兩交含數
霧的函數是一套用佇信號分析佮信號仿真設計的數學方法，為菲利普 ・ 伍德沃德（Philip Woodward）佇一九五三年咧提出。其初初目的是用來分析雷達回波信號受著時間延遲和攏跋落效應的影響，毋過佇隨後的發展，遮爾仔廣泛被應用時間誠捷分析、信號處理等領域。
定義
函數 $ s ( t ) $ 的霧函數 $ A ( \ tau , \ eta ) $ 定義做：
- $ A ( \ tau , \ eta )=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } s ( t ) s ^ { * } ( t-\ tau ) e ^ { j 二 \ pi \ eta t } dt $
其中，$ \ tau $ 代表佮初始信號的時間差分值，而且 $ \ eta $ 是代表佮初始信號的頻率差分值，這款的二維空間號做模糊域（Ambiguity Domain）。 雷達應用來講，$ \ tau $ 反映發射信號佮回波信號的時間延延（Time Delay）， $ \ eta $ 是反映兩信號間的攏卜勒頻移（Dopple Frequency Shift）。 星號 $ * $ 代表對函數取其共車的複數。上式為自時域定義之模糊函數。咱嘛會當通過函數 $ s ( t ) $ 的傅立葉變換著 $ S ( f ) $ 對頻域定義之：
- $ A ( \ tau , \ eta )=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } S ( f ) S ^ { * } ( f-\ eta ) e ^ { j 二 \ pi \ tau f } df $
經修改了後，霧函數嘛會當用對稱的形式定義，成做對稱模糊函數（Symmetric Ambiguity Function）：
- $ A _ { s } ( \ tau , \ eta )=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } s ( t + { \ frac { \ tau } { 二 } } ) s ^ { * } ( t-{ \ frac { \ tau } { 二 } } ) e ^ { j 二 \ pi \ eta t } dt=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } S ( f + { \ frac { \ eta } { 二 } } ) S ^ { * } ( f-{ \ frac { \ eta } { 二 } } ) e ^ { j 二 \ pi \ tau f } df $
$ $ $ $
基本性質
霧函數有下列幾種基本性質：
上蓋大值
霧函數上大值永遠發生佇霧域的原點 $ ( 零 , 零 ) $：
- $ \ left | A ( \ tau , \ eta ) \ right | \ leq \ left | A ( 零 , 零 ) \ right | $
對稱性
霧函數做一對稱函數：
- $ A ( \ tau , \ eta )=A ^ { * } (-\ tau ,-\ eta ) $
時間比例調整
- $ s ^ { \ prime } ( t )=s ( \ alpha t ) \ Rightarrow A ^ { \ prime } ( \ tau , \ eta )={ \ frac { 一 } { \ left | \ alpha \ right | } } A ( \ alpha \ tau , { \ frac { \ eta } { \ alpha } } ) $
時間位徙
- $ s ^ { \ prime } ( t )=s ( t-\ Delta t ) \ Rightarrow A ^ { \ prime } ( \ tau , \ eta )=A ( \ tau , \ eta ) e ^ {-j 二 \ pi f \ Delta t } $
調製
- $ s ^ { \ prime } ( t )=s ( t ) e ^ { j 二 \ pi ft } \ Rightarrow A ^ { \ prime } ( \ tau , \ eta )=A ( \ tau , \ eta ) e ^ {-j 二 \ pi f \ tau } $
和自相關函數的關係
當阮設定頻率差值 $ \ eta $ 為零時，霧函數將退化做信號 $ s ( t ) $ 的自相關函數：
- $ A ( \ tau , \ eta )=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } s ( t ) s ^ { * } ( t-\ tau ) dt $
常在看信號霧的函數
方波
若方波定義做：: $ rect ( t , T )={ \ begin { cases } 一 , & { \ mbox { if } } \ left | t \ right | \ leq { \ frac { T } { 二 } } \ \ 零 , & { \ mbox { if } } \ left | t \ right | > { \ frac { T } { 二 } } \ end { cases } } $ , 則其模糊函數 $ A _ { rect } ( \ tau , \ eta ) $ 算如下： $ A _ { rect } ( \ tau , \ eta )=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } rect ( t + { \ frac { \ tau } { 二 } } ) rect ^ { * } ( t-{ \ frac { \ tau } { 二 } } ) e ^ { j 二 \ pi \ eta t } dt $ $=\ int _ {-( T-\ tau ) / 二 } ^ { ( T-\ tau ) / 二 } e ^ { j 二 \ pi \ eta t } dt={ \ begin { cases } ( T-\ left | \ tau \ right | sinc [\ eta ( T-\ left | \ tau \ right | )] ) & { \ mbox { for } } \ left | \ tau \ right | \ leq T \ \ 零 { \ mbox { for } } \ left | \ tau \ right | > T \ end { cases } } $
高斯函數
對一个高斯的信號 $ g ( t )=e ^ {-\ alpha t ^ { 二 } } $ 來講，其實霧函數共： $ A _ { G } ( \ tau , \ eta )={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 } } } e ^ { \ frac {-\ alpha ( \ tau ^ { 二 } + \ eta ^ { 二 } ) } { 二 } } $
佮維格納分布的關係
模糊函數是伍德沃德根據維格納分布改良來。二者之間詳細的關係請參閱模糊函數佮韋格納分布的關係。
應用
霧函數一開始是由雷達領域研究學者菲利浦 ・ 伍德沃德是由維格納分布發展來，所以其實上頭仔的應用領域有濟佮雷達相關，是該領域誠重要的基礎理論。綴時間的推進佮時間真捷分析方法的起價，愈來愈濟時陣真定分析方法來使用矣霧函數的概念。比如講，西摩 ・ 斯坦於一九八一年講著，霧函數會當用來估算具有仝款成份的兩个信號，因為外加噪音干擾造成的頻率、時間位徙；時陣真定分析工具科恩系列分布是運用一函數之模糊函數閣配合適當的崁罩數，做分析該函數的時陣真特性的基礎。