阿爾澤拉-阿斯科利定理

佇咧數學中，阿爾澤拉-阿斯科利定理是泛函分析中的一个定理，予出了對緊的度量空間射著度量空間的函數集合佇咧齊勻的收斂的意義頂頭是真絚集的一个充分必要的條件。其中主要牽涉的條件是函數集的等度連紲性質。

等度連續的概念大約是佇十九世紀的八十年代由兩位義大利數學家朱利奧・阿斯科利（佇一八八三年－一八八四年）佮切薩雷・阿爾澤拉（佇一八八二年－一八八三年）提出的。阿斯科利在一八八三年的論文中，證明矣定理中，連紲函數集做真緊集的充分條件，阿爾澤拉佇一八九五年的另外一篇論文中證明矣定理的另外一部份：成做是絚集的必要條件，並且頭一回予出定理的完整證明。而無久了後，佇一九零六年，法國數學家堀雷歇又閣共這个定理進行矣推廣，予在任意的會用得定義極限的空間內底攏有仝款的結果（比如度量空間抑是郝斯多夫空間）。

阿爾澤拉-阿斯卡利定理第一擺獲證的年代，人並無充分理解該定理的重要意義。隨著研究的不斷深入，足厲害的成做是分析學、開撲學領域的關鍵概念，這个定理就來講足好的。定理是利用歐拉法證明常微分方程式組理論中的皮亞諾存在性定理時不可缺的一部分，也是複分析中的蒙泰定理的證明中的重要組成部份。此外，那個得-外爾定理的一个證明著用到了此定理。

定義

以下的定義佇定理的敘述佮證明中會一直使用著。

等度連紲

設 K 和 X 是兩个量空間，$ C ( K , X ) $ 是收集所有的對 K 到 X 連續映射的所形成的集合。若是 $ C ( K , X ) $ 的一个子集 $ { \ mathcal { F } } $ 滿足

> 嘿所有 $ x \ in K $ 和 $ \ epsilon > 零 $，存在一个 x 的厝邊 $ U _ { x } $，會當對所有 $ y \ in U _ { x } $ 和 $ f \ in { \ mathcal { F } } $，攏有 $ d \ left ( f ( y ) , f ( x ) \ right ) < \ epsilon $ > >

則稱 $ { \ mathcal { F } } $ 是等度連紲的。

一致有界與各樣有界

設 K 是一个量空間，$ C ( K , \ mathbf { R } ) $ 是收集所有的 K 上的實連紲函數。設 $ { \ mathcal { F } } $ 是 $ C ( K , \ mathbf { R } ) $ 的一个子集

若佇咧 $ M > 零 $，會當對所有 $ f \ in { \ mathcal { F } } , x \ in K $ 攏有 $ | f ( x ) | < M $，則稱 $ { \ mathcal { F } } $ 是一致有界的。
若對所有 $ x \ in K $，攏有 $ \ sup _ { f \ in { \ mathcal { F } } } | f ( x ) | < \ infty $，則稱 $ { \ mathcal { F } } $ 是每一點有界了的。

注意著一致有界通捒慢慢仔有界，此外，就已經若知影講 $ { \ mathcal { F } } $ 是等度連紲而且 K 是完全有界 ( 比如講幼路 ) 的，則一致有界如果只有只是每一點。

敘述

實數體頂懸的狀況

這是上簡單的狀況，現此時阿爾澤拉-阿斯科利定理的會當講

考慮一个定義佇咧閉區間 $ [a , b] $ 上的實函數序列 $ \ { f _ { n } \ } _ { n \ in \ mathbf { N } } $。若是 $ \ { f _ { n } \ } _ { n \ in \ mathbf { N } } $ 是每一點有界而且等度連續的，若按呢佇這个函數序列內底，定定存在一個子序列 $ \ { f _ { n _ { k } } \ } _ { k \ in \ mathbf { N } } $ 是齊勻收斂的。另外一方面，若是 $ \ { f _ { n } \ } _ { n \ in \ mathbf { N } } $ 的任何子序列 $ \ { f _ { n _ { k } } \ } _ { k \ in \ mathbf { N } } $ 攏有一个一致收斂的子序列 $ \ { f _ { n _ { k _ { r } } } \ } _ { r \ in \ mathbf { N } } $，著 $ \ { f _ { n } \ } _ { n \ in \ mathbf { N } } $ 是每一點有界而且等度連續的。

