MV-代數

佇純數學分支抽象代數中，MV-代數（多值代數）是帶領域二箍運算 $ \ oplus $、一箍運算 $ \ neg $ 佮常量 $ 零 $ 滿足特定公理的代數結構。多值邏輯是 MV-代數的模型。

定義

設 _ A _ 是一个集合。MV-代數是代數結構，帶有型 $ \ \ langle 二 , 一 , 零 \ rangle $ 的標識 ( signature ) $ \ left \ langle A , \ oplus , \ lnot , 零 \ right \ rangle , $，伊滿足如下恆等式：

$ ( x \ oplus y ) \ oplus z=x \ oplus ( y \ oplus z ) $ ,
$ x \ oplus 零=x $ ,
$ x \ oplus y=y \ oplus x $ ,
$ \ lnot \ lnot x=x $ ,
$ x \ oplus \ lnot 零=\ lnot 零 $ ,
$ \ \ lnot ( \ lnot x \ oplus y ) \ oplus y=\ lnot ( \ lnot y \ oplus x ) \ oplus x $ .

備註：通過前三个公理 $ \ left \ langle A , \ oplus , 零 \ right \ rangle $ 是交換屘囝半陣。

抑是作為替代，MV-代數是一个賰的格 $ A=\ left \ langle L , \ wedge , \ vee , \ otimes , \ rightarrow , 零 , 一 \ right \ rangle $ 滿足額外恆等式

$ \ forall \ x , y \ in A : x \ vee y=( x \ rightarrow y ) \ rightarrow y $。

Hájek ( 一千九百九十八 ) 來講這兩个公式的等同。

例

一个簡單的例是 $ A=[零 , 一] \ , $，帶閣有定義做 $ x \ oplus y=min ( x + y , 一 ) $ 和 $ \ lnot x=一-x $ 的運算。

討論

佇加值邏輯內底，予定一个 MV-代數 A，一个 A-值就是對命題演算中公式的集合到 MV-代數的函數。若對著所有 A-共這个函數共一个公式影射著一（抑是 $ \ lnot $ 零），則這个公式是一个 A-重言式。因此對無窮值的邏輯（譬如講霧嗄嗄、武卡謝維奇邏輯），阮設 [零 , 一] 是 A 的下層集合來得著 [零 , 一]-才值和 [零 , 一]-重言式（定定就是講號做有一个重言式）。

Chang 發明 MV-代數來研究波蘭數學家揚・武卡謝維奇（Jan Łukasiewicz）佇一九二空年介入的濟值邏輯。Chang 的完備定理 ( 一千九百五十八 , 一千九百五十九 ) 彼个聲稱任何在 [零 , 一] 區間成立的 MV-代數等式嘛佇所有的 MV-代數中成立。通過這个定理，證明無窮值的武卡謝維奇邏輯會當予 MV-代數所刻畫。後來仝款適用佇模糊邏輯。這類似 { 零 , 一 } 成立的布爾代數等式佇任何布爾代數中嘛成立，布爾代數就按呢刻畫標準二值邏輯。

引用

Chang , C . C . ( 一千九百五十八 ) " Algebraic analysis of many-valued logics , " _ Transactions of the American Mathematical Society 八十八 _ : 四百七十六交九十 .
------( 一千九百五十九 ) " A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms , " _ Transactions of the American Mathematical Society 八十八 _ : 七十四抹八十 .
Cignoli , R . L . O . , D'Ottaviano , I , M . L . , Mundici , D . , 兩千 . _ Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning _ . Kluwer .
Di Nola A . , Lettieri A . ( 一千九百九十三 ) " Equational characterization of all varieties of MV-algebras , " _ Journal of Algebra 二百二十一 _ : 一百二十三孵三十一 .
Hájek , Petr ( 一千九百九十八 ) _ Metamathematics of Fuzzy Logic _ . Kluwer .

外部連結

Stanford Encyclopedia of Philosophy：" Many-valued logic "--by Siegfried Gottwald .

參見

布爾代數
武卡謝維奇邏輯