鋪萊納公式

佇咧向量微積分中，影響內-塞雷公式（Frenet–Serret 公式）用來描述歐幾里得空間R三中的粒仔佇連紲會當微曲線頂的運動。閣較具體的講，抹著內公式描述著曲線的切向，法向，副法方向之間的關係。這一公式由法國數學家予 ・ 熔雷德里克 ・ 影響內（佇一八四七年的博士論文中）佮約瑟夫 ・ 阿爾鴻雷德 ・ 塞雷（佇一八五一年）分別提出。

單位切向量T，單位法向量N，單位副法向量B，予人號做抹佇內標架，𪜶的具體定義如下：

• T是單位的切向的量，方向指向粒子運動的方向。
• N是切向量T著弧長參數的微分單位化得著的向量。
• B是T和N的外積。

被勒內公式如下：

$ { \ begin { aligned } { \ dfrac { d \ mathbf { T } } { ds } } &=\ kappa \ mathbf { N } , \ \ { \ dfrac { d \ mathbf { N } } { ds } } &=-\ kappa \ mathbf { T } + \ tau \ mathbf { B } , \ \ { \ dfrac { d \ mathbf { B } } { ds } } &=-\ tau \ mathbf { N } , \ end { aligned } } $

其中 _ d _ / _ ds _ 是對弧長的微分，κ 為曲線的曲率，τ 為曲線的撬率。抹著內公式描述了空間曲線曲率率的變化規律。

被勒內公式

記r( t ) 為歐式空間R三中的曲線，表示粒子佇時間 t 時刻的位置向量。被勒內公式只適用佇正則曲線，即速度向量r′ ( t ) 佮加速度向量r′′ ( t ) 無為零的曲線。

記 _ s ( t ) _ 為 _ t _ 時刻粒仔所在佇位置到曲線頂懸某定點的弧長：

$ s ( t )=\ int _ { 零 } ^ { t } \ | \ mathbf { r }'( \ tau ) \ | d \ tau . $

因為假使講r′ ≠ 零，所以會當共 _ t _ 表示講 _ s _ 的函數，所以會當共曲線表示做弧長 _ s _ 的函數r( s )=r( _ t _ ( _ s _ ) )。_ s _ 通常嘛予人叫做曲線的弧長參數。

對於由弧長參數定義的正則曲線r( _ s _ )，抹佇內標架( 抑是抹內底基底) 定義如下：

• 單位切向量T：

: $ \ mathbf { T }={ d \ mathbf { r } \ over ds } . \ qquad \ qquad ( 一 ) $

• 主法向量N：

: $ \ mathbf { N }={ { \ frac { d \ mathbf { T } } { ds } } \ over \ left \ | { \ frac { d \ mathbf { T } } { ds } } \ right \ | } . \ qquad \ qquad ( 二 ) $

• 副法向量B定義做T和N的外積：

: $ \ mathbf { B }=\ mathbf { T } \ times \ mathbf { N } . \ qquad \ qquad ( 三 ) $

因為 $ | \ mathbf { T } |=一 , { \ frac { d ( \ mathbf { T } \ cdot \ mathbf { T } ) } { ds } }=二 \ mathbf { T } \ cdot \ mathbf { N }=零 , $ 所以乎N佮T直的。四角勢 ( 三 ) 說明B垂直於T和N，所以向量T，N，B互相垂直。

被勒內公式如下：

$ { \ begin { matrix } { \ frac { d \ mathbf { T } } { ds } } &=& & \ kappa \ mathbf { N } & \ \ & & & & \ \ { \ frac { d \ mathbf { N } } { ds } } &=&-\ kappa \ mathbf { T } & & + \ , \ tau \ mathbf { B } \ \ & & & & \ \ { \ frac { d \ mathbf { B } } { ds } } &=& &-\ tau \ mathbf { N } & \ end { matrix } } $

其中 κ 為曲線的曲率，τ 為曲線的撬率。

抹內公式有當時仔嘛予人號做 _ 抹腹內定理 _，並且會使寫做矩陣的形式：

$ { \ begin { bmatrix } \ mathbf { T'} \ \ \ mathbf { N'} \ \ \ mathbf { B'} \ end { bmatrix } }={ \ begin { bmatrix } 零 & \ kappa & 零 \ \-\ kappa & 零 & \ tau \ \ 零 &-\ tau & 零 \ end { bmatrix } } { \ begin { bmatrix } \ mathbf { T } \ \ \ mathbf { N } \ \ \ mathbf { B } \ end { bmatrix } } . $

其中矩陣是反對稱矩陣。

嘿弧長 s 求導，會當看做是對切方向的協變導數。

參閱

• 曲線仿幾何
• 曲線微分幾何
• 達布標架
• 運動學

參考資料

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外部連結

• Rudy Rucker's KappaTau Paper .
• Very nice visual representation for the trihedron