物理系統號做上大超級會當積分系統。哈密頓-亞可比方程式的解答，採用任意一種坐標系統，上濟干焦會當求著 $ d $ 個運動常數。

克卜咧問題有三个自由度（$ d=三 $）參五个運動的常數；克卜勒問題的系統是上大的超級會當積分系統；採用球坐標抑是拋物線坐標，哈密頓－亞可比講方程式攏是會當積分的；這个論據，較等咧會有詳細的解說。上大的超級會當積分系統會當用對易關係來量仔化，這个論據，等咧閣較明瞭的說明。

咱微擾勢下的系統演化

干焦佇一个標準的平方反比連心力下，粒子的 LRL 向量 $ \ mathbf { A } $ 是保守的。對大多數實際的問題，譬如講行星運動，作用力並袂完全地遵守平方反比定律，可能會有別種微擾的連心力；講其負值無定積分做微擾勢，標記做講 $ h ( r ) $。佇這个狀況之下，LRL 向量會沓沓仔踅佇軌道平面，相應軌道的慢進動。假使微擾勢 $ h ( r ) $ 為一个保守的連心勢，也就是講，總能量 $ E $ 佮角動量 $ \ mathbf { L } $ 攏是保守的，規粒的運動猶原包括一个垂直於 $ \ mathbf { L } $ 的平面，大細 $ A $ 猶原是保守的。微擾勢 $ h ( r ) $ 會當是任何形式的函數。猶毋過，微擾值應該顯顯弱佇主連心勢。一个典形的微擾勢會當表示

$ h ( r )=-\ { \ frac { h } { r ^ { n } } } $；

其中，$ h $ 是微擾勢強度，整數 $ n \ leq 二 $。

用正則微擾理論佮作用量-角度座標，會當直接推導出 LRL 向量的轉動率是

$ { \ begin { aligned } { \ bar { \ Omega } }={ \ frac { \ partial } { \ partial L } } \ langle h ( r ) \ rangle &={ \ frac { \ partial } { \ partial L } } \ left \ { { \ frac { 一 } { T } } \ int _ { 零 } ^ { T } h ( r ) \ , \ mathrm { d } t \ right \ } \ \ &={ \ frac { \ partial } { \ partial L } } \ left \ { { \ frac { m } { TL } } \ int _ { 零 } ^ { 二 \ pi } r ^ { 二 } h ( r ) \ , \ mathrm { d } \ theta \ right \ } \ \ \ end { aligned } } $；

其中，$ T $ 是軌道週期，恆等式 $ Ldt=mr ^ { 二 } \ mathrm { d } \ theta $ 轉變時間積分做角度（如圖五）。 角括號表達式 $ \ langle h ( r ) \ rangle $ 是禮拜平均微擾勢；也就是講，物體踅軌道一个公轉的平均微擾勢。取平均值得減少轉動率的變動。

這方法捌予人用來證實愛因為斯坦的廣義相對論。廣義相對論在常見的牛頓萬有引力項目外，閣加一項細項的反立方微擾。

$ h ( r )={ \ frac { kL ^ { 二 } } { m ^ { 二 } c ^ { 二 } } } \ left ( { \ frac { 一 } { r ^ { 三 } } } \ right ) $。

將這个函數代入積分。較代入去 $ r $ 佮 $ \ theta $ 的關係公式

$ { \ frac { 一 } { r } }={ \ frac { mk } { L ^ { 二 } } } \ left ( 一 + { \ frac { A } { mk } } \ cos \ theta \ right ) $，

就會當算出這非牛頓微擾所產生的近拱點進動率 :

$ { \ bar { \ Omega } }={ \ frac { 六 \ pi k ^ { 二 } } { TL ^ { 二 } c ^ { 二 } } } $。

計算出的答案準確地符合實驗觀測著的水星進動數據佮雙重脈衝星數據。這和實驗數據一致的結果予人認為是廣義相對論的強證。

帕松括號

角動量 $ \ mathbf { L } $ 三个量 $ L _ { i } $ 的帕松括號嘛是

$ \ { L _ { i } , L _ { j } \ }=\ sum _ { s=一 } ^ { 三 } \ epsilon _ { ijs } L _ { s } $；

其中，指標 $ i , \ j=一 , \ 二 , \ 三 $ 代表直角座標系的三个座標 $ ( x , \ y , \ z ) $，$ \ epsilon _ { ijs } $ 是列維-奇維塔符號；佇遮，為著避免佮力強度的標記 $ k $ 發生透濫，採用 $ s $ 為連加運算的指標。

定義一个佮 LRL 向量成比例的向量 $ \ mathbf { D } $ 為

$ \ mathbf { D }={ \ frac { \ mathbf { A } } { \ sqrt { 二 m \ left | E \ right | } } } $。

向量 $ \ mathbf { D } $ 佮角動量 $ \ mathbf { L } $ 的單位仝款。$ \ mathbf { D } $ 佮 $ \ mathbf { L } $ 的帕松括號做

$ \ { D _ { i } , L _ { j } \ }=\ sum _ { s=一 } ^ { 三 } \ epsilon _ { ijs } D _ { s } $。

向量 $ \ mathbf { D } $ 佮家己的帕松括號佮總能量 $ E $ 的正負號有關；也就是講，佮敢有總量 $ E $ 是正值（平方反比連心力作用之下，產生開放的雙曲線軌道）， 抑是負值（平方反比連心力作用之下，產生合地雞卵行軌道）有關。假若總能量 $ E $ 是正值，帕松括號嘛是

$ \ { D _ { i } , D _ { j } \ }=-\ sum _ { s=一 } ^ { 三 } \ epsilon _ { ijs } L _ { s } $。

反之，假若總能量 $ E $ 是負值，帕松括號嘛是

$ \ { D _ { i } , D _ { j } \ }=\ sum _ { s=一 } ^ { 三 } \ epsilon _ { ijs } L _ { s } $。

因為以下這三个帕松括號方程式，

$ \ { L _ { i } , L _ { j } \ }=\ sum _ { s=一 } ^ { 三 } \ epsilon _ { ijs } L _ { s } $，

