雞卵行
佇咧數學中，雞卵行是平面上到兩个相異固定點的距離之佮普通數的點心跡。
根據應該定義，會當用手畫雞卵行：先準備一條線，共這條線的兩爿縛咧固定的點頂懸（這兩个點就當做是雞卵行的兩个焦點，而且距離小於線長）； 取一支筆，用筆尖將線繃予絚，這時陣兩个點和筆就形成一个三角形（的兩爿）； 然後左右徙動筆尖搝線開始作圖，繼續使線繃予絚，最後就會當完成一个雞卵行圖形。
因為兩个固定點之間的距離嘛是一定的，所以會當省去縛佇點頂這步驟改共線縛做環狀，然後以筆尖佮這兩个焦點將線繃直即可。下同。
概述
雞卵行是一種圓錐的曲線：若一个平面切全一个圓錐面，而且無和伊的底面相交插，嘛無佮伊的底面平行，是圓錐佮平面交節線是一个雞卵行。
佇代數頂懸講，雞卵行是佇𥰔仔卡爾平面上如下形式的方程所定義的曲線
- $ Ax ^ { 二 } + Bxy + Cy ^ { 二 } + Dx + Ey + F=零 \ , $
予得 $ B ^ { 二 } < 四 AC \ , $，遮的係數攏是實數，並存在定義佇咧雞卵行的點著 ( x , y ) 的加於一个的解。
穿過兩焦點並總算雞卵行的線段 AB 叫做長軸。長心肝是通過連接雞卵行的兩點所會當得著的上長線段。穿過中心（兩焦點的連線的中點）垂直於長軸並且總算雞卵行的線段 CD 叫做短軸。半長軸（圖內底指示為 _ a _）是上尾的一半：對中心通過一个焦點到雞卵行的邊仔的線段。半短軸（圖內底指示為 _ b _）是短心的一半。
若兩个焦點閣重合，則這个雞卵行是圓；嘛會使講，圓是離心率做零的雞卵行。
中心佇原點的雞卵行 $ Ax ^ { 二 } + Bxy + Cy ^ { 二 }=一 \ , $ 會當予人看做單位圓佇咧關聯對稱矩陣 $ A ^ { \ prime }={ \ begin { bmatrix } A & B / 二 \ \ B / 二 & C \ end { bmatrix } }=PDP ^ { T } \ , $ 線性映射下的圖像，遮的 D 是帶有 $ A ^ { \ prime } $ 特徵值的對角矩陣，二者沿主對角線攏是正實數的，而且 P 是擁有 $ A ^ { \ prime } $ 的特徵向量作為縱列的實數的酉矩陣。雞卵行的長短路分別沿 $ A ^ { \ prime } $ 的兩个特徵向量的方向，兩个佮之對應的特徵值分別是半長軸和半短軸伊的長度平方的倒算講。
雞卵行會當過對一个圓的所有點的 _ x _ 坐標乘以一个常數而無改變 _ y _ 坐標來生成。
離心率
雞卵行的形會當用叫雞卵行的離心率的一个數來表達，習慣指示為著 $ \ varepsilon \ , $。離心率是比較較大於等於零的實數。離心率零表示對兩个焦點重合這个雞卵行是圓。
所以對有半長心 _ a _ 佮半短仔 _ b _ 的雞卵行，離心率是
- $ \ varepsilon={ \ sqrt { 一-{ \ frac { b ^ { 二 } } { a ^ { 二 } } } } } $
離心率愈大，_ a _ 佮 _ b _ 的比率就愈大，毋才會雞卵行去予人閣較搝長。
半焦距 _ c _ 等於對中心到任一點點仔的距離，
- $ c={ \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } $
著
- $ \ varepsilon={ \ frac { c } { a } } $
半焦距 _ c _ 嘛叫雞卵行的線性離心率。佇咧兩个焦點間的距離是二 _ c _=二 _ a _ ε。
四角勢
中心徛佇咧點心 $ ( h , k ) $ 的主題平行佇咧 _ x _ 軸的雞卵行由如下跤程指定
- $ { \ frac { ( x-h ) ^ { 二 } } { a ^ { 二 } } } + { \ frac { ( y-k ) ^ { 二 } } { b ^ { 二 } } }=一 $
這个雞卵行會當參數化表達為
- $ x=h + a \ , \ cos t , \ , \ ! $
- $ y=k + b \ , \ sin t \ , \ ! $
遮的 $ t $ 會當限制佇區間 $-\ pi \ leq t \ leq \ pi \ , \ ! $。
若是 $ h=零 $ 而且 $ k=零 $（就是講乎，若中心是原點 ( 零 , 零 ) )，著
- $ x=a \ , \ cos t , \ , \ ! $
- $ y=b \ , \ sin t \ , \ ! $
這个參數方程公示兩个方向互相垂直的簡諧運動 ( 表現成做有周期性的簡諧波 ) 合成做閉合的雞卵行周期性運動（表現你彼个軌跡是雞卵行）。
相對中心的極坐標形式來講
用極坐標會當表達為
- $ { \ overline { CP } }=r'={ \ frac { ab } { \ sqrt { a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } \ psi + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } \ psi } } }={ \ frac { b } { \ sqrt { 一-\ varepsilon ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } \ psi } } } $
遮的 $ \ varepsilon $ 是雞卵行的離心率；$ \ psi $ 是 $ { \ overline { CB } } $ 佮 $ { \ overline { CP } } $ 的夾角
相對焦點的極坐標形式出現
有一个焦點佇原點的雞卵行的極坐標方面是
- $ { \ overline { F _ { 一 } P } }=r={ \ frac { a \ cdot ( 一-\ varepsilon ^ { 二 } ) } { 一-\ varepsilon \ cdot \ cos \ theta } } $
