虛數單位

佇咧數學、物理佮工程學內底，虛數單位是講二次方程式 $ x ^ { 二 } + 一=零 $ 的解。雖然無按呢的實數會當滿足這个二次方程式，會當通過虛數單位將實數系統 $ \ mathbb { R } $ 延伸到複數系統 $ \ mathbb { C } $。延伸的主要動機為有真濟實係數多項式方程式無實數解。譬論拄才咱講著的方程式 $ x ^ { 二 } + 一=零 $ 就無實數解。毋過設死咱允准解答做虛數，按呢這方程式佮所有的多項式方程式攏有解。虛數單位標記做 $ i $，佇咧電機工程佮相關領域當中伊的標記做 $ j $，這是為著避免佮電流（記為 $ i ( t ) $ 抑是 $ i $）透濫。

定義

虛數單位 $ i $ 定義為二次方程式 $ x ^ { 二 } + 一=零 $ 的兩个根內底的一个。這方程式閣會當等價數表達為：

$ { { x } ^ { 二 } }=影一 $。

因為實數的平方絕對無可能是負數，咱準講有遮爾一个數目欲解答，共伊設定一个符號 $ i $。一个足重要的點是，$ i $ 是一个良定義的數學構造。

另外咧，虛數單位仝款會當表示講：

$ i={ \ sqrt {-{ 一 } } } $

毋過 $ i={ \ sqrt {-{ 一 } } } $ 準若是予人誤認為是毋著的，𪜶的證明的方法是：

因為乎 $ 影一=i \ cdot i=\ left ( { \ sqrt { 影一 } } \ right ) \ times \ left ( { \ sqrt { 影一 } } \ right )={ \ sqrt { \ left ( 影一 \ right ) \ times \ left ( 影一 \ right ) } }={ \ sqrt { 一 } }=一 $，猶毋過-一無等於一。

毋過若請注意：$ { \ sqrt { a \ cdot b } }={ \ sqrt { a } } \ cdot { \ sqrt { b } } $ 成立的條件有 $ a $ , $ b $ 袂當為負數。

實數運算會當延伸到虛數佮複數。計算一个表達式的時陣，咱只要假使講 $ i $ 是一个未知數，然後依照 $ i $ 的定義，替代任何 $ i ^ { 二 } $ 會出現為著-一。$ i $ 的閣較懸整數冪數嘛會當替代為 $-i $，$ 一 $，抑是 $ i $，根據下述方程式：

$ i ^ { 三 }=i ^ { 二 } i=( 影一 ) i=-i $，

$ i ^ { 四 }=i ^ { 三 } i=(-i ) i=-( i ^ { 二 } )=-( 影一 )=一 $，

$ i ^ { 五 }=i ^ { 四 } i=( 一 ) i=i $。

一般地，有以下的公式按呢：

$ i ^ { 四 n }=一 $

$ i ^ { 四 n + 一 }=i $

$ i ^ { 四 n + 二 }=影一 $

$ i ^ { 四 n + 三 }=-i $

$ i ^ { n }=i ^ { n { \ bmod { 四 } } } $

其中 $ { \ bmod { 四 } } $ 表示被四除的餘數。

_ i _ 和-_ i _

方程式 $ x ^ { 二 }=影一 $ 有兩个無仝款的解，𪜶攏是有效的，而且互為共車的虛數佮倒算。閣較確切地，一旦固定了方程式的一个解 $ i $，遐爾 $-i $（無等於 $ i $）嘛是一个解，因為這个方程式是 $ i $ 唯一的定義，因此這个定義表面上有歧義。毋過，只要共其中一个解選定，並固定做 $ i $，按呢實際上是無歧義的。這是因為，雖然 $-i $ 和 $ i $ 佇數量上毋是相等的（𪜶是一對共車的虛數）， 猶毋過 $ i $ 和 $-i $ 中間無質量上的共區別（板一和 + 一就毋是按呢）。 佇任何的等式中同時將所有 i 替換做-i，該等式猶原成立。

$-i ^ { 二 }=一 $

$-i=i ^ { 影一 }={ \ frac { 一 } { i } } $

正當使用

虛數單位有當時仔記為 $ { \ sqrt { 影一 } } $。猶毋過，使用這種記法的時陣需要非常謹慎，這是因為有的咧實數範圍內成立的公式佇咧複數的範圍內並無成立。比如講，公式 $ { \ sqrt { a } } \ cdot { \ sqrt { b } }={ \ sqrt { a \ cdot b } } $ 干焦對非負的實數 $ a $ 和 $ b $ 才成立。

假若這个關係佇咧虛數猶原成立，則會出現以下的情形：

$ 影一=i \ cdot i={ \ sqrt { 影一 } } \ cdot { \ sqrt { 影一 } }={ \ sqrt { ( 影一 ) \ cdot ( 影一 ) } }={ \ sqrt { 一 } }=一 $（無正確）

$ 影一=i \ cdot i=\ pm { \ sqrt { 影一 } } \ cdot \ pm { \ sqrt { 影一 } }=\ pm { \ sqrt { ( 影一 ) \ cdot ( 影一 ) } }=\ pm { \ sqrt { 一 } }=\ pm 一 $（無正確）