$ \ { D _ { i } , L _ { j } \ }=\ sum _ { s=一 } ^ { 三 } \ epsilon _ { ijs } D _ { s } $，

$ \ { D _ { i } , D _ { j } \ }=\ sum _ { s=一 } ^ { 三 } \ epsilon _ { ijs } L _ { s } $，

若總會當量 $ E $ 是負值，會當確定克卜勒問題的對稱群是四維的旋轉群 SO ( 四 )。

假若總能量 $ E $ 是負值，㧎西米爾變竅 $ C _ { 一 } , \ C _ { 二 } $ 定義做

$ C _ { 一 }=\ mathbf { D } \ cdot \ mathbf { D } + \ mathbf { L } \ cdot \ mathbf { L }={ \ frac { mk ^ { 二 } } { 二 \ left | E \ right | } } $，

$ C _ { 二 }=\ mathbf { D } \ cdot \ mathbf { L }=零 $。

而且，㧎西米爾變竅佮 $ \ mathbf { D } $ 每一个分量的帕松括號攏為零：

$ \ { C _ { 一 } , D _ { i } \ }=\ { C _ { 二 } , D _ { i } \ }=零 $。

閣有，㧎西米爾變竅佮 $ \ mathbf { L } $ 每一个分量的帕松括號攏為零：

$ \ { C _ { 一 } , L _ { i } \ }=\ { C _ { 二 } , L _ { i } \ }=零 $。

既然兩个向量 $ \ mathbf { D } $ 佮 $ \ mathbf { L } $ 永遠是互相垂直的，$ C _ { 二 } $ 明顯地是零。可是，另外一个袂變的量 $ C _ { 一 } $ 只佮質量 $ m $、力強度 $ k $、總能量 $ E $ 有關。不變量 $ C _ { 一 } $ 分別佮 $ D _ { i } $，$ L _ { i } $ 的帕松括號等於零的導引並無明顯。這袂變量 $ C _ { 一 } $ 會使干焦用著量仔力學的正則對易關係，就會當推導出類氫原子的原子能級，毋免用著的薛丁格方式。

氫原子量子力學

帕松括號提供一个簡單的方法來正則量子化古典系統。兩个量仔算符合的對易關係等於 $ i \ hbar $ 乘用對應的古典變量。經過這量子化程序，算克卜勒問題的卡西米爾算符合 $ C _ { 一 } $ 的本徵值，沃爾夫岡 ・ 包利成功地推導出類氫原子的原子能級（參閱圖六）， 猶閣有其發射光譜。早佇薛丁格的方程式成立進前，包利就共研究出這重要的結果！

LRL 向量 $ \ mathbf { A } $ 的量仔有算符仔有一个奧妙的所在，彼就是動量算符和角動量算符合並毋著易。動量佮角動量的叉積就愛詳細共加以定義。LRL 向量的直角座標分量典型地定義為

$ A _ { k } \ equiv-m _ { e } \ alpha { \ hat { r } } _ { k } + { \ frac { 一 } { 二 } } \ sum _ { i=一 } ^ { 三 } \ sum _ { j=一 } ^ { 三 } \ epsilon _ { ijk } \ left ( p _ { i } l _ { j } + l _ { j } p _ { i } \ right ) $；

其中，$ m _ { e } $ 是電子的質量，常數 $ \ alpha={ \ frac { e ^ { 二 } } { 四 \ pi \ epsilon _ { 零 } } } $，$ e $ 是單位電錢量，$ \ epsilon _ { 零 } $ 是真空電容率。

這定義有一个特性：指標 $ i , \ j $ 是一个對伨的，指標 $ i , \ j $ 咧相換袂改變 $ A _ { k } $ 的數值。表示為向量形式，

$ \ mathbf { A }=-m _ { e } \ alpha { \ hat { r } } + { \ frac { 一 } { 二 } } ( \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L }-\ mathbf { L } \ times \ mathbf { p } ) $。

遐爾，其實對應的哈密頓算符是

$ H={ \ frac { \ mathbf { p } ^ { 二 } } { 二 m _ { e } } }-{ \ frac { \ alpha } { r } } $。

佮 $ \ mathbf { A } $ 向量成正比的 $ \ mathbf { D } $ 向量是

$ \ mathbf { D }={ \ frac { \ mathbf { A } } { \ sqrt { 鋪二 m _ { e } H } } } $。

請注意，因為哈密頓算符的本徵值是負值，所以公式內底的平方根是一个實數。

經過一番的運算是，會當求較好勢關係：

$ \ { L _ { i } , \ , L _ { j } \ }=i \ hbar \ epsilon _ { ijk } L _ { k } $、

$ \ { L _ { i } , \ , D _ { j } \ }=i \ hbar \ epsilon _ { ijk } D _ { k } $、

$ \ { D _ { i } , \ , D _ { j } \ }=i \ hbar \ epsilon _ { ijk } L_ { k } $、

$ \ { H , \ , D _ { i } \ }=零 $。

定義第一階張量算符合

$ J _ { 零 } \ equiv D _ { 三 } $、

$ J _ { \ pm 一 } \ equiv \ mp { \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 } } } \ left ( D _ { 一 } \ pm iD _ { 二 } \ right ) $。

一个歸一化第一卡西米爾算符會當仝款地定義為

$ C _ { 一 } \ equiv \ mathbf { D } ^ { 二 } + \ mathbf { L } ^ { 二 }={ \ frac { m _ { e } \ alpha ^ { 二 } } { 鋪二 H } }-\ hbar ^ { 二 } $。

注意著 $ J _ { + 一 } $ 和 $ J _ { 影一 } $ 的對易關係是

$ \ { J _ { + 一 } , J _ { 影一 } \ }=i \ { D _ { 一 } , \ , D _ { 二 } \ }=-\ hbar L _ { 三 } $。

應用維格納-埃卡特定理（Wigner-Eckart theorem），

$ J _ { 零 } | l , \ , m \ rangle=i { \ sqrt { l ^ { 二 }-m ^ { 二 } } } \ { \ mathfrak { C } } _ { l } | l 影一 , \ , m \ rangle-i { \ sqrt { ( l + 一 ) ^ { 二 }-m ^ { 二 } } } \ { \ mathfrak { C } } _ { l + 一 } | l + 一 , \ , m \ rangle $、

