巴攑赫-塔斯基定理

巴攑赫-塔斯基定理（Banach–Tarski paradox，抑是稱豪斯多夫-巴攑赫-塔斯基定理，閣名「分球怪論」），是一條數學定理。一九二四年，斯特凡・巴提赫佮阿爾鴻雷德・塔斯基頭一改提出這一定理，指出佇選擇公理成立的狀況之下，會當共一个三維實心球分做有限（就無可測的）部份，然後干焦通過旋轉和平徙過其他的所在重新組合，就會當組做兩个半徑佮原來相仝的完整的球。

巴攑赫佮塔斯基提出這一定理原意是想欲拒絕選擇公理，但是證明足自然的，所以數學家認為這干焦意味著選擇公理會當致使少數予人驚疑佮反直覺的結果。有的講這條定理予人看做是石頭，但是定理本身無邏輯上無一致的所在，實際上無符合隱論的定義。

正式講

設 _ A _ 和 _ B _ 是歐幾里得空間的兩个子集。如果𪜶會當分做有限個不相交子集的併集，形如講 $ A=\ cup _ { i=一 } ^ { n } A _ { i } $ 和 $ B=\ cup _ { i=一 } ^ { n } B _ { i } $，著任意 i，子集 $ A _ { i } $ 攏總等於 $ B _ { i } $，這兩个子集叫做等度分解的（equidecomposable）。所以，這个鬮論會當如果下講：

對球來講，五箍就夠額做到這點矣，但五箍煞袂使得。這个被論甚至有一个閣較強的版本：

嘛會使講，一塊大理石會當分做有限塊然後重新組合做一个行星，抑是一部電話機會當變形了後藏入去水百合花內底。佇現實生活中這種變形之所以袂使是因為原子的體積毋是無限細，數量毋是無限大，但是其幾若形確實會當按呢變形的。若是知影講總是會當存在對一个幾何體的內部點一一映射著另外一个的方法，無定著這个𫞼論看起去就無遐爾仔怪矣。比如講兩球會當雙射著其家己仝款級別的無限子集（比如講一个球）。仝款阮閣會使一个球映射著一个大點抑是細點的球，只要根據半徑放大係數就會當將一个點映射到另外一个。毋過，遮的變換一般來講袂使保積，抑是需要將幾何體分割做不可數無限塊。巴攑赫-塔斯基交論出人意料的所在是干焦用限角進行旋轉和平移就會當完成變換。

使這个交易論成做可能的無限的卷踅。技術上，這是不可測的，因此𪜶毋有「合理的」範圍抑是平常時仔講的「體積」。用刀仔等物理方法是無法度完成這款分割的，因為𪜶干焦會當分割出可測集合。這个純粹存在性的數學定理指出佇多數人熟似的可測集合以外，猶閣有較濟閣較濟的不可測集合。

對三維以上的這个情形是分類猶原成立。猶毋過對歐幾里得平面伊無成立。（以上講無適合用三維空間的二維子集，因為這个子集可能有閒的內部。）同時，嘛有一寡伸論性的分解組合佇平面上成立：一个圓盤會當分割做有限塊並重新鬥做一个面積有仝款的實心正四角形。參見塔斯基分割圓問題。

這个交易論表明若等度分解的子集予人認為是有仝款體積，就無法度來對歐幾里得空間的有界集定義啥物叫做「體積」。

證明是因為費利克斯・豪斯多夫早點鐘的工課。伊一零年前發現一个類似的交易，事實上，巴攑赫-塔斯基交論正是豪斯多夫所用技術的一个推廣應用。

邏輯學家定定對邏輯上無一致的命題使用「鋪論」一詞，比論講白賊或者是羅素增加。巴攑赫-塔斯基交論並毋是這種意義上的被論，伊是一个已證明的定理，干焦因為違反直覺才予人號做鼻論。因為其他的證明確地用到選擇公理，這款反常的結論予人用做反對使用該公理的理據。

馮紐曼研究這个𫞼論時陣，創出會齊勻的概念。伊發現三維以上情形的所以產生抹論，佮遮的空間的轉踅群的非可均性有關係。

證明概愛

基本上，走揣這个分球的奇怪方法會當分做四个步數：

一 . 揣著共一个具有兩个生成元的自由群進行分割的特殊方法二 . 揣著一个三維空間內底仝款構佇咧這兩个生成元的旋轉陣三 . 利用這陣的特殊分割方法佮選擇公理對單位球面進行分解四 . 共這个單位球面的分解推廣到實心球每一步的詳細如下：

