拉普拉斯分布

佇機率論佮統計學當中，拉普拉斯分布( Laplace distribution ) 是以皮呢-西蒙 ・ 拉普拉斯的名號名的一種連續機率分佈。因為伊會當看做兩平移指數分布背佮尻脊骿鬥陣做伙，因此閣號做雙指數分布( Double exponential distribution )。兩个互相獨立同機率分布指數隨機變數之間的差別是按照指數分布的隨機時間布朗運動，所以伊遵循拉普拉斯分布。

機率分布、機率密度佮分位數函數

若隨機變數的機率密度函數分布為

$ f ( x | \ mu , b )={ \ frac { 一 } { 二 b } } \ exp \ left (-{ \ frac { | x-\ mu | } { b } } \ right ) \ , \ ! $

$={ \ frac { 一 } { 二 b } } \ left \ { { \ begin { matrix } \ exp \ left (-{ \ frac { \ mu-x } { b } } \ right ) & { \ mbox { if } } x < \ mu \ \ [八 pt] \ exp \ left (-{ \ frac { x-\ mu } { b } } \ right ) & { \ mbox { if } } x \ geq \ mu \ end { matrix } } \ right . $

按呢伊就是拉普拉斯分布。其中，_ μ _ 是位置母數，_ b _ > 零是比例母數。若是 _ μ _=零，b=一 , 遐爾，正半部份拄好是二分之一倍 _ λ _=一的指數分布。

拉普拉斯分布的機率密度函數予咱去想著常態分布，猶毋過，常態分布是用相對的 _ μ _平均值的差的平方來表示，而且拉普拉斯機率密度用相對啦平均值的差別絕對值來表示。所以，拉普拉斯分布的尾裡比常態分布閣較平坦。

根據絕對值函數，若共一个拉普拉斯分布分做兩个對稱的情形，遐爾仔足簡單對拉普拉斯分布進行積分。伊的累積分布函數共：

逆累積分布函數為

$ F ^ { 影一 } ( p )=\ mu-b \ , \ operatorname { sgn } ( p 板空吱五 ) \ , \ ln ( 一孵二 | p 板空吱五 | ) $

生做拉普拉斯變數

已經知區間 (-二分之一 ,   二分之一 ] 中均勻分布頂懸的隨機變數 _ U _，隨機變數

$ X=\ mu-b \ , \ operatorname { sgn } ( U ) \ , \ ln ( 一孵二 | U | ) $

為母數 μ 佮 _ b _ 的拉普拉斯分佈。根據頂懸的逆累計分布函數會當得著這款的結果。

做兩个互相獨立仝分布指數 ( 一 / _ b _ ) 變化的時陣嘛會用得著 Laplace ( 零 , _ b _ ) 變數。仝款，做兩个相獨立仝分布一致變數的比值變化的時陣嘛會當得著 Laplace ( 零 , 一 ) 變數。

相關分布

• 若是 $ Y=| X-\ mu | $ 並且 $ X \ sim \ mathrm { Laplace } $，著 $ Y \ sim \ mathrm { Exponential } $ 是講數分布。
• 若是 $ Y=X _ { 一 }-X _ { 二 } $ 佮 $ X _ { 一 } , \ , X _ { 二 } \ sim \ mathrm { Exponential } $，著 $ Y \ sim \ mathrm { Laplace } $。

統計推論

母數估計

予定 N 個獨立同分布的樣本 $ x _ { 一 } , x _ { 二 } , . . . , x _ { N } $，$ \ mu $ 的極大概若像估計 $ { \ hat { \ mu } } $ 為平本的中位數，$ b $ 的極大概若像估計 $ { \ hat { b } } $ 為著欲本和樣本中位數 $ { \ hat { \ mu } } $ 平均絕對偏差，即

$ $ { \ hat { b } }={ \ frac { 一 } { N } } \ sum _ { i=一 } ^ { N } \ left \ vert x _ { i }-{ \ hat { \ mu } } \ right \ vert $ $

（ 揭示矣拉普拉斯分佈佮上細絕對偏差（LAD）之間的聯絡）。

佇迴歸分析中間，若是誤差具有拉普拉斯分佈，著上細絕對偏差估計（LADE）共伊做上大概若估計（MLE）出現。