勞侖次吸引子

勞侖次吸引子（Lorenz attractor）是勞侖次振子（Lorenz oscillator）的長期行為對應的碎形結構，以愛德華 ・ 諾蓋 ・ 勞侖次（Edward Norton Lorenz）的姓號名。勞侖次振子是能產生混流的三維動力系統，閣號做勞侖次系統（Lorenz system）， 其一組混解稱作勞侖次吸引囝，以其雙紐線形來講。映射展示出動力系統（三維系統的三个變量）的狀態是按怎以一種複雜閣無重複的模式，綴時間的推徙而演變的。

簡述

勞侖次吸引子佮其導出的方程組是由愛德華 ・ 諾蓋 ・ 勞侖次佇一九六三年發表，頭仔是發表佇咧《大氣科學雜誌》（_ Journal of the Atmospheric Sciences _）雜誌的論文《_ Deterministic Nonperiodic Flow _》中提出的，是由這个大氣方程式內底出現的對流卷方程式畫會著的。

這一勞侖模型毋但對非線性數學有重要性，對氣候佮天氣預報來講嘛有真重要的含義。行星佮恆星大氣可能會表現出濟款無仝款的準周期狀態，遮的準周期的狀態雖然是完全確定的，毋過煞誠緊發生突變，看起來敢若是隨機變化的，模型對這个現象有明確的表述。

對技術角度看起來，勞侖次振子具有非線性、三維性佮確定性。二空空一年，沃里克 ・ 塔克爾（Warwick Tucker）證明出佇一組確定的參數之下，系統會表現出混和行為，顯示出人今仔日所知的奇異吸引囝。這款的奇巧吸引子是豪斯多夫維數佇二佮三之間的碎形。那個得 ・ 格拉斯伯格（Peter Grassberger）已經一九八三年估算出豪斯多夫維數是二石樵空六 ± 空九九空一，若關聯維數是二交零五 ± 空九九空一。

此系統嘛會出現佇咧單模雷射佮發電機的簡化模型內底。除了這以外，閉環著流、水輪轉動等物理模型也有這系統的應用。

勞侖方程式

勞侖方程式是基於納維－斯托克斯方程式、連續性方程式佮熱傳導方程式簡化會出，上蓋起初的形式為：

$ { \ frac { \ partial { \ vec { v } } } { \ partial t } } + \ left ( { \ vec { v } } \ nabla \ right ) { \ vec { v } }=-{ \ frac { \ nabla p } { \ rho } } + \ nu \ nabla ^ { 二 } { \ vec { v } } + { \ vec { g } } $

$ { \ frac { \ partial \ rho } { \ partial t } } + \ nabla \ cdot \ left ( \ rho { \ vec { v } } \ right )=零 $

$ { \ frac { \ partial T } { \ partial t } } + \ nabla \ cdot \ left ( T { \ vec { v } } \ right )=\ chi \ nabla ^ { 二 } T $

$ \ rho=\ rho _ { 零 } \ left ( 一-\ gamma \ left ( T-T _ { 零 } \ right ) \ right ) $

$ { \ vec { v } } $ 是流速，$ T $ 是流體溫度，$ T _ { 零 } $ 是有限溫度（嘛會用得寫做 $ T _ { 零 } + \ Delta T $）， $ \ rho $ 是密度，$ p $ 是壓力，$ { \ vec { g } } $ 是重力，$ \ gamma $、$ \ chi $、$ \ nu $ 依次是熱脹係數、熱擴散率佮動黏滯係數。

簡化了後的形式號做勞侖方程式，是決定勞侖次振子狀態的方程式為一組常微分方程式：

$ { \ frac { dx } { dt } }=\ sigma ( y-x ) $

$ { \ frac { dy } { dt } }=x ( \ rho-z )-y $

$ { \ frac { dz } { dt } }=xy-\ beta z $

含時間參數的形式：

$ { \ begin { cases } { \ frac { \ mathrm { d } x ( t ) } { \ mathrm { d } t } }=\ sigma { \ bigl ( } y ( t )-x ( t ) { \ bigr ) } \ \ { \ frac { \ mathrm { d } y ( t ) } { \ mathrm { d } t } }=\ rho \ , x ( t )-y ( t )-x ( t ) \ , z ( t ) \ \ { \ frac { \ mathrm { d } z ( t ) } { \ mathrm { d } t } }=x ( t ) \ , y ( t )-\ beta \ , z ( t ) \ end { cases } } $