例

設 $ \ { f _ { n } \ } _ { n \ in \ mathbf { N } } $ 是一個各樣有界、會當分，並且導數是一致有界的函數序列，即 $ \ sup _ { f \ in { \ mathcal { F } } , x \ in K } | f'( x ) | < \ infty $，會當證明 $ \ { f _ { n } \ } _ { n \ in \ mathbf { N } } $ 嘛是等度連紲的，這个滿足阿爾澤拉-阿斯科利定理的條件。所以伊有一个齊勻收斂的子序列。

緊度量空間和緊郝斯多夫空間

對一般的腹腸空間，阿爾澤拉-阿斯科利定理斷言

設 $ X $ 為一个緊度量空間，$ Y $ 為一个完備的度量空間，遐爾 $ C ( X , Y ) $ 的子集 $ { \ mathcal { F } } $ 佇咧緊緻開拓撲中是緊緻的若而且唯若伊是這个等度連紲、完全有界的閉集。

遮，$ C ( X , Y ) $ 表示對 $ X $ 射著 $ Y $ 的連續函數的集合。而且伊的子集 $ F $ 予人號做完全有界若是唯一 $ \ forall x \ in X $，集合矣 $ \ { f ( x ) : f \ in F \ } $ 攏是 $ Y $ 中相對較絚的子集。若是一个集合 _ A _ 佇緊緻開拓撲中是緊緻的，遐爾 _ A _ 中的所有序列攏擁有一个佇咧 _ A _ 中均勻收斂的子序列。

閣較廣泛地，對於 _ X _ 是絚郝斯多夫空間的狀況，定理仝款成立：

設 $ X $ 為一个緊郝斯多夫空間，遐爾 $ C ( X , Y ) $ 的子集 $ F $ 佇咧緊緻開拓撲中是緊緻的若而且唯若伊是這个等度連紲、完全有界的閉集。

阿爾澤拉-阿斯科利定理是對佇絚郝斯多夫空間上，連續函數的代數性質的一个重要結果。進一步的研究會當將頂懸的結果推廣。譬論講，函數的取值空間會當換做郝斯多夫的拓撲向量空間，這陣猶原有基本相仝的定理。

證明

以下證明佇實數體上的講。

必要性

該定理的必要性較顯然，實用的價值嘛較細。事實上，由緊度量空間 _ X _ 到完備的度量空間 _ Y _ 任何一列連續影射序列 { _ f _ n } 若佇咧 _ X _ 頂懸收縮，遐爾仔伊收斂著一个連續映射 _ f . _ 由緊度量空間上，連續映射 _ f _ 的齊勻連續性佮收斂的一致性，會當證明該映射序列是等度連紲的。同時由收斂的一致性佮連紲影射將緊集影做趕緊的性質，算講會當推出這个該序列完全有界。

若集合 _ F _ 中的映射無一致有界，則由定義，對任意 _ n _ ∈N, 存在 F 中的映射 _ f _ n，其範數大於 _ n _ , 所以 { _ f _ n } 的任意一个子列攏毋是完全有界的，因為故任意子列攏真齊勻，佮假使矛盾。若集合 _ F _ 中的映射無等度連續，是存在的 ε > 零，對任意的 _ n _ ∈N，存在 _ x _ 一 , _ x _ 二佮集合中某一个映射 _ f _ n，滿足 _ d _ ( _ x _ 一 , _ x _ 二 ) < 一 / n，猶毋過 d ( _ f _ n ( _ x _ 一 ) , _ f _ n ( _ x _ 二 ) ) ≥ ε . 按呢乎，{ _ f _ n } 的任意一个子列攏毋是等度連紲的，從而且任意子列攏真齊勻，仝款佮假使矛盾。

充分性

充分性的證明用著矣對角論證法。若緊度量空間 X 是一个有限集，是充分性顯然。所以，設 X 是一个無窮集，由 X 的緊緻性可知，存在佇咧 X 中誠濟的序列 $ E=\ { x _ { k } \ } _ { k \ in \ mathbf { N } } $。

