洛朗級數

佇咧數學中，複變函數 _ f _ ( _ z _ ) 的洛朗級數（英語：Laurent series）， 是冪級數的一種，伊毋但包含正數次數的項，嘛包含著負數次數的項。有時無法度共函數表示為泰勒級數，毋過會當表示做洛朗的級數。洛朗級數是由皮埃爾 ・ 阿方斯 ・ 洛朗佇咧一八四三年頭一遍發表並且以伊號名的。卡爾 ・ 魏爾斯特拉斯可能是較早發現這个級數的人，毋過伊一八四一年的論文佇咧伊死了才發表佇咧。

函數 _ f _ ( _ z _ ) 關於點 _ c _ 的洛朗級數由下式給出：

$ f ( z )=\ sum _ { n=-\ infty } ^ { \ infty } a _ { n } ( z-c ) ^ { n } $

其中 _ an _ 是常數，由以下的曲線積分定義，伊是柯西積分公式的推廣：

$ a _ { n }={ \ frac { 一 } { 二 \ pi i } } \ oint _ { \ gamma } { \ frac { f ( z ) \ , dz } { ( z-c ) ^ { n + 一 } } } . \ , $

積分路徑 γ 是為著圓環 _ A _ 內底的一條逆時針方向的可求長曲線，共 _ c _ 共包圍起來，佇咧這个圓環內 $ f ( z ) $ 是全純的（解析的）。 $ f ( z ) $ 的洛朗級數展開式佇咧這个圓環內的任何所在攏是正確的。佇正爿的圖內底，該環用紅色顯示，其中有一合適的積分路徑 $ \ gamma $。這咱若予 $ \ gamma $ 是一个圓嘛 $ | z-c |=\ varrho $，其中 $ r < \ varrho < R $，這就比相當於愛計算的限制著 $ \ gamma $ 上 $ f $ 的複傅立葉仔的係數。遮的積分袂清彩交代 $ \ gamma $ 的變形而改變是斯托克斯定理的直接結果。

咱佇實踐中，頂頭的積分公式可能毋是計算予定的函數 $ f ( z ) $ 係數 $ a _ { n } $ 上實用的方法；相反，人常在通過鬥搭已經會曉泰勒展開式來求出洛朗級數。因為函數的洛朗展開式只要存在就是唯一的，實際上伊佇圓環中任何佮 $ f ( z ) $ 相仝的，以上述形式表示的予定函數的表達式一定就是 $ f ( z ) $ 的洛朗展開式。

收斂洛朗級數

複系數洛朗級數是複分析中的一个重要的工具，尤其咧研究函數奇巧點附近的行為時陣。

考慮譬如講函數

$ f ( x )={ \ begin { cases } e ^ { 影一 / x ^ { 二 } } & { \ text { 若是 } } x \ neq 零 , \ \ 零 , & { \ text { 若是 } } x=零 . \ end { cases } } $

作為實變函數，伊是四界攏無散赤會當微；但是作為一个複變函數，佇咧 _ x _ 等於無法度。用 − 一 / _ x _ 二替換指數函數的冪級數展開式中的 _ x _，咱得著其洛朗的級數，所以對除了奇巧點 _ X _=零以外的所有的複數，伊攏縮佇遐等於 _ ƒ _ ( _ x _ )。邊仔的圖顯示真濟 _ N _=一 , 二 , 三 , 四 , 五 , 六 , 七到五十，_ e _ − 一 / _ x _ 二（烏色）和伊的洛朗近來的

$ \ sum _ { n=零 } ^ { N } ( 影一 ) ^ { n } \ , { x ^ { 鋪二 n } \ over n ! } . $

當 _ N _ → ∞，近來若對除了奇巧點 _ x _=零處的所有的複數 _ x _ 攏真精確。

閣較一般，洛朗的級數會當用來表達定義佇圓環上的全純函數，就親像冪的級數予人用佇表達一个圓盤頂懸定義全純函數仝款。

參看

• Z 轉換
• 傅立葉級數
• 帕德欲親像

外部連結

• Hazewinkel , Michiel ( 編 ) , Laurent series , 被鋪百科全鋪排，Springer , 兩千空一 , ISBN  九百七十八孵一一鋪五千六百空八鋪十跡四
• 約翰 ・ J ・ 奧康納；埃德蒙 ・ F ・ 羅伯遴 , Laurent \ _ Pierre , MacTutor 數學史檔案（英語）
• 埃里克 ・ 韋斯坦因為 . Laurent Series . MathWorld .
• 洛朗級數的教程