$ \ sigma $ 這號做普蘭特爾數，$ \ rho $ 這號做瑞立數。所有的 $ \ sigma $，$ \ rho $，$ \ beta $ > 零，但是通常 $ \ sigma $=十，$ \ beta $=三分之八，$ \ rho $ 無定著。若是 $ \ rho < 一 $，是唌人的原點，無任何其他穩定點。一 ≤ρ < 十三孵九二七的時，螺線軌跡接近兩點（這佮存在的阻尼振子）， 兩點的位置由下列式子決定：$ ~ x=\ pm { \ sqrt { b ( \ rho 影一 ) } } $、$ ~ y=\ pm { \ sqrt { b ( \ rho 影一 ) } } $、$ ~ z=\ rho 影一 $。系統咧 $ \ rho $=二十八點表現出混和特性，猶毋過 $ \ rho $ 為其他的值時會顯示出具紐結的週期軌道。比如講，當 $ \ rho=九十九九九六 $ 時，圖像變成一个 _ T _ ( 三 , 二 ) 環面紐結。

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瑞立數

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原始碼

GNU Octave

下跤是 GNU Octave 模擬勞侖次吸引子的原始碼：

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z'=x * y-beta * z

function dx=lorenzatt ( X ) rho=二十八 ; sigma=十 ; beta=三分之八 ; dx=zeros ( 三 , 一 ) ; dx ( 一 )=sigma * ( X ( 二 )-X ( 一 ) ) ; dx ( 二 )=X ( 一 ) * ( rho-X ( 三 ) )-X ( 二 ) ; dx ( 三 )=X ( 一 ) * X ( 二 )-beta * X ( 三 ) ; return end ` ` `

` ` `

Using LSODE to solve the ODE system .

clear all close all lsode _ options ( " absolute tolerance " , 一 e ma三 ) lsode _ options ( " relative tolerance " , 一 e 扳四 ) t=linspace ( 零 , 二十五 , 一 e 三 ) ; X 零=[零 , 一 , 一人攑空五] ; [X , T , MSG]=lsode ( @ lorenzatt , X 零 , t ) ; T MSG plot 三 ( X ( : , 一 ) , X ( : , 二 ) , X ( : , 三 ) ) view ( 四十五 , 四十五 ) ` ` `

參見

• 混搬射列表
• Takens 定理
• 曼德布洛特集合

參考文獻

• （英文）Jonas Bergman , _ Knots in the Lorentz Equation _ , 學士畢業論文，Uppsala University 兩千空四 .
• （英文）Frøyland , J . , Alfsen , K . H . Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model . Phys . Rev . A . 一千九百八十四 ,二十九: 兩千九百二十八–兩千九百三十一 . doi : 十二一一空三 / PhysRevA . 二十九學二九二八 .
• （英文）P . Grassberger and I . Procaccia . Measuring the strangeness of strange attractors . Physica D . 一千九百八十三 ,九: 一百八十九–兩百空八 [二千空二十二孵一孵八] . doi : 十 . 一百六十七分之一千空一十六分二千七百八十九 ( 八十三 ) 九九石空二百九十八孵一 .（原始內容存檔佇兩千空一十六分二鋪十七）.
• （英文）Lorenz , E . N . Deterministic nonperiodic flow . J . Atmos . Sci . 一千九百六十三 ,二十: 一百三十–一百四十一 . doi : 十 . 一千五百二十分之一千一百七十五刣四百六十九 ( 一千九百六十三 ) 二十 < 一百三十 : DNF > 二孵空 . CO ; 二 .
• （英文）Strogatz , Steven H . Nonlinear Systems and Chaos . Perseus publishing . 一千九百九十四 .
• （英文）Tucker , W . A Rigorous ODE Solver and Smale's 十四 th Problem . Found . Comp . Math . 兩千空二 ,二: 五十三–一百十七喔 [二千空一十二二孵二十六] .（原始內容存檔佇兩千空一十九學十二鋪二十八）.

外部連結

• （英文）埃里克 ・ 韋斯坦因為。洛茨伊吸引子 . MathWorld .
• （英文）勞侖次吸引子，作者為 Wolfram Demonstrations Project 的 Rob Morris
• （英文）勞侖次吸引子，planetmath . org
• （英文）用佇畫出勞侖次吸引子抑是處理類似情況的原始碼，使用 ANSI C 佮 gnuplot 實現
• （英文）《 同步混絡佮私人通信》，由 MIT 林肯實驗室的 Steven Strogatz 佮 Kevin Cuomo 講解電子電路中勞侖次吸引子的實現
• （英文）勞侖次吸引子交互式動畫（需要 Adobe Shockwave 插件）
• （英文）Levitated . net：算藝術佮設計
• （英文）三 D Attractors：三維方式顯示佮研究勞侖次吸引囝 Mac 程序
• （英文）三 D VRML Lorenz attractor（需要 VRML 瀏覽器插件）
• （英文）J 語言實現勞侖次吸引子演示的短文-見 J 語言
• （英文）無線性模擬的 Java 小程序（選擇預設「Lorenz attractor」）， 作者 Viktor Bachraty，編寫語言 Jython
• （英文）模擬電子技術中勞侖次吸引子的實現
• （簡體中文）混值蝴蝶—— 勞侖茲吸引引子