考慮 $ { \ mathcal { F } } $ 中任意一个影射序列 $ \ { f _ { n } \ } _ { n \ in \ mathbf { N } } $。因為 _ $ { \ mathcal { F } } $ _ 是每一點有界的，序列 $ \ { f _ { n } ( x _ { 一 } ) \ } $ 佇咧 Y 中是有界的。根據波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理和 _ Y _ 的完備性，這个序列有收斂的子列，記作 $ \ { f _ { n } ^ { 一 } ( x _ { 一 } ) \ } $。而序列 $ \ { f _ { n } ^ { 一 } ( x _ { 二 } ) \ } $ 閣存在收斂的子列，記作 $ \ { f _ { n } ^ { 二 } ( x _ { 二 } ) \ } $…。按呢重複，得著一系列的映射序列 $ \ { f _ { n } ^ { 一 } \ } , \ { f _ { n } ^ { 二 } \ } , \ { f _ { n } ^ { 三 } \ } , \ dots $。考慮其中對角線的元素 $ g _ { n }=f _ { n } ^ { n } $ 所構成的序列 $ \ { g _ { n } \ } _ { n \ in \ mathbf { N } } $。是對序列 E 中任意一點仔 _ $ x _ { k } $ _，序列 $ \ { g _ { n } ( x _ { k } ) \ } _ { n \ geq k } $ 是 $ \ { f _ { n } ^ { k } ( x _ { k } ) \ } _ { n \ in \ mathbf { N } } $ 的子序列，因此序列 $ \ { g _ { n } ( x _ { k } ) \ } _ { n \ in \ mathbf { N } } $ 收斂。

予定 $ \ epsilon > 零 $，因為乎 _ $ { \ mathcal { F } } $ _ 是等度連紲的，延用等度連紲定義內底 $ U _ { x } $，所以乎 $ \ { U _ { x } \ } _ { x \ in [a , b] } $ 是 $ [a , b] $ 區間的一个開崁。因為 $ [a , b] $ 區間是快緻的，存在有限集 $ \ { \ xi _ { 一 } , \ dots , \ xi _ { l } \ } $ 予得 $ [a , b]=\ bigcup _ { i=一 } ^ { l } U _ { \ xi _ { i } } $。因為乎 E 佇咧 $ [a , b] $ 中是誠濟的，所以乎 E 有一个囝集 $ \ { x _ { n _ { 一 } } , \ dots , x _ { n _ { l } } \ } $ 滿足 $ x _ { n _ { i } } \ in U _ { \ xi _ { i } } $。由 _ $ g _ { n } $ _ 佇咧 E 中各點的收斂性可知，著逐个 $ x _ { n _ { i } } $，存在 _ $ N _ { i } $ _，予對任一對比 _ $ N _ { i } $ _ 大的正整數嘿 m 和 n 攏有 $ | g _ { m } ( x _ { n _ { i } } )-g _ { n } ( x _ { n _ { i } } ) | < \ epsilon $。定義 $ N=\ max _ { 一 \ leq i \ leq l } N _ { i } $，著前一句話當中 $ N _ { i } $ 會使改做 N。

著 X 中每一个點 x，存在一个 $ \ xi _ { i } $ 予得 $ x \ in U _ { \ xi _ { i } } $。毋過對任何比 N 大的正整數嘿 m 和 n，攏有 $ | g _ { m } ( x _ { n _ { i } } )-g _ { n } ( x _ { n _ { i } } ) | < \ epsilon $，此外由

> > $ $ > | g _ { m } ( x _ { n _ { i } } )-g _ { m } ( \ xi _ { i } ) | < \ epsilon $、$ | g _ { m } ( x )-g _ { m } ( \ xi _ { i } ) | < \ epsilon $、$ | g _ { n } ( x _ { n _ { i } } )-g _ { n } ( \ xi _ { i } ) | < \ epsilon $、$ | g _ { n } ( x )-g _ { n } ( \ xi _ { i } ) | < \ epsilon > $ $ > > > >

可知 $ | g _ { m } ( x )-g _ { n } ( x ) | < 五 \ epsilon $。

所以，$ \ { g _ { n } \ } $ 是一个 $ C ( [a , b] ) $ 上的柯西列，因為乎 $ [a , b] $ 是完備的好捒 $ C ( [a , b] ) $ 嘛是啦，所以乎 $ \ { g _ { n } \ } $ 是 $ \ { f _ { n } \ } $ 的一致收斂仔序列。

參考來源

本條目有來自 PlanetMath《Ascoli-Arzelà theorem》的內容，版權遵守創用 CC 協議：徛名-仝款的方式共享協議。