橫直割

橫直割（英語：arcsecant、記為：$ \ operatorname { arcsec } $ 抑是 $ \ sec ^ { 影一 } $）是一種反三角函數，對應的三角函數為正割函數，用來計算已經知影趨邊佮厝邊的比值來求出其鋏角大細的函數，是高等數學中的一種基本特殊函數，其輸入值佮反餘弦互為倒算。

因為正割函數佇實數頂懸遮無有一對應的關係，所以伊無存在反函數，但是咱會當限制其定義域，所以，橫直割是單射嘛是會使倒的，因為限制正割函數的定義域佇咧 $ [零 , \ pi] $（[零 , 一百八十 °]）時，其值域是全體實數，但是佇咧區間 $ [影一 , 一] $ 無存在。

符號

橫直割一般記為講 $ \ sec ^ { 影一 } z $ 抑是 $ \ operatorname { arcsec } z $，以表示正割的反函數。嘛有書寫的版本 Arcsec z 和 Sec 影一 z 一般用於表示多值函數。佇咧符號 $ \ sec ^ { 影一 } z $ 最的上標-一是表示反函數，毋是乘法逆元素。但根據 ISO 三十一鋪十一應將反正切函數記為 $ \ operatorname { arcsec } z $，因為乎 $ \ sec ^ { 影一 } $ 可能會佮 $ { \ frac { 一 } { \ sec } } $ 透濫，$ { \ frac { 一 } { \ sec } } $ 是餘弦函數。

定義

原始的定義是將正割函數限制佇 $ [零 , \ pi] $（[零 , 一百八十 °]）的反函數佇咧複變分析中，橫直割是按呢訂義的：

$ \ operatorname { arcsec } x=-{ \ mathrm { i } } \ ln \ left ( { \ tfrac { 一 } { x } } + { \ sqrt { 一-{ \ tfrac { \ mathrm { i } } { x ^ { 二 } } } } } \ right ) \ , $

這个動作反正割去予人推廣到複數。

下圖表示推廣到複數的反正割複數平面函數圖樣，會當見著圖中央有一條明顯的橫線拄好是實數中未予定義的區間 [影一 , 一]。

直角三角形中

佇直角三角形內底，橫直割定義為已經知影趨邊 c 佮厝邊頭尾 b 比值對應的 $ \ angle A $ 的大細，也就是講：

$ \ sec ^ { 影一 } { \ frac { \ mathrm { Hypotenuse } } { \ mathrm { Adjacent } } }=\ theta \ , \ ! $

• *

此外佇咧直角三角形內底，若已經知影趨邊仔做 $ x $ 而且厝邊為單位長，$ x $ 橫直割可求愛對應的角色的大細：

$ \ sec ^ { 影一 } x=\ operatorname { arcsec } x=\ theta \ , \ ! $

所以，根據畢氏定理會當使致橫直割利用其他反三角函數表示：

$ \ sin ( \ operatorname { arcsec } x )={ \ frac { \ sqrt { x ^ { 二 } 影一 } } { x } } $

$ \ cos ( \ operatorname { arcsec } x )={ \ frac { 一 } { x } } $

$ \ tan ( \ operatorname { arcsec } x )={ \ sqrt { x ^ { 二 } 影一 } } $

直角坐標系中

若是 $ \ alpha $ 是平面直角坐標系 xOy 中的一个未知的象限角，$ P \ left ( { x , y } \ right ) $ 是角的終邊較上咧，$ r={ \ sqrt { x ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } > 零 $ 是 P 到原點 O 的距離，若已經 $ { \ frac { r } { x } } \ , \ ! $，愛用橫直來割求得未知的象限角 $ \ alpha $：

$ \ sec ^ { 影一 } { \ frac { r } { x } }=\ operatorname { arcsec } { \ frac { r } { x } }=\ alpha \ , \ ! $

級數定義

反正割函數會用使用無窮級數定義：

$ { \ begin { aligned } \ operatorname { arcsec } z & { }=\ arccos \ left ( { \ frac { 一 } { z } } \ right ) \ \ & { }={ \ frac { \ pi } { 二 } }-[z ^ { 影一 } + \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ right ) { \ frac { z ^ { ma三 } } { 三 } } + \ left ( { \ frac { 一 \ cdot 三 } { 二 \ cdot 四 } } \ right ) { \ frac { z ^ { 鋪五 } } { 五 } } + \ left ( { \ frac { 一 \ cdot 三 \ cdot 五 } { 二 \ cdot 四 \ cdot 六 } } \ right ) { \ frac { z ^ { 鋪七 } } { 七 } } + \ cdots] \ \ & { }={ \ frac { \ pi } { 二 } }-\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ left [{ \ frac { ( 二 n ) ! } { 二 ^ { 二 n } ( n ! ) ^ { 二 } } } \ right] { \ frac { z ^ {-( 二 n + 一 ) } } { ( 二 n + 一 ) } } ; \ qquad \ left | z \ right | \ geq 一 \ end { aligned } } $

反正割函數的泰勒展開式為：

$ \ operatorname { arcsec } x={ \ frac { \ pi } { 二 } }-\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 二 n 影一 ) ! ! } { ( 二 n + 一 ) ( 二 n ) ! ! } } x ^ { 鋪二 n 影一 }={ \ frac { \ pi } { 二 } }-{ \ frac { 一 } { x } }-{ \ frac { 一 } { 六 x ^ { 三 } } }-{ \ frac { 三 } { 四十 x ^ { 五 } } }-{ \ frac { 五 } { 一百十二 x ^ { 七 } } }-\ cdots $

參見

• 反餘弦
• 正割
• 餘弦

外部連結

• 埃里克 ・ 韋斯坦因為 . Inverse Secant . MathWorld .
• 埃里克 ・ 韋斯坦因為 . Arcsecant . MathWorld .