$ { \ frac { 一 } { i } }={ \ frac { \ sqrt { 一 } } { \ sqrt { 影一 } } }={ \ sqrt { \ frac { 一 } { 影一 } } }={ \ sqrt { 影一 } }=i $（無正確）

_ i _ 的運算

算真濟的運算攏會當推廣到 $ i $，比如講平方根、冪、對數佮三角函數。以下運算除頭一項外，攏做佮 $ i $ 有關的多值函數，佇實際應用的時著愛指明函數的定義選擇佇黎曼面的佗一支。下跤列出的干焦上捷採用的黎曼面分支的計算結果。

• $ i $ 的平方根為：

$ \ pm \ left ( { \ frac { \ sqrt { 二 } } { 二 } } + { \ frac { \ sqrt { 二 } } { 二 } } i \ right )=\ pm { \ frac { \ sqrt { 二 } } { 二 } } ( 一 + i ) $

這是因為：

$ { \ begin { aligned } \ left [\ pm { \ frac { \ sqrt { 二 } } { 二 } } ( 一 + i ) \ right] ^ { 二 } &=\ left ( \ pm { \ frac { \ sqrt { 二 } } { 二 } } \ right ) ^ { 二 } ( 一 + i ) ^ { 二 } \ \ \ &={ \ frac { 一 } { 二 } } ( 一 + 二 i + i ^ { 二 } ) \ \ &={ \ frac { 一 } { 二 } } ( 一 + 二 i 影一 ) \ \ &=i \ end { aligned } } $

使用主平方根符號表示：

$ { \ sqrt { i } }={ \ frac { \ sqrt { 二 } } { 二 } } ( 一 + i ) $

其解法為先假設兩實數 $ x $ 佮 $ y $，予得 $ ( x + iy ) ^ { 二 }=i $，求解 $ x , y $ * 一个數的 $ ni $ 次冪為：

$ x ^ { ni }=\ cos \ ln x ^ { n } + i \ sin \ ln x ^ { n } $

一个數的 $ ni $ 次方根為：

$ { \ sqrt [{ ni }] { x } }=\ cos \ ln { \ sqrt [{ n }] { x } }-i \ sin \ ln { \ sqrt [{ n }] { x } } $

利用歐拉公式

$ i ^ { i }=\ left [e ^ { i ( { \ frac { \ pi } { 二 } } + 二 k \ pi ) } \ right] ^ { i }=e ^ { i ^ { 二 } ( { \ frac { \ pi } { 二 } } + 二 k \ pi ) }=e ^ {-( { \ frac { \ pi } { 二 } } + 二 k \ pi ) } $，$ k \ in \ mathbb { Z } $

代入無仝款的 $ k $ 值，會當算出無限濟的解。當 $ k=零 $ 上細漢的解是 $ e ^ {-{ \ frac { \ pi } { 二 } } } \ approx $ 空五二空七八七九五七六三五空七六 . . .

• 以 $ i $ 為底的對數為：

$ \ log _ { i } x={ { 二 \ ln x } \ over i \ pi } $

• $ i $ 的餘弦是一个實數：

$ \ cos i=\ cosh 一={ { e + { \ frac { 一 } { e } } } \ over 二 }={ { e ^ { 二 } + 一 } \ over 二 e } \ approx $ 一四五四三空八空六三四八一五二 . . .

• $ i $ 的正絃是純虛數：

$ \ sin i=i \ sinh 一={ { e-{ \ frac { 一 } { e } } } \ over 二 } i={ { e ^ { 二 } 影一 } \ over 二 e } i \ approx $ 一孵一七五二空一一九三六四三八 . . . $ i $

佇咧程式語言

• 大部份的程式語言攏無提供虛數單位，而且平方根函數 ( 為足濟為sqrt ( )抑是Math . Sqrt ( )) 的引數袂當是負數，所以，著愛家己建立類別後壁通使用。
• 猶毋過 Lisp 的真濟實現佮方言，如 Common Lisp，內建虛數佮複數的支持。袂少有動態的語言受著影響，嘛佇咧語言本身標準庫內底支持虛數佮複數，如 Python、Ruby。
• 一寡這个傳統的程式語言，如 C 語言，也對 C 九十九開始支持虛數佮複數。
• 佇咧 Matlab，虛數單位的表示方法為i抑是j，猶毋過i和j佇咧 for 轉和會當有其他的用途。
• 佇咧 Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚抑是𝕛。
• 佇咧 Maple，著愛啟用虛數功能，並選擇用i抑是j表示虛數單位。
• Go 語言佇頭一變明顯的零版就內建虛數佮複數的支持，變數類型做 ` complex 六十四 ` 和 ` complex 一百二十八 `。

參見

• 代數基本定理
• 虛數
• 複數平面
• 單位根
• i

參考文獻

• Paul J . Nahin , An Imaginary Tale , The Story of √ 影一 , Princeton University Press , 一千九百九十八

外部連結

• 歐拉對多項式的複數根的研究
• i 做為-一的平方根（英文視頻）
• $ i ^ { 七千三百二十一 } $ 的計算方法舉例（英文視頻）