ΔΣ調變

Delta-Sigma（ΔΣ）調變（抑是稱Sigma-Delta（ΣΔ）調變、SDM，中文的譯作積分-微分調變）是一種數位類比互相轉換的實作方法，伊是共高位元解析度低頻率訊號用脈波密度調變編碼做低位元解析度高頻率訊號的一種方法（PCM 踅 PWM），會當共量化失真徙去閣較懸頻率、減少濾除的時陣對目標頻率的影響，推導自 delta 調變原理的類比至數位抑是數位至類比轉換技術。ADC 抑是講 DAC 伊會當藉著低成本的 CMOS 製程實現此一技術，嘛敢若數位 IC 仝款的製程。是因為做理由，雖然本技術早佇一九六空年代已經提出，但是愛到近年來因為半導體技術精進才會得普遍的使用。差不多所有的類比 IC 製造商攏有提供 Sigma-Delta 轉換器產品。

原理

ADC 可予人認為是一个壓控震盪器，控制電壓做被測量的電壓，線性佮比例性由負迴授決定。振盪器輸出為一个脈波串，逐个脈波為已經知影，常量，振幅=V 而且嘛繼續時間為 dt，因此有一个已知的積分=Vdt 但是變化的分離間隔。脈波的隔壁由迴授電路決定，所以一个低輸入電壓產出一个脈波間的長時隔；啊若一个懸輸入電壓產生一个短坎。實際上，忽略開關錯誤，脈波間的閬佮該間隔內輸入電壓的平均成反比，因此佇咧這間隔 ts 內，是一个平均輸入電壓的樣本，佮 v / ts 成正比。

最終的輸出數是輸入電壓（這支電壓是由脈波的計數決定）的數位化佇咧一个固定加總分隔=Ndt 產出一个計數，Σ。脈波串的積分做 ΣVdt 其實佇時間隔 Ndt 內予人生做，就按呢輸入電壓佇咧加總周期內的平均為 VΣ / N，而且是平均的平均所以干焦拄著足細的變化。

達成的精度取決於已經知影 V 的精度佮一个計數內底 N 的精度佮解析度。

頂頭描述的脈波可予人認為是迪拉克方程的形式化分析，計數會當被認為 Σ。佇咧 ADC 的轉化內底，正正就是遮的脈波串予 delta-sigma 調變所傳遞。 ΔΣ 架構主要是咧對訊號的大細做一个大箍的估計，然後量測其誤差，會積分並補償之，最後輸出的平均值會等於輸入訊號的平均值（若是誤差的積分做有限值）。

積分器的數量決定矣 ΔΣ 調變電路的階數（Order），圖二中所示為二階 ΔΣ 電路；階數愈懸，noise shaping 效果愈好，毋過相對付出代價是穩定度必須愛妥善考量。

ΔΣ 調變電路嘛會當用量化器的輸出位元數來分類，當使用 N 階的較器時，輸出為 _ log 二 N _-bit；基於線性度的考量，捷看著的 ΔΣ 電路做一个-bit 組態，也就是輸出干焦有兩个位準：零抑是。

Noise Shaping 效果

由微分器、積分器構成的 ΔΣ 調變電路，會因為微分特性著量化雜訊（Quantization noise）產生一種懸通濾波的效果。一般線性 PCM 中產生的量化雜訊平均分布佇咧各頻率頂懸，基於前述特性，會當共量化雜訊推往高頻，來產生 noise shaping 功效。將取樣的頻率設高，因人耳空會當聽著頻段相對較低，啊若這个時陣將已經被推往高頻的量化雜訊以低通濾波器濾除，便會用得著量化雜訊較少的原訊號。

當 ΔΣ 調變階數愈濟時陣，noise shaping 效果嘛會愈顯示講，如圖所示為一 ~ 三階 ΔΣ 的 noise shaping 效果。

AD 轉換

對於 AD 轉換，會當共想像為一个壓控振盪器。被測量電壓是壓控振盪器控制電壓，線性度佮比例由負回授迴路決定。振盪器的輸出是相連紲的已知影脈波，闊度 dt，振幅 V，積分做 Vdt。猶毋過，各個脈波之間的時間隔是可變的。脈波間隔予回授電路決定，低電壓產生長隔，高電壓產生短間隔。事實上，若無考慮轉換精差，脈波間隔佮這段時間輸入電壓的平均值成反比。終其尾，佇固定的時間周期 Ndt 內，輸出計數值 Σ 將反映出輸入電壓的大細。脈波的積分做 ΣVdt。平均電共號做 VΣ / N。精確度取決 V 的準確度，N 中單位計數的準確度佮解析度。會當通過改變採樣總時間 Ndt，抑是固定比例倒計時等方法，改變輸入電壓佮對應數位電壓比例。會當將脈波視做 δ（delta）函數，計數值為 Σ（sigma）。