$ J _ { + 一 } | l , \ , m \ rangle=-i { \ sqrt { ( l-m ) ( l-m 影一 ) / 二 } } \ { \ mathfrak { C } } _ { l } | l 影一 , \ , m + 一 \ rangle-i { \ sqrt { ( l + m + 一 ) ( l + m + 二 ) / 二 } } \ { \ mathfrak { C } } _ { l + 一 } | l + 一 , \ , m + 一 \ rangle $、

$ J _ { 影一 } | l , \ , m \ rangle=-i { \ sqrt { ( l + m ) ( l + m 影一 ) / 二 } } \ { \ mathfrak { C } } _ { l } | l 影一 , \ , m 影一 \ rangle-i { \ sqrt { ( l-m + 一 ) ( l-m + 二 ) / 二 } } \ { \ mathfrak { C } } _ { l + 一 } | l + 一 , \ , m 影一 \ rangle $；

其中，$ | l , \ , m \ rangle $ 是角量子數為 $ l $、磁量子數為 $ l $ 的本徵態，$ { \ mathfrak { C } } _ { l } $ 是常數係數。

經過一番運算講，$ J _ { + 一 } $ 和 $ J _ { 影一 } $ 對易算符作用著 $ | l , \ , m \ rangle $ 的結果是

$ { \ begin { aligned } \ { J _ { + 一 } , \ , J _ { 影一 } \ } | l , \ , m \ rangle &=-m [( 二 l 影一 ) { \ mathfrak { C } } _ { l } ^ { 二 }-( 二 l + 三 ) { \ mathfrak { C } } _ { l + 一 } ^ { 二 }] | l , \ , m \ rangle \ \ &=-\ hbar L _ { 三 } | l , \ , m \ rangle=-m \ hbar ^ { 二 } \ \ \ end { aligned } } $。

所以乎，$ { \ mathfrak { C } } _ { l } $ 的遞迴關係是

$ ( 二 l 影一 ) { \ mathfrak { C } } _ { l } ^ { 二 }-( 二 l + 三 ) { \ mathfrak { C } } _ { l + 一 } ^ { 二 }=\ hbar ^ { 二 } $。

準講 $ { \ mathfrak { C } } _ { l } ^ { 二 } $ 是非負值，為著欲滿足來講公式，$ l > 零 $。再假使講 $ l $ 的上大值是 $ l _ { max } $。因為態向量 $ | l _ { max } + 一 , \ , \ \ rangle $ 無存在，$ { \ mathfrak { C } } _ { l _ { max } + 一 }=零 $。所以，$ { \ mathfrak { C } } _ { l _ { max } }={ \ frac { \ hbar ^ { 二 } } { 二 l _ { max } 影一 } } $。設定 $ n=l _ { max } 影一 $，小加計算，$ { \ mathfrak { C } } _ { l } $ 的一般方程式為著

$ { \ mathfrak { C } } _ { l }={ \ sqrt { \ frac { n ^ { 二 }-l ^ { 二 } } { 四 l ^ { 二 } 影一 } } } \ \ hbar $。

這乎 $ n $ 就是佮能級有關係的主量子數。先計算 $ D ^ { 二 } $：

$ { \ begin { aligned } D ^ { 二 } | n , \ , l , \ , m \ rangle &=[J _ { + 一 } J _ { 影一 } + J _ { 影一 } J _ { + 一 } + J _ { 零 } ^ { 二 }] | n , \ , l , \ , m \ rangle \ \ &=( n ^ { 二 }-l ^ { 二 }-l 影一 ) \ hbar ^ { 二 } | n , \ , l , \ , m \ rangle \ \ \ end { aligned } } $。

所以乎，第一卡西米爾算符 $ C _ { 一 } $ 作用佇態向量 $ | n , \ , l , \ , m \ rangle $ 會用得著

$ C _ { 一 } | n , \ , l , \ , m \ rangle=( D ^ { 二 } + L ^ { 二 } ) | n , \ , l , \ , m \ rangle=( n ^ { 二 } 影一 ) \ hbar ^ { 二 } | n , \ , l , \ , m \ rangle $。

第一卡西米爾算符 $ C _ { 一 } $ 的本徵值是 $ ( n ^ { 二 } 影一 ) \ hbar ^ { 二 } $。重點是，遮的本徵值佮量仔數 $ l $、$ m $ 無關係，這造成原子會當階的簡併：

$ E _ { n }=-{ \ frac { m _ { e } \ alpha ^ { 二 } } { 二 \ hbar ^ { 二 } n ^ { 二 } } }=-{ \ frac { m _ { e } e ^ { 四 } } { 二 n ^ { 二 } ( 四 \ pi \ epsilon _ { 零 } ) ^ { 二 } \ hbar ^ { 二 } } } $。

這就是出名的氫原子波耳公式。

保守性佮對稱性

咧克卜咧問題內底，LRL 向量的保守性對應系統的一種微妙的對稱性。佇古典力學佇，對稱性會當由連續運算顯示出來；這連續運算會當將一个鐵枝路去做著另外一个鐵枝路，同齊保持系統的能量無變。咧量仔力學，連紲運算將同能級原子軌域濫做伙，也就是講，（簡併原子能級）。

通常，對每一个對稱性攏會存在有一个保守量。比如講，連心力系統必對稱佇旋轉群 SO ( 三 )；就按呢來引出角動量 $ \ mathbf { L } $ 的保守性。佇古典力學佇，規个系統的轉踅袂影響軌道的能量。咧量仔力學，假若旋轉干焦混合角量子數仝款的球諧函數，是系統的能量袂改變。