遮的 $ \ theta $ 是 $ { \ overline { F _ { 一 } B } } $ 佮 $ { \ overline { F _ { 一 } P } } $ 的夾角
半正焦絃和極坐標
雞卵行的半種焦絃 ( 通常指示講 $ \ ell \ , \ ! $ )，是對雞卵行的一个焦點到雞卵行自身，沿徛直主軸的直線測量的距離。伊有關於 $ a \ , \ ! $ 和 $ b \ , \ ! $（雞卵行的半路）， 通過公式 $ a \ ell=b ^ { 二 } \ , \ ! $ 抑是若咧使用離心率 $ \ ell=a \ cdot ( 一-\ varepsilon ^ { 二 } ) \ , \ ! $。
佇咧極坐標中，一个焦點佇咧原點另外一个焦點佇咧負 _ x _ 軸上的雞卵行予出自方程
- $ r \ cdot ( 一 + \ varepsilon \ cdot \ cos \ theta )=\ ell \ , \ ! $
雞卵行會當予人看做是圓的投影：佇水平面有角度 φ 的平面上的圓垂直投影去到水平面上予出離心率 sin φ 的雞卵行，假定 φ 毋是九十 °。
面積佮周長
雞卵行的所包圍的面積是 $ \ pi ab \ , $，遮的 $ a \ , $，和 $ b \ , $， 是半長軸佮半短軸。伊咧圓的狀況下 $ a=b \ , $，表達式簡化為 $ \ pi a ^ { 二 } \ , $。
雞卵行的周長是 $ 四 aE ( { \ frac { c } { a } } ) $，遮的函數 $ E \ , $ 是第二類完全雞卵行分。
周長為：$ C=四 a \ int _ { 零 } ^ { \ frac { \ pi } { 二 } } { \ sqrt { 一-\ left ( { \ frac { c } { a } } \ right ) ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } \ theta } } \ { \ rm { d } } \ theta \ ! $ 抑是講 $ C=四 a \ int _ { 零 } ^ { 一 } { \ frac { \ sqrt { 一-\ left ( { \ frac { c } { a } } \ right ) ^ { 二 } t ^ { 二 } } } { \ sqrt { 一-t ^ { 二 } } } } \ { \ rm { d } } t . \ ! $
精確的無窮級數為：
- $ C=二 \ pi a \ left [{ 一-\ left ( { 一 \ over 二 } \ right ) ^ { 二 } { \ frac { c ^ { 二 } } { a ^ { 二 } } }-\ left ( { 一 \ cdot 三 \ over 二 \ cdot 四 } \ right ) ^ { 二 } { c ^ { 四 } \ over { 三 a ^ { 四 } } }-\ left ( { 一 \ cdot 三 \ cdot 五 \ over 二 \ cdot 四 \ cdot 六 } \ right ) ^ { 二 } { c ^ { 六 } \ over { 五 a ^ { 六 } } }-\ dots } \ right] \ ! \ , $
抑是：
- $ C=鋪二 \ pi a \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ left \ lbrace \ left [\ prod _ { m=一 } ^ { n } \ left ( { 二 m 影一 \ over 二 m } \ right ) \ right] ^ { 二 } { c ^ { 二 n } \ over { { a ^ { 二 n } } \ left ( 二 n 影一 \ right ) } } \ right \ rbrace } $
搝馬努金予出來較接近的式：
- $ C \ approx \ pi \ left [三 ( a + b )-{ \ sqrt { ( 三 a + b ) ( a + 三 b ) } } \ right] \ ! \ , $
伊閣會當寫為：
- $ C \ approx 三 a \ pi \ left [一 + { \ sqrt { 一-\ left ( { \ frac { c } { a } } \ right ) ^ { 二 } } } \ right]-a \ pi { \ sqrt { \ left [三 + { \ sqrt { 一-\ left ( { \ frac { c } { a } } \ right ) ^ { 二 } } } \ right] \ left [一 + 三 { \ sqrt { 一-\ left ( { \ frac { c } { a } } \ right ) ^ { 二 } } } \ right] } } \ ! \ , $
閣有一條近來若像真懸的公式：
- $ C \ approx \ pi ( a + b ) \ left [一 + { \ frac { 三 \ left ( { \ frac { a-b } { a + b } } \ right ) ^ { 二 } } { 十 + { \ sqrt { 四配三 \ left ( { \ frac { a-b } { a + b } } \ right ) ^ { 二 } } } } } \ right] \ left [一 + \ left ( { \ frac { 二十二 } { 七 \ pi } } 影一 \ right ) \ left ( { \ frac { a-b } { a } } \ right ) ^ { 三十三 } { \ sqrt [ { 一千 }] { \ left ( { \ frac { a-b } { a } } \ right ) ^ { 六百九十七 } } } \ right ] \ ! \ , $
