黃金比例

黃金比例（英語：golden ratio）， 閣稱黃金比、黃金分割比、人講的黃金分割率，是數學常數，一般以希臘字母 $ \ varphi $ 表示。會當下這个代數式定義：

$ { \ frac { a + b } { a } }={ \ frac { a } { b } } \ , { \ stackrel { \ text { def } } {=} } \ , \ varphi \ quad ( a > b > 零 ) $

這嘛是黃金比一名的由來。 黃金比是沒有理數，準確值為 $ { \ frac { 一 + { \ sqrt { 五 } } } { 二 } } $，約值（小數點了後二十位， A 一千六百二十二）：

$ \ varphi $＝一孵六一八空三三百九十八石八千七百四十九石八千九百四十八石四千八百二十…

應用的時陣一般號一爿六一八，親像圓周率佇咧應用的時陣三分一四一六仝款。

黃金比有嚴格的藝術感、和諧感，蘊藏豐富的美學價值，而且呈現佇袂少動物佮植物外觀。這馬普遍足多工業產品、電子產品、建築物抑是藝術品攏應用黃金比，使其閣較美觀。

歷史

黃金比例是屬於數學領域的專有名詞，但最後涵蓋的內容毋但是有關數學領域的研究，根據目前的文獻探討，咱會當講，黃金比的到今猶閣有按怎演進到今猶閣有。毋過有研究指出公元前六世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，現代數學家推斷講彼當陣畢達哥拉斯學派已經有及甚至掌握黃金比的一寡規則，嘛發現無理數。伊邊仔重新佇對數學關係去探討美的規律，並認為媠就是和諧和比例，照這个比例關係就會當組成美的圖樣，這其實是一个數字的比例關係，即將一條線分做兩部份，長段佮短段之比等於是全長佮長段之比，𪜶的比例大約是一堵六一八比一，知名的費氏數列嘛體現矣這數學原則，按呢的比例關係組成的任何事物攏表現出其內部關係的和諧和諧和均衡。

公元前四世紀，古希臘數學家歐多克索斯頭一个系統研究了這一个問題，並且建立比例理論。公元前三百年前後歐幾里著愛編寫《幾何原本》的時陣吸收歐外克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金比，成做上早的有關黃金比的論著（即中末比）。

中世紀了後，黃金比被披著神秘的外衫，義大利數學家盧卡 ・ 帕喬利稱中尾比為神聖比例，並且專門為這个冊立講。德國天文學家約翰內斯 ・ 克卜勒稱神聖比例做黃金比。到十九世紀黃金比一名才漸漸通行，啊若證據佇咧德國數學家馬丁 ・ 歐姆所寫的《基本純數學》第二版注釋中有關黃金比的解說：「 人阮慣勢共按呢方式共任一直線分割兩部份的方法，號做黃金比」。 佇一八七五年出版的《大英百科全冊》第九版內底，蘇利有講著：「 由費區彼…… 提出的趣味、實驗性厚厚的想法宣稱，『 黃金比』佇咧視覺比例有所謂的優越性。」可見黃金比佇咧彼陣已經甚為流行。二十世紀的時美國數學家馬克 ・ 巴爾予伊名叫做 phi。黃金比有真濟趣味的性質，人類對伊的實際應用嘛足廣的，造就著矣伊今仔日的名。上出名的例是優選學的黃金比法抑是空七六一八法，是由美國數學家傑克 ・ 基礎佇一九五三年代先提出，七空年代佇中國推廣。

基本計算

兩个數值 $ a $ 和 $ b $ 構成黃金比例 $ \ varphi $，若是：$ { \ frac { a + b } { a } }={ \ frac { a } { b } }=\ varphi $

一个會出 $ \ varphi $ 數值的方法是對倒手爿的分數式踏手。經過簡化佮代入，

$ { \ frac { a + b } { a} }={ \ frac { a } { a } } + { \ frac { b } { a } }=一 + { \ frac { b } { a } }=一 + { \ frac { 一 } { \ varphi } } $

