Lax著
Lax 著定義。一个非線性偏微分方程
$ $ F ( x , t , u , \ dots )=零 $ $
的 Lax 著是一對線性微分算子
$ $ L=L ( u , \ lambda ) $ $
$ $ M=M ( u , \ lambda ) $ $
$ [L , M]=LM-ML $ 是交換子。
若是 $ F ( x , t , u , \ dots )=零 $ 會當表示講 Lax 四角勢：
$ L _ { t } + [L , M]=零 $ , 而且 $ L \ phi=\ lambda ( t ) \ phi $ , 著 $ \ lambda _ { t }=零 $ , 並且 $ \ phi $ 滿足
$ $ \ phi _ { t }=M \ phi $ $
高維 Lax 著
一九七二年 V . E . Zakharov , A . B . Shabat , 將 Lax 對推廣到高維對兩个線性方面 $ \ phi _ { x }=A \ phi , \ phi _ { t }=B \ phi $
其中 A、B 是 n x n 維矩陣；抑是閣較一般，A 和 B 會當是李代數 g 元素；g 會當是無限維的，參見譬如講佮其中的參考文獻。
定義 $ A _ { t }-B _ { x } + [A , B]=零 $ 為兩个線性方程 $ \ phi _ { x }=A \ phi , \ phi _ { t }=B \ phi $ 的相容條件。
實例
KdV 四角勢的 Lax 嘿為
$ $ L={ \ frac { \ partial ^ { 二 } } { \ partial x ^ { 二 } } } + u $ $
$ $ M=扳四 { \ frac { \ partial ^ { 三 } } { \ partial x ^ { 三 } } } + 六 u { \ frac { \ partial } { \ partial x } } + 三 { \ frac { \ partial u } { \ partial x } } $ $
非線性薛丁格方程
$ $ \ mathbf { A }=i \ lambda { \ begin { bmatrix } 一 & 零 \ \ 零 & 影一 \ end { bmatrix } } $ + $ i { \ begin { bmatrix } 零 & q \ \ r & 零 \ end { bmatrix } } $ $
$ $ \ mathbf { B }=二 i \ lambda ^ { 二 } { \ begin { bmatrix } 一 & 零 \ \ 零 & 影一 \ end { bmatrix } } $ + $ 二 i \ lambda { \ begin { bmatrix } 零 & Q \ \ R & 零 \ end { bmatrix } } $ + $ { \ begin { bmatrix } 零 & q _ { x } \ \-r _ { x } & 零 \ end { bmatrix } } $-$ i { \ begin { bmatrix } rq & 零 \ \ 零 &-rq \ end { bmatrix } } $ $
sine-Gordon 四角勢
$ $ \ mathbf { A }=i \ lambda { \ begin { bmatrix } 一 & 零 \ \ 零 & 影一 \ end { bmatrix } } $ + $ i { \ begin { bmatrix } 零 & q \ \ r & 零 \ end { bmatrix } } $ $
$ $ \ mathbf { B }={ \ frac { 一 } { 四 i \ lambda } } { \ begin { bmatrix } \ cos u &-i \ sin u \ \ i \ sin u &-\ cos u \ end { bmatrix } } $ $
Sinh-Gordon 四角勢
$ $ \ mathbf { A }=i \ lambda { \ begin { bmatrix } 一 & 零 \ \ 零 & 影一 \ end { bmatrix } } $ + $ i { \ begin { bmatrix } 零 & q \ \ r & 零 \ end { bmatrix } } $ $
$ $ \ mathbf { B }={ \ frac { 一 } { 四 i \ lambda } } { \ begin { bmatrix } coshu &-isinhu \ \-isinhu &-coshu \ end { bmatrix } } $ $
KdV 四角勢
$ $ \ mathbf { A }={ \ begin { bmatrix } i \ lambda & 一 \ \ u &-i \ lambda \ end { bmatrix } } $ $
$ $ \ mathbf { B }={ \ begin { bmatrix } 四 i \ lambda ^ { 三 } + 二 i \ lambda u-u _ { x } & 四 \ lambda ^ { 二 } + 二 u \ \ 四 \ lambda ^ { 二 } u + 二 i \ lambda u _ { x } + 二 u ^ { 二 }-u _ { xx } + 二 u ^ { 三 } & 四 i \ lambda ^ { 三 } + 二 i \ lambda u ^ { 二 } \ end { bmatrix } } $ $
mKdV 四角勢
$ $ \ mathbf { A }={ \ begin { bmatrix }-i \ lambda & u \ \ u & i \ lambda \ end { bmatrix } } $ $
$ $ \ mathbf { B }={ \ begin { bmatrix } 扳四 i \ lambda ^ { 三 } 鋪二 i \ lambda u ^ { 二 } & 四 \ lambda ^ { 二 } u + 二 i \ lambda u _ { x }-u _ { xx } + 二 u ^ { 三 } \ \ 四 \ lambda ^ { 二 } u 鋪二 i \ lambda u _ { x }-u _ { xx } + 二 u ^ { 二 } & 四 i \ lambda ^ { 三 } + 二 i \ lambda u ^ { 二 } \ end { bmatrix } } $ $
切觸 Lax 著
參考文獻
- Inna Shingareva , Carlos Lizarraga-Celaya , Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Mathematica , Springer Wien New York