標準方程的推導
- 若佇一个平面內一个動點到兩个定點的距離佮等於定長，遮爾仔這个動點的軌跡叫雞卵行。
準講（注意所有的準講干焦為著導出雞卵行的時陣較簡便）動點為 $ P ( x , y ) \ , $，兩个定點共 $ F _ { 一 } (-c , 零 ) \ , $ 和 $ F _ { 二 } ( c , 零 ) \ , $，是根據定義，動點 $ P $ 軌跡的程度滿足（定義式）：
- $ | PF _ { 一 } | + | PF _ { 二 } |=二 a ( a > 零 ) \ , $，其中 $ 二 a \ , $ 為定長。
用兩點的距離公式會當：$ | PF _ { 一 } |={ \ sqrt { ( x + c ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } \ , $，$ | PF _ { 二 } |={ \ sqrt { ( x-c ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } \ , $，代入定義式內底，得：
- $ { \ sqrt { \ left ( x + c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } + { \ sqrt { \ left ( x-c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } }=二 a \ , $ ①
上式倒爿分子鬥出平方差，並化簡，得：
- $ { \ frac { \ left ( x + c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 }-\ left [\ left ( x-c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } \ right] } { { \ sqrt { \ left ( x + c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } }-{ \ sqrt { \ left ( x-c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } } }=二 a \ , $
頂懸的分子大部分消，分母移項嘛會得
- $ { \ sqrt { \ left ( x + c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } }-{ \ sqrt { \ left ( x + c \ right ) ^ { 二 } + y ^ { 二 } } }={ \ frac { 二 xc } { a } } \ , $ ②
①、② 相加並平方，整理甲
- $ x ^ { 二 } \ left ( { \ frac { a ^ { 二 }-c ^ { 二 } } { a ^ { 二 } } } \ right ) + y ^ { 二 }=a ^ { 二 }-c ^ { 二 } \ , $
當 $ a > c \ , $ 時，並設 $ a ^ { 二 }-c ^ { 二 }=b ^ { 二 } \ , $，則上式會當進一步化簡：
- $ x ^ { 二 } { \ frac { b ^ { 二 } } { a ^ { 二 } } } + y ^ { 二 }=b ^ { 二 } \ , $
因為乎 $ b ^ { 二 } > 零 \ , $，將上式兩爿同除以 $ b ^ { 二 } \ , $，可得：
- $ { \ frac { x ^ { 二 } } { a ^ { 二 } } } + { \ frac { y ^ { 二 } } { b ^ { 二 } } }=一 \ , $
是該方程就去振動點 $ P $ 的軌跡頂懸，即雞卵行的方程。彼个形體嘛是雞卵行的標準方程。
- 雞卵行的圖像若佇咧直角坐標系中表示，遐爾仔上述定義中兩个定點予人定義佇咧矣 _ x _ 軸。若共兩个定點改佇咧 _ y _ 軸，會當用仝款的方法求出另外一个雞卵行的標準方程：
- $ { \ frac { y ^ { 二 } } { a ^ { 二 } } } + { \ frac { x ^ { 二 } } { b ^ { 二 } } }=一 ( a > b > 零 ) \ , $
- 佇方面的時陣，所設的 $ 二 a \ , $ 講號做長軸長，$ 二 b \ , $ 號做短軸長，而且所設的定點叫做焦點，遐爾 $ 二 c \ , $ 叫做焦距離。佇咧假設的過程內底，假使矣 $ a > c \ , $，若是無按呢假設，會發現了無雞卵行。當 $ a=c \ , $ 時，這个動點的影跡是一个線段；當 $ a < c \ , $ 時，根本就無到實際存在的跤跡，啊若這陣，其他的軌跡叫做虛雞卵行。另外猶閣注意，佇咧假使講，閣一位：$ a ^ { 二 }-c ^ { 二 }=b ^ { 二 } \ , $。
- 通常認為是雞卵行的一種特殊情況。
雞卵行的旋轉和平移
對平面上任意雞卵行 $ Ax ^ { 二 } + 二 Bxy + Cy ^ { 二 } + Dx + Ey + F=零 \ , $，總是會當共這个轉化做
- $ A ( x-u ) ^ { 二 } + 二 B ( x-u ) ( y-v ) + C ( y-v ) ^ { 二 } + f=零 \ , $
彼个形體。具體部份攏是，共後式的各乘積乘方項展開，根據佮前式對應項係數相等的法則便可求得 u , v , f 的值。其中，$ ( u , v ) \ , $ 就是雞卵行的中心（f=零）。
若共
- $ x=x ^ { \ prime }-u $
