K-理論

佇咧數學中，K-理論（K-theory）是濟个領域使用的一个工具。佇咧代數拓撲中，伊是一種各樣上同調，叫做拓撲 K-理論；佇代數佮代數幾何中，講叫代數 K-理論；佇算囝代數內底嘛有真濟應用。伊致使一類 _ K _-函子構造，K-函子包含有效、煞誠歹計算的信息。

佇物理學當中，K-理論特別是扭曲 K-理論出現佇第二型弦理論，其中咧臆𪜶會當分類嘛 D-膜、關係-拉蒙場以及廣義複流形頂某寡旋量。具體細節參見 K-理論 ( 物理 )。

早期歷史

這个課題上早由亞歷山大・格羅枋迪克一九五七年發現，名號做自德文「Klasse」，意為「分類」_ class _，進一步表示為著羅允迪克-黎曼-羅赫定理。徛起騰迪氣愛佇代數的圍徛 _ X _ 的頂面工作。毋是直接咧處理層，伊予出兩个構造。首先，伊利用直和運算將層的交換屘囝半陣換做一个群 $ K ( X ) $ 通過取層的分類的形式佮形式加法逆（這是得著予定函子左伴隨的明確方法）。佇咧第二个構造內底，伊強加以一層擴張一致的額外關係，得著一个這馬記作 $ G ( X ) $ 的群。這兩个構造攏予人叫做是羅允迪克群；$ K ( X ) $ 有上同調的表現 $ G ( X ) $ 有仝調表現。

若是 $ X $ 是一个光滑疊仔，兩个群是仝款的。

佇咧拓撲學中，咱對向量欉有類似的和構造。麥仔可・阿蒂亞佮瀨里德里希望・希策布魯赫佇一九五九年使用格羅騰迪格群構造來定義拓撲空間 $ X $ 的 $ K ( X ) $（兩个構造一致）。這是佇咧代數拓撲中發現的頭一个奇巧頂懸同調理論的基礎。伊咧指標定理的第二證明著起誠大的作用。此外，這種途徑導向矣 C \ *-代數的非交換 $ K $-理論。

佇一九五五年，予-皮埃爾・窒爾已經用具有投射模向量欉的類似物來表示窒爾猜想，應該猜想聲稱一個域上濟項式環上的投射模是自由模；這个論斷是正確的，毋過一直到二空年以後才解決（斯旺定理是這个類比的另外一方面）。一九五九年，窒倒予出環的格羅騰迪克群構造，用伊來證明投射模是穩定自由的。這个應用是代數 K 理論之開端。

發展

隨後一个時期，出現了各種類型的「高階 K-理論函子」定義。最後咧，兩種有路用的等價定義由丹尼爾・奎倫佇一九六九年和一九七二年用同倫理論予出。另外一種變體嘛由 Template : 鋪里德海姆・瓦爾德豪森為著研究「空間的代數 K-理論」提出，這佮偽同痕的研究有關係。大多數現代的高階 K-理論研究佮代數幾何佮 Template : 主上同調有關。

帶有一个輔助的二次型的相應構造具一般名 L-理論。伊是割補你論的主要工具。

佇弦理論內底，關係-拉蒙場強佮穩定 D-膜電荷的 K-理論分類佇一九九七年頭擺提出。

另見

上同調論列表
K-理論 ( 物理 )
L-理論
博特周期性
拓撲 K-理論
Todd class

參考文獻

Atiyah , Michael Francis , K-theory , Advanced Book Classics 二 nd , Addison-Wesley , 一千九百八十九 , ISBN 九百七十八追空九二百空一石九千三百九十四抹空 , MR 一百空四配三千一百七十（阿蒂亞佇哈佛的介紹性課程，是因為 D . W . Anderson 的筆記出版。由定義向量欉開始，無需要偌濟高深數學。）
Max Karoubi , K-theory , an introduction（一千九百七十八）Springer-Verlag
Allen Hatcher , _ Vector Bundles & K-Theory _，（兩千空三）
K-theory . PlanetMath .
Examples of K-theory groups . PlanetMath .
Algebraic K-theory . PlanetMath .
Examples of algebraic K-theory groups . PlanetMath .
Fredholm module . PlanetMath .
K-homology . PlanetMath .
Max Karoubi's Page

注釋