平方反比連心力系統的對稱性是閣較懸維佮閣較微妙的。但是奇巧對稱性是由角動量 $ \ mathbf { L } $ 佮 LRL 向量 $ \ mathbf { A } $ 的雙重保守性造成的；這保證了氫原子的能級佮角量子數 $ l $、磁量子數 $ m $ 無關係。因為對稱性運算必須發生閣較懸維持空間，予這對稱性閣較微妙；這類的對稱性常稱為隱祕嘿稱性。佇古典力學佇，克卜咧問題的高維對稱性容許連續的改變軌道．只要保持能量袂變，角動量會當改變；嘛會使講，仝能量，無仝角動量（離心率）的軌道會當互相的連紲變換。咧量仔力學，這對應無仝角量子數 $ l $ 佮磁量子數 $ m $ 的鐵枝路的混合，比如講 $ s ( l=零 ) $ 佮 $ p ( l=一 ) $ 原子軌域的混合。這種透濫是袂當用普通的三維平移運算抑是旋轉運算達成的。可是，這款混合等價數佇咧高維度空間的轉踅。

佇一个束縛（bounded）系統內底，能量是負值的，這高維對稱群是 SO ( 四 )；特性是四維向量的長度保持袂變：

$ \ left | \ mathbf { e } \ right | ^ { 二 }=e _ { 一 } ^ { 二 } + e _ { 二 } ^ { 二 } + e _ { 三 } ^ { 二 } + e _ { 四 } ^ { 二 } $。

一九三五年，抹基米爾 ・ 福克表明，咧量仔力學，束縛的克卜咧問題等價數佇一粒自由的移動佇四維空間的三維單位球。閣較具體地，佛克表明，咧克卜勒問題的動量空間，薛丁格波函數是球諧函數的球極平面投影。圓球的旋轉佮重複射影造成了雞卵行的連紲影射，同時維持能量無變；這對應於主量子數 $ n $ 仝款的軌域的混合。隨後，華倫泰 ・ 巴格曼注意著，佮 LRL 向量成比例的向量 $ \ mathbf { D } $ 佮角動量 $ \ mathbf { L } $ 的帕松括號形成 SO ( 四 ) 的李代數。簡單講，$ \ mathbf { D } $ 佮 $ \ mathbf { L } $ 的六个物理量對應該佇四維空間內底的六个保守的角動量分量，相伴佇四維空間內底的六个合法的簡單旋轉（對四个軸中，選兩个軸做旋轉軸。攏總有六種可能）。 這結論並無意示宇宙是一个三維球面；只是講，這个特別的物理問題（克卜勒問題）， 佇咧數學上，等於徙振動佇三維球面的一粒自由粒子。

佇一个非束縛（unbound）， 散射系統內底，能量是正值的，對應的高維對稱群是 SO ( 三 , 一 )；其特性是保持四維硬亮的閔考斯基長度無變：

$ ds ^ { 二 }=e _ { 一 } ^ { 二 } + e _ { 二 } ^ { 二 } + e _ { 三 } ^ { 二 }-e _ { 四 } ^ { 二 } $。

連心力系統（包括克卜勒問題的遐的系統）的鐵枝路對反射嘛有對稱性。所以乎，軌道的完全對稱群並毋是頭前所提的 SO ( 三 )、SO ( 四 )、SO ( 三 , 一 ) 群；咧分別是 O ( 三 )、O ( 四 )、O ( 三 , 一 )。毋過，只需要連通子群 SO ( 三 )、SO ( 四 )、SO ( 三 , 一 ) 來展出角動量佮 LRL 向量的保守性；反射對稱性佮保守性無相關。保守性會當由群的李代數推導出來。

旋轉對稱性佇咧四維空間

克卜勒問題佮踅四維轉對稱性 SO ( 四 ) 的關聯會用得足簡單觀察出來。標記四維直角座標為 $ ( w , \ x , \ y , \ z ) $；其中，$ ( x , \ y , \ z ) $ 代表三維位置向量 $ \ mathbf { r } $ 直角座標。三維動量 $ \ mathbf { p } $ 佮三維單位球的四維向量 $ { \ boldsymbol { \ eta } } $ 的關係為著

$ { \ boldsymbol { \ eta } }=\ displaystyle { \ frac { p ^ { 二 }-p _ { 零 } ^ { 二 } } { p ^ { 二 } + p _ { 零 } ^ { 二 } } } \ mathbf { \ hat { w } } + { \ frac { 二 p _ { 零 } } { p ^ { 二 } + p _ { 零 } ^ { 二 } } } \ mathbf { p } $；

其中，$ \ mathbf { \ hat { w } } $ 是新的 w-軸的單位向量。

足簡單的，會當核對 $ { \ boldsymbol { \ eta } } $ 嘛是一个單位的向量：

$ { \ boldsymbol { \ eta } }={ \ hat { \ boldsymbol { \ eta } } } $。

對 $ \ mathbf { p } $ 至 $ { \ hat { \ boldsymbol { \ eta } } } $ 的映射有一个獨特唯一的逆反；比如講，動量 $ \ mathbf { p } $ 的 x-軸分量是

$ p _ { x }=p _ { 零 } { \ frac { \ eta _ { x } } { 一-\ eta _ { w } } } $。

$ p _ { y } $ 佮 $ p _ { z } $ 嘛有類似的公式。嘛會使講，三維動量向量 $ \ mathbf { p } $ 是四維單位向量 $ { \ hat { \ boldsymbol { \ eta } } } $ 的球極平面投影，其比例因為 $ p _ { 零 } $。

選擇一个合適的直角座標，使 z-軸佮角動量 $ \ mathbf { L } $ 仝直線的，使動量的速端曲線的取向親像圖七，圓心包含講 y-軸。按呢乎，無去廣義性，就會當觀察著這旋轉對稱性。因為粒子的運動包含一个平面，$ \ mathbf { p } $ 佮 $ \ mathbf { L } $ 互相垂直，而且，$ p _ { z }=\ eta _ { z }=零 $。所以，只要專注三維向量 $ { \ hat { \ boldsymbol { \ eta } } }=( \ eta _ { w } , \ \ eta _ { x } , \ \ eta _ { y } ) $。圖七速端曲線的阿波羅尼奧斯圓家族對應該佇咧三維單位球 $ { \ boldsymbol { \ eta } } $ 的大圓線家族。每一个大圓線佮 $ \ eta _ { x } $ 相交於兩个交點 $ \ eta _ { x }=\ pm 一 $。這兩个交點相對速端曲線圖的兩點 $ p _ { x }=\ pm p _ { 零 } $。這兩个交點嘛是遮的大圓線的共同交點。所以乎，遮的大圓線的互相關係是一个環境踅咧 $ \ eta _ { x } $-軸的簡單旋轉（參閱圖八）。 以 $ \ eta _ { x } $-軸做轉軸，每一个大圓線的位是對 $ \ eta _ { x } \ eta _ { y } $-平面旋轉 $ \ alpha $ 角。