第一步，有兩个生成箍 _ a _ 和 _ b _ 的自由群由所有含有含 _ a _、_ b _、_ a _ 板一和 _ b _ 鋪一遮的符號的有限字符串組成，內底無啦 _ a _ 快一對 _ a _ 建一抑是講 _ b _ 快一對 _ b _ 鋪一這个現象。兩字按呢的字符串會使連接做伙，只要共予人絚的 _ a _ 和 _ a _ 抹一抵銷去（著 b 仝款）。比如講 _ abab _ 影一 _ a _ 曷連紲到彼个 _ abab _ 影一 _ a _ 得著 _ abab _ 影一 _ a _ 影一 _ abab _ 影一 _ a _，並無化簡為 _ abaab _ 影一 _ a _。咱會使驗證遮的字符合咱這个操作下構成一个群，其單位元是空串 $ e $。阮講這个群為 $ F _ { 二 } $。

群 $ F _ { 二 } $ 會當被進行如下特殊分割：令 _ S _ ( _ a _ ) 為所有 _ a _ 開頭的字符捾，同理定義 _ S _ ( _ a _ 影一 )、_ S _ ( _ b _ ) 和 _ S _ ( _ b _ 影一 )。足明顯的

$ F _ { 二 }={ e } \ cup S ( a ) \ cup S ( a ^ { 影一 } ) \ cup S ( b ) \ cup S ( b ^ { 影一 } ) $

並且

$ F _ { 二 }=aS ( a ^ { 影一 } ) \ cup S ( a ) $，同時

$ F _ { 二 }=bS ( b ^ { 影一 } ) \ cup S ( b ) $。

（ _ a _ _ S _ ( _ a _ 影一 ) 表示對 _ S _ ( _ a _ 影一 ) 取出所有的字符串，閣佇倒爿連接一个 _ a _，了後所得的所有的字符串）證明的關鍵就佇遮矣。我簡來講，這馬咱已經將 $ F _ { 二 } $ 這个群分做四塊（$ e $ 忽略嘛無問題），然後通過乘頂一个 _ a _ 抑是講 _ b _ 來「旋轉」𪜶，其中兩个「重新組合」成 $ F _ { 二 } $，另外兩个重新共鬥起來另外一个 $ F _ { 二 } $。按呢的代誌，囥佇球體頂懸就是咱想欲證明的物件矣。

第二步，為著欲揣三維空間踅群類似 $ F _ { 二 } $ 彼種的行為，阮提兩條坐標題而且設 _ A _ 是踅第一條轉踅 arccos ( 三分之一 ) 弧度爾 _ B _ 是踅另外一條轉踅 arccos ( 三分之一 ) 弧度。（這步驟會當佇維持完成。）有一寡厚工猶毋過無蓋難的是證明這兩種轉踅的行為正如 $ F _ { 二 } $ 中 _ a _ 和 _ b _ 兩个元素的行為仝款，遮就略去。由 _ A _ 和 _ B _ 所生成的這个旋轉陣號名做H。當然喔，咱會當按照第一步咧講方法著H進行分割。

第三步，單位球面 _ S _ 二可被群H中的操作來分做一寡鐵枝路：兩个點屬於仝一个軌道若是唯一H中某一个旋轉將第一个點徙到第二个。咱會當利用選擇公理佇每一个鐵枝路內底選出來一个點。共遮的點合起來組成集合 _ M _。這馬乎 _ S _ 二中 ( 差不多 ) 所有點攏會當通過H中合適的元素相應的轉動徙到 _ M _ 中。所以，H伊的分割也就會當應用著 _ S _ 二頂懸去。

第四步，最後咧，將逐个 _ S _ 二的點連到原點，著 _ S _ 二的分割便會當應用著實心單位球起去。（球心處會有的特殊，但這簡單證明中央共忽略。）

總結，這个簡單證明到遮結束。H中央有一寡轉踅拄仔對應拄仔好一寡特殊的線路，這陣需要加以特殊處理。但是一方面，遮的情況的總數是可數的所以無影響，另外一方面，雖然相關的遮的點嘛是會當加以修正以符合定理的。對球心點這个特殊點以上仝款適用。

延伸閱讀

" Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes " , 數學基礎，六, ( 一千九百二十四 ) , 兩百四十四鋪兩百七十七 , 巴攑赫佮塔斯基的原始論文（法文）。
萊曼的巴提赫-塔斯基徛論指南 ( 來自 Kuro 五 hin )
Francis E . Su , " 巴攑赫-塔斯基徛論 "
S . Wagon , _ 巴攑赫・塔斯基徛論 _ , 劍橋大學出版社，一千九百八十六 .