德拜模型

佇熱力學佮固態物理學當中，德拜模型（英語：Debye model）是由那個得 ・ 德拜佇一九一二年提出的方法，用佇咧估算聲音對固體的較熱（熱容）的貢獻。德拜模型共原子晶格的振動（熱）當做盒仔內底的聲子處理，佇遮無仝的愛因斯坦模型是將固體作為真濟單獨的、無交互作用的量仔諧振子處理。德拜模型正確地預言矣低溫的時陣固體的熱容：佮 $ T ^ { 三 } $ 成正比（德拜 $ T ^ { 三 } $ 定律）。 佮愛因斯坦模型仝款，伊佇高溫的時陣嘛佮杜隆-泊替定律相符合。毋過因為模型的簡單假使，伊佇中央的溫度無啥準確。

推導

德拜模型是普朗克烏體輻射定律的固體版本，後者共電磁輻射視做盒仔當中的光子氣體，德拜模型共原子的振動視做盒仔內底的聲（盒仔就是這塊固體）。 𪜶大部份的計算步攏是仝款的，因為聲音氣和光子氣攏是有線性色散關係的玻色氣體。

考慮一个邊長為 $ L $ 的立方體。對觳仔中粒仔一文通知，盒仔內底的（沿某一爿長方向傳播的）聲波因為共振效應，其波長只能為著：

$ \ lambda _ { n }={ 二 L \ over n } \ , , $

其中 $ n $ 是整數。一个聲子的能量是：

$ E _ { n } \=h \ nu _ { n } \ , , $

其中 $ h $ 是普朗克常數，$ \ nu _ { n } $ 是聲子的頻率。近來認為頻率佮波長做反比，則有：

$ E _ { n }=h \ nu _ { n }={ hc _ { s } \ over \ lambda _ { n } }={ hc _ { s } n \ over 二 L } \ , , $

其中 $ c _ { s } $ 是固體中的聲速。推廣到三維的狀況（沿任意方向傳播的聲音）：

$ E _ { n } ^ { 二 }={ p _ { n } } ^ { 二 } { c _ { s } } ^ { 二 }=\ left ( { hc _ { s } \ over 二 L } \ right ) ^ { 二 } \ left ( n _ { x } ^ { 二 } + n _ { y } ^ { 二 } + n _ { z } ^ { 二 } \ right ) \ , . $

其中 $ p _ { n } $ 為聲的動量。頻率佮波長做反比的近似（即聲速恆定）對著低能量聲子是有影的，但對高能量聲音是無（參見聲子）。 這是德拜模型的局限之一，致使著其對中央溫度的預言無正確，著低溫佮懸溫攏足精確的。

下跤來算盒仔內底的總能量：

$ U=\ sum _ { n } E _ { n } \ , { \ bar { N } } ( E _ { n } ) \ , , $

其中 $ { \ bar { N } } ( E _ { n } ) $ 是盒仔中能量為 $ E _ { n } $ 的聲音的數目。嘛會使講，總能量等於某能量的聲數目乘以其能量才閣對各能量求和。佇三維空間內底，阮有：

$ U=\ sum _ { n _ { x } } \ sum _ { n _ { y } } \ sum _ { n _ { z } } E _ { n } \ , { \ bar { N } } ( E _ { n } ) \ , . $

這是德拜模型佮普朗克烏體輻射定律的無仝的所在。佮盒仔內底的電磁輻射無仝，因為聲音袂當有無限大的頻率，所以盒仔當中聲子干焦有限個能量的狀態。伊的頻率由伊的傳播介質—— 固體的原子晶格所約束。考慮以下的橫向聲子的插圖：

: : : :

會當合理假使聲子的上細漢波長是原子間距的兩倍，如最後一圖所示。固體中有 $ N $ 個原子，咱的固體是正四角柱，所以每一條邊有 $ { \ sqrt [{ 三 }] { N } } $ 個原子，原子間距為 $ L / { \ sqrt [{ 三 }] { N } } $，干焦上細漢的波長：

$ \ lambda _ { \ rm { min } }={ 二 L \ over { \ sqrt [{ 三 }] { N } } } \ , , $

上大的模數 $ n $（對光子是無限大）為：

$ n _ { \ rm { max } }={ \ sqrt [{ 三 }] { N } } \ , . $

這設置了三重量求和的上限：

$ U=\ sum _ { n _ { x } } ^ { \ sqrt [{ 三 }] { N } } \ sum _ { n _ { y } } ^ { \ sqrt [{ 三 }] { N } } \ sum _ { n _ { z } } ^ { \ sqrt [{ 三 }] { N } } E _ { n } \ , { \ bar { N } } ( E _ { n } ) \ , . $

對勻勻仔變化的、表現良好的函數，求和會當用積分來代替按呢（閣講號做托馬斯-了米近來親像）：

$ U \ approx \ int _ { 零 } ^ { \ sqrt [{ 三 }] { N } } \ int _ { 零 } ^ { \ sqrt [{ 三 }] { N } } \ int _ { 零 } ^ { \ sqrt [{ 三 }] { N } } E ( n ) \ , { \ bar { N } } \ left ( E ( n ) \ right ) \ , dn _ { x } \ , dn _ { y } \ , dn _ { z } \ , . $