取任意一个大圓線 $ \ eta _ { y } $ 上蓋大值的一項，其坐標為 $ ( \ eta _ { w } , \ 零 , \ \ eta _ { y } , \ 零 ) $。遐爾，

$ p _ { x }=零 $、

$ p _ { y }=p=( A + mk ) / L $、

$ \ eta _ { y }=\ cos ( \ alpha )={ \ frac { 二 p _ { 零 } p _ { y } } { p _ { y } ^ { 二 } + p _ { 零 } ^ { 二 } } } $。

經過一番運算講，代入 $ p _ { 零 } $ 的值，會用得著

$ { \ begin { aligned } \ sin ( \ alpha ) &={ \ frac { p _ { y } ^ { 二 }-p _ { 零 } ^ { 二 } } { p _ { y } ^ { 二 } + p _ { 零 } ^ { 二 } } } \ \ &={ \ frac { ( A + mk ) ^ { 二 } 鋪二 m | E | L ^ { 二 } } { ( A + mk ) ^ { 二 } + 二 m | E | L ^ { 二 } } } \ \ \ end { aligned } } $。

予一个束縛鐵枝道，能量是負值的：

$ { \ begin { aligned } \ sin ( \ alpha ) &={ \ frac { ( A + mk ) ^ { 二 } + 二 mEL ^ { 二 } } { ( A + mk ) ^ { 二 } 鋪二 mEL ^ { 二 } } } \ \ &={ \ frac { A } { mk } }=e \ \ \ end { aligned } } $。

所以乎，離心率 $ e=\ sin ( \ alpha ) $ 嘿緯度 $ \ alpha $ 的正絃仔函數。

因為圖七的動量速端曲線對應於 $ \ eta $ 三維單位球的大圓線的球極平面投影，啊若這速端曲線家族的成員攏有仝款的能量。所以乎，這旋轉的對稱性使所有的能量仝款的軌道攏會當互相變換。猶毋過，這旋轉正交通常的三維旋轉，因為伊牽涉著第四維 $ \ eta _ { w } $。高維度的對稱性是克卜勒問題對應該 LRL 向量的一个特徵。

採用雞卵行入去標 $ \ chi , \ \ psi , \ \ phi $ 來代替四維座標 $ { \ boldsymbol { \ eta } } $，克卜勒問題有一个幼路的作用量-角度座標解答：

$ \ eta _ { w }=\ mathrm { cn } \ , \ chi \ \ mathrm { cn } \ , \ psi $，

$ \ eta _ { x }=\ mathrm { sn } \ , \ chi \ \ mathrm { dn } \ , \ psi \ \ cos \ phi $，

$ \ eta _ { y }=\ mathrm { sn } \ , \ chi \ \ mathrm { dn } \ , \ psi \ \ sin \ phi $，

$ \ eta _ { z }=\ mathrm { dn } \ , \ chi \ \ mathrm { sn } \ , \ psi $；

其中，$ \ mathrm { sn } , \ , \ mathrm { cn } , \ , \ mathrm { dn } $ 是雅可比雞卵行。

克卜勒問題 LRL 向量恆定的證明

以下幾種導引會用証明，平方反比連心力下，LRL 向量守恆。

直接證明

準講，有一个連心力 $ f ( \ mathbf { r } ) { \ hat { \ mathbf { r } } } $ 作用佇一粒子。根據牛頓第二定律，運動的方程式為

$ { \ frac { \ mathrm { d } \ mathbf { p } } { \ mathrm { d } t } }=f ( \ mathbf { r } ) { \ hat { \ mathbf { r } } } $；

其中，$ f ( \ mathbf { r } ) $ 是函數，$ \ mathbf { r } $ 為粒子的位置，$ \ mathbf { p } $ 是動量，$ t $ 是時間。

因為佇咧連心力之下，角動量 $ \ mathbf { L }=\ mathbf { r } \ times \ mathbf { p } $ 是恆定的，

$ { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } \ mathbf { L }=零 $。

所以乎，

$ { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } \ left ( \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L } \ right )={ \ frac { \ mathrm { d } \ mathbf { p } } { \ mathrm { d } t } } \ times \ mathbf { L }=f ( \ mathbf { r } ) \ mathbf { \ hat { r } } \ times \ left ( \ mathbf { r } \ times m { \ frac { \ mathrm { d } \ mathbf { r } } { \ mathrm { d } t } } \ right )=f ( \ mathbf { r } ) { \ frac { m } { r } } \ left [\ mathbf { r } \ left ( \ mathbf { r } \ cdot { \ frac { \ mathrm { d } \ mathbf { r } } { \ mathrm { d } t } } \ right )-r ^ { 二 } { \ frac { \ mathrm { d } \ mathbf { r } } { \ mathrm { d } t } } \ right] $。

代入以下恆等式：

$ \ mathbf { r } \ cdot { \ frac { \ mathrm { d } \ mathbf { r } } { \ mathrm { d } t } }={ \ frac { 一 } { 二 } } { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } \ left ( \ mathbf { r } \ cdot \ mathbf { r } \ right )={ \ frac { 一 } { 二 } } { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } \ left ( r ^ { 二 } \ right )=r { \ frac { \ mathrm { d } r } { \ mathrm { d } t } } $，

會當得著方程式，

$ { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } \ left ( \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L } \ right )=-mf ( \ mathbf { r } ) r ^ { 二 } \ left [{ \ frac { 一 } { r } } { \ frac { \ mathrm { d } \ mathbf { r } } { \ mathrm { d } t } }-{ \ frac { \ mathbf { r } } { r ^ { 二 } } } { \ frac { \ mathrm { d } r } { \ mathrm { d } t } } \ right]=-mf ( \ mathbf { r } ) r ^ { 二 } { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } \ left ( { \ frac { \ mathbf { r } } { r } } \ right ) $。

