Lp範數

$ L _ { p } $-範數（英語：$ L _ { p } $-norm，亦稱 $ \ ell _ { p } $-範數、$ p $-範數 ) 是向量空間內底的一組範數。$ L _ { p } $-範數和冪平均有一定的聯繫。伊的定義如下：

$ $ L _ { p } ( { \ vec { x } } )=\ lVert { \ vec { x } } \ rVert _ { p }={ \ Bigl ( } \ sum _ { i=一 } ^ { n } | x _ { i } | ^ { p } { \ Bigr ) } ^ { 一 / p } , \ qquad { \ vec { x } }=\ { x _ { 一 } , x _ { 二 } , \ ldots , x _ { n } \ } , \ , p \ geqslant 一 . $ $

$ p $ 的無仝取值

$ p=-\ infty $ : $ \ lVert { \ vec { x } } \ rVert _ { \ infty }=\ lim _ { p \ to-\ infty } { \ Bigl ( } \ sum \ limits _ { i=一 } ^ { n } | x _ { i } | ^ { p } { \ Bigr ) } ^ { 一 / p }=\ min _ { i } | x _ { i } | $。
$ p=零 $：$ \ lVert { \ vec { x } } \ rVert _ { 零 }=\ sum _ { i=一 } ^ { n } \ left [x _ { i } \ neq 零 \ right] $，也就是所有的 $ x _ { i } $ 中，無等於零的個數。注意，遮的 $ L _ { 零 } $-範數並非通常意義上的範數（不滿足三角不等式或者是會當加性）。
$ p=一 $：$ \ lVert { \ vec { x } } \ rVert _ { 一 }=\ sum \ limits _ { i=一 } ^ { n } | x _ { i } | $，即 $ L _ { 一 } $-範數是向量各分量絕對值之和，又閣稱曼哈頓距離。
$ p=二 $ : $ \ lVert { \ vec { x } } \ rVert _ { 二 }={ \ sqrt { \ sum \ limits _ { i=一 } ^ { n } | x _ { i } | ^ { 二 } } } $，此此歐氏距離。
$ p=+ \ infty $ : $ \ lVert { \ vec { x } } \ rVert _ { \ infty }=\ lim _ { p \ to + \ infty } { \ Bigl ( } \ sum \ limits _ { i=一 } ^ { n } | x _ { i } | ^ { p } { \ Bigr ) } ^ { 一 / p }=\ max _ { i } | x _ { i } | $，此也就無散錢抑是上大的範數。

機器學習內底的應用

佇機器學習內底，為著欲對抗過擬合、提高模型的一般化能力，會當通過向目標函數當中引入參數向量的 $ L _ { p } $-範數來做正則化。其中上捷用的是引入 $ L _ { 一 } $-範數的 $ L _ { 一 } $-正則項佮引入 $ L _ { 二 } $-範數的 $ L _ { 二 } $-正則項；前者有利於得著疏解，後者提著平棒解決。

參考文獻