目的

Delta-sigma 調變將類比電壓訊號轉換做脈波頻率抑是脈波密度，會當理解脈波密度的調變 ( Pdm )。只要脈波的時陣和符號會當恢復，以已經知影固定速率表示位元的正脈波佮負脈波序列佇咧接收器處非常的容易產生、發送佮準確地再生。予定來自增量-西格瑪調變器的這款的脈波序列，會當有夠的精度重建原始波形。相反，佇無轉換為脈波流干焦是直接傳輸類比訊號的情況下，系統中的所有雜訊攏將去予人添加去類比訊號中，對而且降低其質量。使用 Pdm 做訊號表示是脈波編碼調變 ( PCM ) 的替代，以奈奎斯特率（Nyquist Rate）採樣佮量化為多位元碼。

過採樣（Oversampling）

ΔΣ 調變是一種過採樣的技術啊，會降低感興趣頻段 ( 圖五中的綠色 ) 中的雜訊，對而且避免使用高精度類比電路作為抗濫疊濾波器。Nyquist 轉換器 ( 黃色 ) 佮過採樣轉換器 ( 藍色 ) 中的總量化雜訊是仝款的，但是伊分布佇無仝的頻譜頂懸。佇咧 ΔΣ 轉換器中，雜訊佇低頻率的時陣會進一步降低，這是感興趣的訊號所在的頻段，佇咧較高頻率的時陣，雜訊會增加，佇遐伊會使予過濾掉。這種技術號做是雜訊整形。

對一坎 Delta-Sigma 調變器，雜訊由傳遞函數為 Hn ( Z )=[一 −z− 一] 這濾波器的整形。假使採樣頻率 fs 佮感興趣的訊號頻率 f 零相較大，是向望訊號紮闊中的量化雜訊會當近來親像：

$ \ mathrm { n _ { 零 } }=e _ { \ text { rms } } { \ frac { \ pi } { \ sqrt { 三 } } } \ , ( 二 f _ { 零 } \ tau ) ^ { \ frac { 三 } { 二 } } $ .

類似地，對二階 Delta-Sigma 調變器，雜訊由傳遞函數為 Hn ( Z )=[一 −z− 一] 兩个濾波器的整形。帶內量化雜訊會當近來親像：

$ \ mathrm { n _ { 零 } }=e _ { \ text { rms } } { \ frac { \ pi ^ { 二 } } { \ sqrt { 五 } } } \ , \ left ( 二 f _ { 零 } \ tau \ right ) ^ { \ frac { 五 } { 二 } } $ .

一般來講，對於 N 階 ΔΣ 調變器，𤆬內量化雜訊的方式差一定：

$ \ mathrm { n _ { 零 } }=e _ { \ text { rms } } { \ frac { \ pi ^ { N } } { \ sqrt { 二 N + 一 } } } \ , \ left ( 二 f _ { 零 } \ tau \ right ) ^ { \ frac { 二 N + 一 } { 二 } } $ .

做採用真濟倍的時陣，對著一个 N 階 ΔΣ 調變器，訊號雜訊比提懸到六 N + 三分貝。過採樣率愈懸，訊號雜訊比愈懸，解析度以位做單位愈懸。

過採樣給出的另外一個關鍵方面是速度 / 解析度的做權。囥佇咧調變器後壁的抽取濾波器毋但佇咧感興趣的頻帶內對規个採樣訊號進行濾波 ( 佇咧較高頻率處去除雜訊 )，而且閣降低訊號的頻率，提懸了解號的解析度。這是通過對較高數據速率的位元流進行某種平均來得著的。

參見

脈波編碼調變
脈波密度調變
SACD、Direct Stream Digital

參考資料

" Sigma-delta techniques extend DAC resolution " article by Tim Wescott 二千空四孵六交二十三
" Tutorial on Designing Delta-Sigma Modulators : Part I "（二千空四孵三三十）and " Part II "（二千空四配四配一）a tutorial by Mingliang Liu
" Gabor Temes'Publications "
" Bruce Wooley's Delta-Sigma Converter Projects "
" An Introduction to Delta Sigma Converters "（which covers both ADC's and DAC's sigma-delta）
" Demystifying Sigma-Delta ADCs "。This in-depth article covers the theory behind a Delta-Sigma analog-to-digital converter .
" Motorola digital signal processors : Principles of sigma-delta modulation for analog-to-digital converters "
" One-Bit Delta Sigma D / A Conversion Part I : Theory " article by Randy Yates presented at the 兩千空四 comp . dsp conference

原理

Noise Shaping 效果

AD 轉換

目的

過採樣（Oversampling）

參見

參考資料

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