有限脈的衝響應

有限脈的衝響應（英語：Finite impulse response，縮寫 FIR）濾波器是其脈衝響應為有限長度的濾波器，脈波輸入訊號的響應會佇有限時間內變做零，此特性佮無限脈的衝響應（IIR）濾波器相反，無限脈衝響應濾波器存在反饋迴路，其脈衝響應可能是無限長度的（猶毋過一般會衰減）。

N 階離散時間的 FIR 濾波器，其脈衝響應（對應克羅內克 δ 函數輸入的輸出）咧變做零進前，上濟干焦一直 $ N + 一 $ 略仔提樣點（對第一个非零取樣點，到尾仔一个非零取樣點）。

FIR 濾波器是會當連紲時間的，嘛可能是離散時間的，會當是數位的，嘛可能是類比的。

定義

針對因果離散時間的 N 階濾波器，輸出序列的每一个值攏是最近輸入的加權佮：

$ { \ begin { aligned } y [n] &=b _ { 零 } x [n] + b _ { 一 } x [n 影一] + \ cdots + b _ { N } x [n-N] \ \ &=\ sum _ { i=零 } ^ { N } b _ { i } \ cdot x [n-i] , \ end { aligned } } $

其中

• $ x [n] $ 是輸入訊號
• $ y [n] $ 是輸出訊號
• $ N $ 是濾波器的階數。$ N $ th 階濾波器表示佇正爿有 $ N + 一 $ 項
• $ b _ { i } $ 是 $ N ^ { \ text { th } } $ 階 FIR 濾波器佇咧第 i 時間（$ 零 \ leq i \ leq N $）的脈波響應。若濾波器是直接型的 FIR 濾波器，著 $ b _ { i } $ 也就是濾波器的係數。

計算也叫做離散摺簿仔。

欲講項中的 $ x [n-i] $ 常稱為 tap（東筊）， 依數位延遲線的結構定著，佇真濟實現抑是方塊圖內底，會欲延遲輸入去行乘法運算。

濾波器的衝激響應定義為有限區間內的非零值。包括零值在內，衝激響應該是無限數列：

$ h [n]=\ sum _ { i=零 } ^ { N } b _ { i } \ cdot \ delta [n-i]={ \ begin { cases } b _ { n } & 零 \ leq n \ leq N \ \ 零 & { \ text { otherwise } } . \ end { cases } } $

若是 FIR 濾波器是非因果的，其脈衝響應該是非零值的範圍可能對 $ n=零 $ 前就開始。

特性

FIR 濾波器比較起來 IIR 濾波器，有以下的優點：

• 無需要回授，因為按呢會毋甘去精差袂因為連紲的加總累計。每一改的計算其相對差攏是仝款的，所以佇咧實現較簡單。
• 佇本質上穩定，因為其輸出是有限個輸入值乘以有限倍數的和，因此袂大於著 $ \ sum | b _ { i } | $ 乘以輸入的上大值。
• 若予係數對稱，會當設計成線性相位，這佇一寡相足重要的應用（譬如講資料通訊、地動學抑是分音器）中是真好的特性。

FIR 濾波器的主要欠點是若是要求要求低頻（佮取樣率相對取樣）截止頻率，佇相仝的利劍劍程度抑是選擇性地情形下，佇咧通用處理器的運算量愛比 IIR 濾波器愛大。猶毋過目前有誠濟數位訊號處理器提供特別的硬體來使 FIR 濾波器有類似 IIR 濾波器仝款有效率。

頻率響應

數列 $ x [n] $ 的濾波效果會使用拗積定理，佇頻域咧講：

$ \ underbrace { { \ mathcal { F } } \ { x * h \ } } _ { Y ( \ omega ) }=\ underbrace { { \ mathcal { F } } \ { x \ } } _ { X ( \ omega ) } \ cdot \ underbrace { { \ mathcal { F } } \ { h \ } } _ { H ( \ omega ) } $     and     $ y [n]=x [n] * h [n]={ \ mathcal { F } } ^ { 影一 } { \ big \ { } X ( \ omega ) \ cdot H ( \ omega ) { \ big \ } } , $

其中運算子 $ { \ mathcal { F } } $ 和 $ { \ mathcal { F } } ^ { 影一 } $ 表示離散時間傅立葉變換（DTFT）佮其他的倒數。所以，複數值的乘性函數 $ H ( \ omega ) $ 是濾波器的頻率響應，會當用下的傅立葉級數定義：

$ H _ { 二 \ pi } ( \ omega ) \ \ triangleq \ sum _ { n=-\ infty } ^ { \ infty } h [n] \ cdot \ left ( { e ^ { i \ omega } } \ right ) ^ {-n }=\ sum _ { n=零 } ^ { N } b _ { n } \ cdot \ left ( { e ^ { i \ omega } } \ right ) ^ {-n } , $

其中加上下標表示二 π 週期性。此處的 $ \ omega $ 是正規單位（radians / sample）下的頻率。佇真濟濾波器設計的程式內底攏較捷用 $ \ omega=二 \ pi f , $ 的定義，將頻率單位 $ ( f ) $ 改做 cycles / sample，其禮拜為一。當 x [n] 序數是已知的號樣率 $ f _ { s } $ _ samples / second _，$ \ omega=二 \ pi f / f _ { s } $ 的取代會將頻率單位 $ ( f ) $ 變做是 _ cycles / second _（赫茲）， 周期性是 $ f _ { s } $。$ \ omega=\ pi $ 的值會去對應 $ f={ \ tfrac { f _ { s } } { 二 } } $ _ Hz _ $={ \ tfrac { 一 } { 二 } } $ _ cycles / sample _ 彼个頻率，也就是奈奎斯特頻率。