- $ y=y ^ { \ prime }-v $
代入式內底就會當得著平移前的雞卵行。
若是 $ B \ neq 零 $，表示雞卵行的長短佮坐標系的坐標題並無平行抑是垂直，即發生了旋轉。設旋轉的角度為 $ \ displaystyle \ varphi $，則有
- $ \ displaystyle tan ( 二 \ varphi )={ \ frac { 二 B } { A-C } } $
當 $ A-C=零 $，是說明 $ \ varphi=\ pm { \ frac { \ pi } { 四 } } $。
若共
- $ x=x ^ { \ prime } \ cos \ varphi-y ^ { \ prime } \ sin \ varphi $
- $ y=y ^ { \ prime } \ cos \ varphi + x ^ { \ prime } \ sin \ varphi $
代入式內面就會當得著旋轉進前的雞卵行。
漸漸開線佮其導數
- $ { \ begin { cases } x=a \ cos t + { \ cfrac { abE \ left ( t , { \ cfrac { \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } { a } } \ right ) \ sin t } { \ sqrt { a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t } } } \ ! \ , \ \ \ \ y=b \ sin t + { \ cfrac { b ^ { 二 } E \ left ( t , { \ cfrac { \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } { a } } \ right ) \ cos t } { \ sqrt { a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t } } } \ ! \ , \ \ \ end { cases } } $
- $ { \ begin { cases } { \ cfrac { { \ rm { d } } x } { \ rm { { d } t } } }={ \ cfrac { \ left [b ^ { 二 } \ sin 二 t 鋪二 b ^ { 二 } \ sin t \ cdot E \ left ( t , { \ cfrac { \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } { a } } \ right ) \ right] \ left ( a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t \ right )-ab \ left ( a ^ { 二 }-b ^ { 二 } \ right ) \ sin 二 t \ cdot E \ left ( t , { \ cfrac { \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } { a } } \ right ) \ sin t } { 二 \ left ( a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t \ right ) { \ sqrt { a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t } } } }-a \ sin t \ ! \ , \ \ \ \ { \ cfrac { { \ rm { d } } y } { \ rm { { d } t } } }={ \ cfrac { \ left [b ^ { 三 } \ sin 二 t 鋪二 ab ^ { 二 } \ sin t \ cdot E \ left ( t , { \ cfrac { \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } { a } } \ right ) \ right] \ left ( a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t \ right )-ab ^ { 二 } \ left ( a ^ { 二 }-b ^ { 二 } \ right ) \ sin 二 t \ cdot E \ left ( t , { \ cfrac { \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } { a } } \ right ) \ sin t } { 二 a \ left ( a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t \ right ) { \ sqrt { a ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } t + b ^ { 二 } \ cos ^ { 二 } t } } } } + b \ cos t \ ! \ , \ \ \ end { cases } } $
有了雞卵行漸漸開線的導數，會當計算講伊的長度，其中 $ E \ left ( t , { \ frac { \ sqrt { a ^ { 二 }-b ^ { 二 } } } { a } } \ right ) \ , $ 是第二類完全雞卵行分。
參見
- 圓錐曲線
- 克卜勒定律
- 類球面
- 雞卵行標系
- 雞卵行
- 超雞卵行
- 雞卵行
- 三-雞卵行
外部連結
- 明仔載初西方雞卵行智識佇中國的傳播