代入平方反比連心力的方程式 $ f ( \ mathbf { r } )={ \ frac {-k } { r ^ { 二 } } } $，

$ { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } \ left ( \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L } \ right )=mk { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } \ left ( { \ frac { \ mathbf { r } } { r } } \ right )={ \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } \ left ( mk \ mathbf { \ hat { r } } \ right ) $。

所以乎，平方反比連心力下，$ \ mathbf { A } $ 是恆定的：

$ { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } \ mathbf { A }={ \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } \ left ( \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L } \ right )-{ \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } \ left ( mk \ mathbf { \ hat { r } } \ right )=零 $。

哈密頓-雅可比方程式

哈密頓-雅可比方程式的較懸會當用推導出 LRL 向量的恆定性。採用拋物線座標 $ ( \ xi , \ \ eta ) $，定義

$ \ xi=r + x $、

$ \ eta=r-x $；

其中，$ ( x , \ y ) $ 是直角座標，$ r $ 是軌道的徑向距離：

$ r={ \ sqrt { x ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } $。

倒反起來，

$ x={ \ frac { 一 } { 二 } } \ left ( \ xi-\ eta \ right ) $、

$ y={ \ sqrt { \ xi \ eta } } $。

是克卜勒問題的哈密頓量為著

$ { \ begin { aligned } H &={ \ frac { 一 } { 二 } } m { \ dot { x } } ^ { 二 } + { \ frac { 一 } { 二 } } m { \ dot { y } } ^ { 二 }-{ \ frac { k } { r } } \ \ &={ \ frac { 二 \ xi p _ { \ xi } ^ { 二 } } { m ( \ xi + \ eta ) } } + { \ frac { 二 \ eta p _ { \ eta } ^ { 二 } } { m ( \ xi + \ eta ) } }-{ \ frac { 二 k } { \ xi + \ eta } } \ \ \ end { aligned } } $；

其中，$ p _ { \ xi } , \ p _ { \ eta } $ 分別是廣義座標 $ \ xi , \ \ eta $ 的共擔動量。

因為克卜勒問題的勢函數干焦佮廣義座標有關係，哈密頓量是一个能量運動常數，$ H=E $。小可仔編排，會用得著

$ 二 \ xi p _ { \ xi } ^ { 二 }-mk-mE \ xi=鋪二 \ eta p _ { \ eta } ^ { 二 } + mk + mE \ eta $。

這公式的倒手爿佮正手爿分別佮無仝的廣義座標有關係，所以乎，兩爿攏來等於一个運動常數，標記做講 $ \ Gamma $：

$ 二 \ xi p _ { \ xi } ^ { 二 }-mk-mE \ xi=-\ Gamma $、

$ 二 \ eta p _ { \ eta } ^ { 二 }-mk-mE \ eta=\ Gamma $。

思考 LRL 向量的 $ x $ 分量，

$ { \ begin { aligned } A _ { x } &=p _ { y } ( xp _ { y }-yp _ { x } )-mk { \ frac { x } { r } } \ \ &=xp _ { y } ^ { 二 }-yp _ { x } p _ { y }-mk + m \ eta { \ frac { k } { r } } \ \ \ end { aligned } } $。

代入能量方程式 $ E={ \ frac { 一 } { 二 } } mv ^ { 二 }-{ \ frac { k } { r } } $，著

$ A _ { x }=xp _ { y } ^ { 二 }-yp _ { x } p _ { y } + { \ frac { 一 } { 二 } } m ^ { 二 } v ^ { 二 } \ eta-mk-mE \ eta $。

這公式正手爿，前三个項目，經過一番計算，會用得著

$ xp _ { y } ^ { 二 }-yp _ { x } p _ { y } + { \ frac { 一 } { 二 } } m ^ { 二 } v ^ { 二 } \ eta={ \ frac { m ^ { 二 } } { 八 } } { \ dot { \ eta } } ^ { 二 } { \ frac { ( \ eta + \ xi ) ^ { 二 } } { \ eta } }=二 \ eta p _ { \ eta } ^ { 二 } $。

所以乎，$ A _ { x } $ 嘛是運動常數：

$ A _ { x }=\ Gamma $。

諾特定理

LRL 向量的保守性佮頭前咧講的旋轉對稱性，兩个之間的關係，會當用諾特定理來做連結分析。諾特定理嘛會當共用來辨明 LRL 向量是運動常數。諾特定理表明：佇一个物理系統內底，對廣義坐標 $ q _ { i } $ 小可仔變分 $ \ delta q _ { i }=\ epsilon g _ { i } ( \ mathbf { q } , \ \ mathbf { \ dot { q } } , \ t ) $，假若，提至微小參數 $ \ epsilon $ 的一砛，挨格朗日量 $ { \ mathcal { L } } $ 的變分 $ \ delta { \ mathcal { L} } $ 是

$ \ delta { \ mathcal { L } }=\ epsilon { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } G ( \ mathbf { q } , \ t ) $，

定著愛佇咧保守量 $ \ Gamma $ 滿足方程式

$ \ Gamma=-G + \ sum _ { i } g _ { i } \ left ( { \ frac { \ partial { \ mathcal { L } } } { \ partial { \ dot { q } } _ { i } } } \ right ) $；

其中，$ g _ { i } ( \ mathbf { q } , \ \ mathbf { \ dot { q } } , \ t ) $、$ G ( \ mathbf { q } , \ t ) $ 攏是函數。

閣較具體地，佇一个克卜問題內底，試設定坐標 $ x _ { i } $ 的微小變分做

$ \ delta x _ { i }={ \ frac { \ epsilon } { 二 } } \ left [二 p _ { i } x _ { s }-x _ { i } p _ { s }-( \ mathbf { r } \ cdot \ mathbf { p } ) \ delta _ { is } \ right] $；

其中，$ i=一 , \ 二 , \ 三 $，$ x _ { i } $ 佮 $ p _ { i } $ 分別為位置 $ \ mathbf { r } $ 佮動量 $ \ mathbf { p } $ 的 $ i $-軸分量，$ \ delta _ { is } $ 是克羅內克爾 δ，$ s $ 是固定的下標。