$ H _ { 二 \ pi } ( \ omega ) $ 也會使用濾波器衝激響應的離散時間的立葉轉換表示：

$ { \ widehat { H } } ( z ) \ \ triangleq \ sum _ { n=-\ infty } ^ { \ infty } h [n] \ cdot z ^ {-n } . $

$ H _ { 二 \ pi } ( \ omega )=\ left . { \ widehat { H } } ( z ) \ , \ right | _ { z=e ^ { j \ omega } }={ \ widehat { H } } ( e ^ { j \ omega } ) . $

濾波器設計

佇設計有限脈的衝響應濾波器的時陣，愛揣著符合特定規格的係數以及階數，規格可能是時域的（匹配濾波器）， 嘛有可能是頻域的（較捷看著的情形）。 匹配濾波器是將輸入訊號佮已知影形狀的脈波進行互相關（cross-correlation）。 FIR 拗積（FIR convolution）是脈波響應的逆時間複本（time-reversed copy）佮輸入訊號進行互相關。因此匹配濾波器的脈波是用針對已經知影脈波進行取樣，才將取樣訊號倒序，做為濾波器的係數。

若希望有特定的頻率響應，以下是一寡捷看著的濾波器設計方式：

一 . 窗函數設計法二 . 頻率取樣法三 . 上細漢 MSE（均方差）法四 . 帕克斯-麥克萊倫演算法（嘛講是等等鋪波法、最佳法抑是 minimax 法）定會用雷米茲演算法來揣最佳等等鋪波的係數。使用者會標示想欲愛的頻率響應，此響應下精差的加權函數，以及濾波器的階數 N。演算法會揣著會當共上大偏徙量降到上低的 $ N + 一 $ 個係數。直覺上，這會當揣著佇只用 $ N + 一 $ 落，上符合期望頻率響應的濾波器。這種方式特別容易實作，因為至少有一本教科書有包括會當用理想濾波器佮階數 _ N _，得著最佳係數的程式。 五 . 等鋪波 FIR 濾波器嘛會當用 DFT 演算法設計。咱這馬本質上是迵天代的，初步濾波器計設計的 DFT 會用得 FFT 演算法計算（若是無初初估計值，會用得 h [n]=delta [n]）。 佇成立葉域下底，會當以想的規格調整頻率響應，後來算反 DFT。佇這个時陣，干焦保留進前 N 個係數（其他的係數設為零）， 了後閣重覆上述的流程：再計算 DFT，佇頻率下調整，閣斡倒轉來。

目前已經有誠濟軟體會使進行濾波器設計，比如講 MATLAB、GNU Octave、Scilab 和 SciPy 等。

徙動平均濾波器的例

徙動平均濾波器是較簡單的 FIR 濾波器，有時會叫做 Boxcar 函數濾波器（特別佇咧了後有降取樣的情形下）。 濾波器的係數 $ b _ { 零 } , \ ldots , b _ { N } $ 會當用伊的公式求了：

$ b _ { i }={ \ frac { 一 } { N + 一 } } $

以下是閣較具體的例，選擇濾波器的階數：

$ N=二 $

其實沖激響應該如下：

$ h [n]={ \ frac { 一 } { 三 } } \ delta [n] + { \ frac { 一 } { 三 } } \ delta [n 影一] + { \ frac { 一 } { 三 } } \ delta [n 鋪二] $

正爿這个方塊圖是以下欲討論的二階徙動平均濾波器。其遞移函數為：

$ H ( z )={ \ frac { 一 } { 三 } } + { \ frac { 一 } { 三 } } z ^ { 影一 } + { \ frac { 一 } { 三 } } z ^ { 鋪二 }={ \ frac { 一 } { 三 } } { \ frac { z ^ { 二 } + z + 一 } { z ^ { 二 } } } . $

後一个圖是濾波器的極零點圖。零頻率（直流）對應 ( 一 , 零 )，正頻率會踅原點逆時針旋轉，一直到 ( − 一 , 零 ) 的奈奎斯特頻率。佇原點有二个極點，兩个零點佇咧 $ z _ { 一 }=-{ \ frac { 一 } { 二 } } + j { \ frac { \ sqrt { 三 } } { 二 } } $，$ z _ { 二 }=-{ \ frac { 一 } { 二 } }-j { \ frac { \ sqrt { 三 } } { 二 } } $。

若以正規化頻率 _ ω _ 表示，頻率響應為：

$ { \ begin { aligned } H \ left ( e ^ { j \ omega } \ right ) &={ \ frac { 一 } { 三 } } + { \ frac { 一 } { 三 } } e ^ {-j \ omega } + { \ frac { 一 } { 三 } } e ^ {-j 二 \ omega } \ \ &={ \ frac { 一 } { 三 } } e ^ {-j \ omega } \ left ( 一 + 二 cos ( \ omega ) \ right ) . \ end { aligned } } $

圖頂懸有其振幅佮相位的響應，毋過這圖嘛會當用脈衝響應的離散傅立葉轉換會著因為其對稱性，濾波器設計抑是顯示軟體多半只會顯示 [零 , π] 區域。會當看出徙動平均濾波器的低頻增益接近一，但是會當減少高頻的訊號，所以講是簡單的低通濾波器。相位圖是線性的，毋過增益降到零時出現無連紲，無連紲的大細是 π，意思是有變號的情形。最後一張圖的振幅允准正負，現此時的相位就攏線性的。

參考文獻

• Jian-Jiun Ding ( 二千空一十三 ) , Advanced Digital Signal Processing [viewed 六分之二十七 / 二千空一十三]

相關條目

• 數位訊號處理
• 數位濾波器
• 電子濾波器
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• 無限脈衝響應（IIR）
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• FIR 傳遞函數
• 濾波器設計
• 級聯積分器—捋狀濾波器
• 牚牢