到此，咱猶未講著的 $ { \ bar { N } } ( E ) $：能量為 $ E \ , $ 的聲音的數目。聲子服對玻色-要因斯坦統計。𪜶的分佈由著名的玻色-愛因斯坦公式給出：

$ \ langle N \ rangle _ { BE }={ 一 \ over e ^ { E / kT } 影一 } \ , . $

因為一个聲有三个可能的偏振態（一个縱向、兩个橫向，大概紮相仝的能量）， 需要共以上公式乘以三：

$ { \ bar { N } } ( E )={ 三 \ over e ^ { E / kT } 影一 } \ , . $

實際上咱會當定義 _ 等效聲速 _ $ c _ { s } :=c _ { \ rm { eff } } $，也就是講，德拜溫度 $ T _ { d } $（見下文）佮 $ c _ { \ rm { eff } } $ 成正比。閣較精確來講，$ T _ { D } ^ { ma三 } \ propto c _ { \ rm { eff } } ^ { ma三 } :=( 三分之一 ) c _ { \ rm { long } } ^ { ma三 } + ( 三分之二 ) c _ { \ rm { trans } } ^ { ma三 } $，其中阮區分去縱向和橫向的聲波速度（貢獻分別為三分之一佮三分之二）。 德拜溫度抑是有效聲速是晶體的硬度的一種撙節。

共這寡代入能量的積分，得：

$ U=\ int _ { 零 } ^ { \ sqrt [{ 三 }] { N } } \ int _ { 零 } ^ { \ sqrt [{ 三 }] { N } } \ int _ { 零 } ^ { \ sqrt [{ 三 }] { N } } E ( n ) \ , { 三 \ over e ^ { E ( n ) / kT } 影一 } \ , dn _ { x } \ , dn _ { y } \ , dn _ { z } \ , . $

這比光子的情形容較濟，因為乎（佇半古典式的處理中）光子的頻率（嘛即這个三重的積分）是無上界的。毋過頂懸圖所示，這點對聲音無成立。為著近若像計算這个三重埔的積分，德拜使用球坐標系：

$ \ ( n _ { x } , n _ { y } , n _ { z } )=( n \ cos \ theta \ cos \ phi , n \ cos \ theta \ sin \ phi , n \ sin \ theta ) $

並且用八分之一球（球佇咧一个卦限內的部份）來近似代替立方體：

$ U \ approx \ int _ { 零 } ^ { \ pi / 二 } \ int _ { 零 } ^ { \ pi / 二 } \ int _ { 零 } ^ { R } E ( n ) \ , { 三 \ over e ^ { E ( n ) / kT } 影一 } n ^ { 二 } \ sin \ theta \ , dn \ , d \ theta \ , d \ phi \ , , $

其中 $ R $ 是球的半徑，通過保持立方體佮八分之一球中的粒子數目相仝來得出。立方體彼个體積是 $ N $：

$ N={ 一 \ over 八 } { 四 \ over 三 } \ pi R ^ { 三 } \ , , $

所以：

$ R={ \ sqrt [{ 三 }] { 六 N \ over \ pi } } \ , . $

用球的積分來代替立方體積分這近似是德拜模型無準確性的另外一來源。

先積分掉角向部分：

$ U={ 三 \ pi \ over 二 } \ int _ { 零 } ^ { R } \ , { hc _ { s } n \ over 二 L } { n ^ { 二 } \ over e ^ { hc _ { s } n / 二 LkT } 影一 } \ , dn $

再利用變量代換 $ x={ hc _ { s } n \ over 二 LkT } $：

$ U={ 三 \ pi \ over 二 } kT \ left ( { 二 LkT \ over hc _ { s } } \ right ) ^ { 三 } \ int _ { 零 } ^ { hc _ { s } R / 二 LkT } { x ^ { 三 } \ over e ^ { x } 影一 } \ , dx $

為簡化表達式，會當定義德拜溫度$ T _ { D } $—— 伊的因次佮溫度相仝，因為物質而異：

$ T _ { D } \ { \ stackrel { \ mathrm { def } } {=} } \ { hc _ { s } R \ over 二 Lk }={ hc _ { s } \ over 二 Lk } { \ sqrt [{ 三 }] { 六 N \ over \ pi } }={ hc _ { s } \ over 二 k } { \ sqrt [{ 三 }] { { 六 \ over \ pi } { N \ over V } } } $

所以比內會當為：

$ { \ frac { U } { Nk } }=九 T \ left ( { T \ over T _ { D } } \ right ) ^ { 三 } \ int _ { 零 } ^ { T _ { D } / T } { x ^ { 三 } \ over e ^ { x } 影一 } \ , dx=三 TD _ { 三 } \ left ( { T _ { D } \ over T } \ right ) \ , , $