因為克卜勒問題的拉格朗日量是

$ { \ mathcal { L } }=\ sum _ { i } \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } m { \ dot { x } } _ { i } { \ dot { x } } _ { i } \ right ) + { \ frac { k } { r } } $。

其運動的方程式為著

$ m { \ ddot { x } } _ { i } + k { \ frac { x _ { i } } { r ^ { 三 } } }=零 $。

對應該坐標 $ x _ { i } $ 的變分，速度 $ { \ dot { x } } _ { i } $ 的變分為

$ { \ begin { aligned } \ delta { \ dot { x } } _ { i } &={ \ frac { \ epsilon } { 二 } } \ left [二 { \ dot { p } } _ { i } x _ { s }-x _ { i } { \ dot { p } } _ { s } + p _ { i } { \ dot { x } } _ { s }-{ \ frac { p ^ { 二 } } { m } } \ delta _ { is }-( \ mathbf { r } \ cdot { \ dot { \ mathbf { p } } } ) \ delta _ { is } \ right] \ \ &={ \ frac { \ epsilon } { 二 } } \ left [-{ \ frac { k } { r ^ { 三 } } } x _ { i } x _ { s } + p _ { i } { \ dot { x } } _ { s }-{ \ frac { p ^ { 二 } } { m } } \ delta _ { is } + { \ frac { k } { r } } \ delta _ { is } \ right ] \ \ \ end { aligned } } $。

搝格朗日量取到一階的變分是

$ { \ begin { aligned } \ delta { \ mathcal { L } } &=\ sum _ { i } \ left ( { \ frac { \ partial { \ mathcal { L } } } { \ partial x _ { i } } } \ delta x _ { i } + { \ frac { \ partial { \ mathcal { L } } } { \ partial { \ dot { x } } _ { i } } } \ delta { \ dot { x } } _ { i } \ right ) \ \ &=\ sum _ { i } \ left (-{ \ frac { kx _ { i } } { r ^ { 三 } } } \ delta x _ { i } + m { \ dot { x } } _ { i } \ delta { \ dot { x } } _ { i } \ right ) \ \ \ end { aligned } } $。

代入 $ \ delta x _ { i } $ 和 $ \ delta { \ dot { x } } _ { i } $ 的公式，經過一番厚工的運算，會用得著

$ \ delta { \ mathcal { L } }=\ epsilon mk { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } \ left ( { \ frac { x _ { s } } { r } } \ right ) $。

閣代入保守量 $ \ Gamma $ 的公式，則會得到

$ \ Gamma=p ^ { 二 } x _ { s }-p _ { s } \ left ( \ mathbf { r } \ cdot \ mathbf { p } \ right )-{ \ frac { mkx _ { s } } { r } }=\ left [\ mathbf { p } \ times \ mathbf { L }-mk { \ hat { \ mathbf { r } } } \ right] _ { s } $；

這正正就是 LRL 向量的 $ s $-軸分量 $ A _ { s } $。

李變換

諾特定理精緻的推導出 LRL 向量的保守性。美中不足地，這个導引有一个弱點：坐標變分 $ \ delta x _ { i } $ 毋但牽連著位置 $ \ mathbf { r } $，而且閣牽涉著動量 $ \ mathbf { p } $。假若，使用數學家索菲斯 ・ 李創建的方法來推導，會當除去這弱點。具體地，定義一个李變換，座標 $ \ mathbf { r } $ 佮時間 $ t $ 攏照比例變換，比例是參數 $ \ lambda $ 的無仝款鋪排：

$ t \ rightarrow \ lambda ^ { 三 } t , \ \ mathbf { r } \ rightarrow \ lambda ^ { 二 } \ mathbf { r } , \ \ mathbf { p } \ rightarrow { \ frac { 一 } { \ lambda } } \ mathbf { p } $。

這變換改變矣角動量 $ L $ 的大細佮能量 $ E $：

$ L \ rightarrow \ lambda L , \ E \ rightarrow { \ frac { 一 } { \ lambda ^ { 二 } } } E $。

可是，猶原保持乘積 $ EL ^ { 二 } $ 不變。所以乎，離心率 $ e $ 佮 LRL 向量 $ \ mathbf { A } $ 的大細不變。這會當對 $ A ^ { 二 } $ 的公式觀察出：

$ A ^ { 二 }=m ^ { 二 } k ^ { 二 } e ^ { 二 }=m ^ { 二 } k ^ { 二 } + 二 mEL ^ { 二 } $。

因為半短線佮半長線的取向袂因為整體的比例變換來改變，LRL 向量 $ \ mathbf { A } $ 的方向嘛會保持袂變。佇李變換，克卜勒第三定律嘛猶原成立：半長軸 $ a $ 佮週期 $ T $ 形成常數 $ { T ^ { 二 } } / { a ^ { 三 } } $。

推廣至別種位勢佮相對論

LRL 向量會當推廣到其他的狀況；會當來認捌佇其他的狀況下保守值。

準講，一个物理系統內底，儉佇咧電場 $ \ mathbf { E } $，保守的廣義 LRL 向量 $ { \ mathcal { A } } $ 是

$ { \ mathcal { A } }=\ mathbf { A } + { \ frac { mq } { 二 } } \ left [\ left ( \ mathbf { r } \ times \ mathbf { E } \ right ) \ times \ mathbf { r } \ right] $；

其中，$ q $ 是粒子的電荷量。

上廣義的 LRL 向量的形式會當表達做

$ { \ mathcal { A } }=\ left ( { \ frac { \ partial \ xi } { \ partial u } } \ right ) \ left ( \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L } \ right ) + \ left [\ xi-u \ left ( { \ frac { \ partial \ xi } { \ partial u } } \ right ) \ right] L ^ { 二 } \ mathbf { \ hat { r } } $；

其中，$ u={ \ frac { 一 } { r } } $（參閱伯特蘭定理）， $ \ xi=\ cos \ theta $，角 $ \ theta $ 定義做

$ \ theta=L \ int ^ { u } { \ frac { du } { \ sqrt { m ^ { 二 } c ^ { 二 } \ left ( \ gamma ^ { 二 } 影一 \ right )-L ^ { 二 } u ^ { 二 } } } } $；