所以：

$ 一 + { \ frac { 一 } { \varphi } }=\ varphi $

兩爿乘以 $ \ varphi $ 就得到：

$ \ varphi + 一=\ varphi ^ { 二 } $

即是 $ { \ varphi } ^ { 二 }-\ varphi影一=零 $

揣出該方程的正解，

$ \ varphi={ \ frac { 一 + { \ sqrt { 五 } } } { 二 } }=一孵六一八空三三九八八七 \ ldots $

黃金比奇妙的所在佇咧其中倒算做家己減一， 即空吱六一八…＝一孵六一八…－一，並常在號做「黃金比例共擔」。

對懸頂的 $ 一 + { \ frac { 一 } { \ varphi } }=\ varphi $ 得著：

$ { \ frac { 一 } { \ varphi } }=\ varphi 影一 $

空七六一八…的數值常用希臘字母 $ \ Phi $ 表示，即：

$ \ Phi={ 一 \ over \ varphi }={ 一 \ over 一孵六一八空三三九八百八十七 \ ldots } $＝空八六一八空三三九八八七…，亦可表達為：

$ \ Phi $＝$ \ varphi $－一＝一孵六一八空三三九八八七…－一＝空八六一八空三三九八八七…

替代抑是其他的形式

公式 $ \ varphi=一 + { \ frac { 一 } { \ varphi } } $ 會當遞歸擴展來得著黃金比的連分數：

$ \ varphi=[一 ; 一 , 一 , 一 , \ dots]=一 +{ \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 一 } { 一 + \ ddots } } } } } } $

啊若伊的倒數是：

$ \ varphi ^ { 影一 }=[ 零 ; 一 , 一 , 一 , \ dots]=零 + { \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 一 } { 一 + \ ddots } } } } } } $

平方根表示：

$ \ varphi={ \ sqrt { 一 + { \ sqrt { 一 + { \ sqrt { 一 + { \ sqrt { 一 + . . . } } } } } } } } $

以三角函數的特殊值表示：

$ \ varphi={ \ frac { 十三 } { 八 } } + \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { ( n + 一 ) } ( 二 n + 一 ) ! } { ( n + 二 ) ! n ! 四 ^ { ( 二 n + 三 ) } } } . $

即是：

$ \ varphi=一 + 二 \ sin ( { \ frac { \ pi } { 十} } )=一 + 二 \ sin 十八 ^ { \ circ } $

$ \ varphi={ 一 \ over 二 } \ csc ( { \ frac { \ pi } { 十 } } )={ 一 \ over 二 } \ csc 十八 ^ { \ circ } $

$ \ varphi=二 \ cos ( { \ frac { \ pi } { 五 } } )=二 \ cos 三十六 ^ { \ circ } $

$ \ varphi=二 \ sin ( { \ frac { 三 \ pi } {十 } } )=二 \ sin 五十四 ^ { \ circ } . $

佮其他的數學事項的關係

黃金比的乘冪佮費氏數列的關係

$ \ varphi ^ { n }=F _ { n 影一 } + \ varphi F _ { n} $ 而且 $ ( 一-\ varphi ) ^ { n }=F _ { n + 一 }-\ varphi F _ { n } $，其中 n 為任何整數，$ F _ { n } $ 是費氏數列的第 _ n _ 項

佮正切函數的關係

$\ tan 二 x=鋪二 $，若是唯一 $ \ tan x=\ varphi $ 抑是 $-{ \ frac { 一 } { \ varphi } } $。

例

• 黃金分割點

• * * * * * *

貴金屬分割

貴金屬分割即 $ { \ frac { n + { \ sqrt { n ^ { 二 } + 四 } } } { 二 } } $，其中 $ n $ 為正整數。$ n=一 $時為黃金比（$ { \ frac { 一 + { \ sqrt { 五 } } } { 二 } } $）， $ n=二 $ 時為白銀比（$ 一 + { \ sqrt { 二 } } $）， $ n=三 $ 時為青銅比（$ { \ frac { 三 + { \ sqrt { 十三 } } } { 二 } } $）。 用連分數會當表示講 $ n + { \ cfrac { 一 } { n + { \ cfrac { 一 } { n + { \ cfrac { 一 } { n + { \ cfrac { 一 } { \ ddots } } } } } } } }=[n; n , n , n , n , \ dots] $

外部連結

• 維基共享資源上的相關多媒體資源：黃金分割率