其中 $ D _ { 三 } ( x ) $ 是（第三）德拜函數。

著 $ T $ 微分，咱便得著無因為燒容：

$ { \ frac { C _ { V } } { Nk } }=九 \ left ( { T \ over T _ { D } } \ right ) ^ { 三 } \ int _ { 零 } ^ { T _ { D } / T } { x ^ { 四 } e ^ { x } \ over \ left ( e ^ { x } 影一 \ right ) ^ { 二 } } \ , dx \ , . $

這个公式給出任何溫度下德拜模型的結果。下跤閣較簡單的公式予出低溫和高溫極限下跤的漸漸表現。頭前已經講著，這兩个漸漸進表現是精確的，毋過中央溫度的表現則無。其實根本原因是佇咧，低溫佮高溫近來親像下跤，德拜模型攏有出其一，低頻下精確的 _ 色散關係 _ $ E ( \ nu ) $，其二，精確的 _ 狀態密度 _（單位頻率間隔內的聲音數目）$ ( \ int g ( \ nu ) \ , { \ rm { d \ nu } } \ equiv 三 N ) $。

德拜的推導

實際上，德拜用無仝款閣較簡單的方法來推出這个公式。利用連紲介質的固體力學，伊發現頻率小於某一个特定值的振動狀態的數目趨倚佇咧：

$ n \ sim { 一 \ over 三 } \ nu ^ { 三 } VF \ , , $

其中 $ V $ 是體積，$ F $ 是一个對彈性係數佮密度計算出的因為。共這溫度 T 的量仔倚振子的向望能量（已經由愛因斯坦在伊的模型中使用）結合，屎予出能量：

$ U=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ , { h \ nu ^ { 三 } VF \ over e ^ { h \ nu / kT } 影一 } \ , d \ nu \ , , $

若振動頻率無窮大。彼个形體會出來矣 $ T ^ { 三 } $ 的表現，伊佇低溫的時陣是正確的。毋過德拜意識著 N 個原子無可能有超過 $ 三 N $ 個振動狀態。伊假使佇原子固體內底，振動狀態的頻譜會繼續遵循以上的規則，一直到一个上大的頻率 $ \ nu _ { m } $ 予總的狀態數目為 $ 三 N $ 為止：

$ 三 N={ 一 \ over 三 } \ nu _ { m } ^ { 三 } VF \ , . $

德拜知影這个假設毋是真正確的（較懸的頻率比假設欲閣較密集）， 但是伊保證著高溫的時陣正確表現（杜隆-泊替定律）。 所以，能量因為以下會當下：

$ U=\ int _ { 零 } ^ { \ nu _ { m } } \ , { h \ nu ^ { 三 } VF \ over e ^ { h \ nu / kT } 影一 } \ , d \ nu \ , , $

: $=VFkT ( kT / h ) ^ { 三 } \ int _ { 零 } ^ { T _ { D } / T } \ , { x ^ { 三 } \ over e ^ { x } 影一 } \ , dx \ , , $

其中 $ T _ { D } $ 是 $ h \ nu _ { m } / k $。

: $=九 NkT ( T / T _ { D } ) ^ { 三 } \ int _ { 零 } ^ { T _ { D } / T } \ , { x ^ { 三 } \ over e ^ { x } 影一 } \ , dx \ , , $

: $=三 NkTD _ { 三 } ( T _ { D } / T ) \ , , $

其中 $ D _ { 三 } $ 是一个函數，後來號名做三階德拜函數。

低溫極限

德拜固體的溫度號做低的，若是 $ T \ ll T _ { D } $，佇這个情況下：

$ { \ frac { C _ { V } } { Nk } } \ sim 九 \ left ( { T \ over T _ { D } } \ right ) ^ { 三 } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { x ^ { 四 } e ^ { x } \ over \ left ( e ^ { x } 影一 \ right ) ^ { 二 } } \ , dx $這个定積分會當精確計算：

$ { \ frac { C _ { V } } { Nk } } \ sim { 十二 \ pi ^ { 四 } \ over 五 } \ left ( { T \ over T _ { D } } \ right ) ^ { 三 } $

佇低溫極限內底，德拜模型的局限無適用，伊共出啦（聲音）熱容、溫度、伸勼性係數，佮逐家原子的體積（後壁的數量是包含佇德拜溫度中的）之間的正確關係。

高溫極限

德拜固體的溫度號做是懸的，若是 $ T \ gg T _ { D } $。$ e ^ { x } 影一 \ approx x $ 若是 $ | x | < < 一 $，會出得：

$ { \ frac { C _ { V } } { Nk } } \ sim 九 \ left ( { T \ over T _ { D } } \ right ) ^ { 三 } \ int _ { 零 } ^ { T _ { D } / T } { x ^ { 四 } \ over x ^ { 二 } } \ , dx $

$ { \ frac { C _ { V } } { Nk } } \ sim 三 \ , . $

這就是杜隆-泊替定律，伊是誠準確實的，雖然伊無考慮非諧性，這造成熱容進一步升起去。若固體是導體抑是半導體，按呢伊的總熱容猶閣可能有含電子的不可忽略的貢獻。

參見

• 玻色氣體
• 盒仔中氣體

外部連結

• 用低溫恆溫器來決定石英的比熱、熱導率佮電導率