其中，$ \ gamma $ 是勞侖茲因為。

親像頭前咧講，計算 $ \ mathbf { L } $ 佮 $ { \ mathcal { A } } $ 的叉仔積，會當得著一个保守的副法線向量 $ { \ mathcal { B } } $：

$ { \ mathcal { B } }=\ mathbf { L } \ times { \ mathcal { A } } $。

綜和兩个向量成做一个保守的並硬張量 $ { \ mathcal { W } } $：

$ { \ mathcal { W } }=\ alpha { \ mathcal { A } } \ otimes { \ mathcal { A } } + \ beta \ , { \ mathcal { B } } \ otimes { \ mathcal { B } } $。

比如講，計算一个非相對論性，均向性諧振子的 LRL 向量。因為作用力是連心力，$ \ mathbf { F } ( r )=-k \ mathbf { r } $，力量是保守的，粒子的運動包含一个平面。請注意，$ \ mathbf { P } $ 佮 $ \ mathbf { L } $ 毋是一定互相垂直的。保守的並硬張量會當表達為一个簡單的形式：

$ { \ mathcal { W } }={ \ frac { 一 } { 二 m } } \ mathbf { p } \ otimes \ mathbf { p } + { \ frac { k } { 二 } } \ , \ mathbf { r } \ otimes \ mathbf { r } $。

其相應的 LRL 向量著愛較複雜

$ { \ mathcal { A } }={ \ frac { 一 } { \ sqrt { mr ^ { 二 } \ omega _ { 零 } A-mr ^ { 二 } E + L ^ { 二 } } } } \ left \ { \ left ( \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L } \ right ) + \ left ( mr \ omega _ { 零 } A-mrE \ right ) \ mathbf { \ hat { r } } \ right \ } $；

其中，$ \ omega _ { 零 }={ \ sqrt { \ frac { k } { m } } } $ 是自然振率。

別種比例佮表述

佮動量無仝佮角動量，並無學術界一致認同的 LRL 向量定義；佇科學文獻內底，存在有幾種無仝的比例因為佮符號。頭前咧講的定義是上普遍的定義。另外一款定定看著的定義，將 $ \ mathbf { A } $ 除以常數 $ mk $；按呢乎，會當得著一个無因次的離心率向量 $ \ mathbf { e } $：

$ \ mathbf { e }={ \ frac { 一 } { mk } } \ left ( \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L } \ right )-\ mathbf { \ hat { r } }={ \ frac { m } { k } } \ left ( \ mathbf { v } \ times \ mathbf { L } \ right )-\ mathbf { \ hat { r } } $；

其中，$ \ mathbf { v } $ 是速度。

離心率向量 $ \ mathbf { e } $ 的方向佮 $ \ mathbf { A } $ 相仝，伊大細是軌道的離心率。

別種比例的版本嘛可能會用著。比如講，將 $ \ mathbf { A } $ 除以 $ m $：

$ \ mathbf { M }=\ mathbf { v } \ times \ mathbf { L }-k \ mathbf { \ hat { r } } $，

抑是講，將 $ \ mathbf { A } $ 除以 $ P _ { 零 } $：

$ \ mathbf { D }={ \ frac { \ mathbf { A } } { P _ { 零 } } }={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 m \ left | E \ right | } } } \ left \ { \ mathbf { p } \ times \ mathbf { L }-mk \ mathbf { \ hat { r } } \ right \ } $。

$ \ mathbf { D } $ 佮角動量 $ \ mathbf { L } $ 的單位仝款。佇足罕得看著的狀況，LRL 向量的正負號會改變。這是，攏袂影響伊是運動常數的事實。

另外一个保守的向量是副法線向量 $ \ mathbf { B } $。威廉 ・ 哈密頓捌研究過這向量。

$ \ mathbf { B }=\ mathbf { p }-\ left ( { \ frac { mk } { L ^ { 二 } r } } \ right ) \ \ left ( \ mathbf { L } \ times \ mathbf { r } \ right ) $。

這保守的向量佮雞卵行的半短線仝直線。$ \ mathbf { A } $ 是 $ \ mathbf { B } $ 叉仔積 $ \ mathbf { L } $（參閱圖四）。 兩个向量 $ \ mathbf { A } $ 佮 $ \ mathbf { B } $ 會當結合起來形成一个保守的並硬張量 $ { \ mathcal { W } } $：

$ { \ mathcal { W } }=\ alpha \ mathbf { A } \ otimes \ mathbf { A } + \ beta \ , \ mathbf { B } \ otimes \ mathbf { B } $；

其中，$ \ alpha $ 佮 $ \ beta $ 是任意比例常數，符號 $ \ otimes $ 表示張量積。展開這个公式為

$ { \ mathcal { W } } _ { ij }=\ alpha A _ { i } A _ { j } + \ beta B _ { i } B _ { j } $。

因為兩个向量互相垂直，$ \ mathbf { A } $ 佮 $ \ mathbf { B } $ 會當看做保守的張量 $ { \ mathcal { W } } $ 的主題，也就是講，比例的特徵向量。因為 $ \ mathbf { A } $ 佮 $ \ mathbf { B } $ 攏垂直於 $ \ mathbf { L } $，張量 $ { \ mathcal { W } } $ 垂直於角動量 $ \ mathbf { L } $：

$ \ mathbf { L } \ cdot { \ mathcal { W } }=\ alpha \ left ( \ mathbf { L } \ cdot \ mathbf { A } \ right ) \ mathbf { A } + \ beta \ left ( \ mathbf { L } \ cdot \ mathbf { B } \ right ) \ mathbf { B }=零 $。

參閱

• 二體問題
• 伯特蘭定理
• 磅子力學
• 航天動力學：軌道，離心率向量，軌道根數

參考文獻

• Leach , P . G . L . ; G . P . Flessas , Generalisations of the Laplace–Runge–Lenz vector , J . Nonlinear Math . Phys . , 兩千空三 ,十: 三百四十–四仔二三 , arXiv : math-ph / 四十五空三千空二十八

外部連結

• 加利福尼亞大學河濱分校物理網頁：Baez , John . Mysteries of the gravitational 二-body problem . [二千空八學一鋪十二] .（原始內容存檔佇兩千空八鋪十二十一）.