E的π次方

$ e ^ { \ pi } \ , $ 閣稱格爾豐德常數（英語：Gelfond's constant）是一个數學常數。佮 e 和 π 仝款，伊是一个超越數。這會當用格爾豐德-施奈德定理來證明，並無注意著：

$ e ^ { \ pi } \ ;=\ ; ( e ^ { i \ pi } ) ^ {-i } \ ;=\ ; ( 影一 ) ^ {-i } $

其中 _ i _ 是虛數單位。因為 − _ i _ 是代數，但是肯定講毋是有理，所以 _ e _ π 是超越數。這个常數佇希爾伯特第七問題乎總講著過。一个相關的常數是 $ 二 ^ { \ sqrt { 二 } } $，閣號做格爾豐德-施奈德常數。相關的值 $ \ pi + e ^ { \ pi } \ , $ 嘛是無理數。

數值

佇十進位內底，_ e _ π 大約仔為

$ { { e } ^ { \ pi } } \ approx 二十三石一四空六九二六三二七七九 \ dots \ , . $

伊的值會當用下迵天來求出來。定義

$ k _ { n }={ \ frac { 一-{ \ sqrt { 一-k _ { n 影一 } ^ { 二 } } } } { 一 + { \ sqrt { 一-k _ { n 影一 } ^ { 二 } } } } } $

其中 $ \ scriptstyle k _ { 零 } \ ,=\ , { \ tfrac { 一 } { \ sqrt { 二 } } } . $

著

$ \ left ( { \ frac { 四 } { k _ { N } } } \ right ) ^ { 二 ^ { 一-N } } $

快速收斂佇咧 $ e ^ { \ pi } $。

幾何中的獨特之處

n 維球體的體積由以下公式共出：

$ V _ { n }={ \ pi ^ { \ frac { n } { 二 } } R ^ { n } \ over \ Gamma ( { \ frac { n } { 二 } } + 一 ) } . $

所以乎，任何一个偶數維的單位球有體積：

$ V _ { 二 n }={ \ frac { \ pi ^ { n } } { n ! } } . $

共所有的偶數維的單位球的體積加起來，會出得：

$ \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } V _ { 二 n }=e ^ { \ pi } . \ , $

相關的常數

拉馬拍拚金常數

$ e ^ { \ pi { \ sqrt { 一百六十三 } } }=( { \ text { 格爾豐德常數 } } ) ^ { \ sqrt { 一百六十三 } } $

人講的拉馬拍拚金常數，是黑格納數的一个應用，其中的一百六十三是問題中用著的烏格納數。

仝 _ e _ π-_ π _ 仝款，_ e _ π√ 一百六十三非常接近整數：

$ e ^ { \ pi { \ sqrt { 一百六十三 } } }=$ 262537412640768743 . 9999999999992500725971981856888793538563373369908627075374103782106479101186073129 . . . $ \ approx 六百四十 \ , 三百二十 ^ { 三 } + 七仔四十四 $

雖然這个數是由法國數學家夏爾 ・ 埃爾米特在一八五九年所發現，但印度數學家斯里尼瓦瑟 ・ 搝馬拍金第一个預測伊非常接近整數，因為伊替名。

這種誠近若像六百四十五點空三千兩百空三 + 七百四十四的巧合，會用得 j-invariant 的複數乘法佮 q 拆予開來表示。

$ j ( ( 一 + { \ sqrt { 被一百六十三 } } ) / 二 )=( 被六百四十 \ , 三百二十 ) ^ { 三 } $

而且

$ ( 被六百四十 \ , 三百二十 ) ^ { 三 }=-e ^ { \ pi { \ sqrt { 一百六十三 } } } + 七仔四十四 + O \ left ( e ^ {-\ pi { \ sqrt { 一百六十三 } } } \ right ) $

而且 _ O _ ( _ e _-_ π _ √ 一百六十三 ) 是精差項。

$ { \ displaystyle O \ left ( e ^ {-\ pi { \ sqrt { 一百六十三 } } } \ right )=被一百九十六 \ , 八百八十四 / e ^ { \ pi { \ sqrt { 一百六十三 } } } \ approx 被一百九十六 \ , 八百八十四 / ( 六百四十 \ , 三百二十 ^ { 三 } + 七仔四十四 ) \ approx 抹空空空空 \ , 零 \ , 零 \ , 零 \ , 七十五 } $

這个解說是啥物 _ e _ π√ 一百六十三比六百四十五靈三千兩百空三 + 七百四十四小矣空曉零空零零零七十五。（這个證明的細節，會當參考黑格納數）。

數 _ e _ π-_ π _

由 A 一爿八千九百三十八間予出來 _ e _ π-_ π _ 的十進位表示講

$ e ^ { \ pi }-\ pi=$ 十九九九九空九九九七九一八九四七五七 . . .

雖然講這數是非常的接近正整數二十，但目前無關於這个現象的解說；所以，予人認為是一種數學巧合。

數 _ π _ e

由 A 五鋪九千八百五十予出的 _ π _ e 十進位表示為：

$ \ pi ^ { e }=$ 二十二孵四五九一五七七一八三六一空四五四 . . .

目前猶毋知影此數敢是超越數。

愛注意的是，根據格爾豐德-施奈德定理，干焦佇咧 a 是代數，而且 b 是非有理數（a，b 攏是複數，而且 _ a _ ≠ 零 , _ a _ ≠ 一）的狀況之下，_ a _ b 才為超越數。

會使證明 _ e _ π 是超越數，其原因佇咧複數的指數形式，因為乎 π 會當予人看做是複數 _ e _ π 的模仔，啊若根據 ( 影一 )-_ i _ 的等式，才會當使用格爾豐德-施奈德定理。

_ π _ e 著無按呢的等式，所以乎，就算講 π 和 e 攏是超越數，毋過咱袂當按呢講 _ π _ e 是超越數。

數 _ e _ π-_ π _ e

如同 _ π _ e，咱猶原毋知 _ e _ π-_ π _ e 敢是超越性質的。甚至，目前猶無證明講伊是無理數：

由 A 五鋪九千八百五十予出的 _ e _ π-_ π _ e 十進位表示為：

$ e ^ { \ pi }-\ pi ^ { e }=$ 空九六八一五三四九一四四一八二二三五 . . .

數 _ i _ i

$ i ^ { i }=( e ^ { i \ pi / 二 } ) ^ { i }=e ^ {-\ pi / 二 }=( e ^ { \ pi } ) ^ {-二分之一 } $

由  A 五鋪九千八百五十予出的 ii 十進位表示為：

$ i ^ { i }=$ 空五二空七八七九五七六三五空七六一九 . . .

因為上述等式，有可用格爾豐德-施奈德定理證明格爾豐德常數的平方根倒數嘛是超越的：

i 是代數，同時毋是有理數，由此 _ i _ i 是超越數。

參見

• 格爾豐德-施奈德常數
• 格爾豐德-施奈德定理
• 希爾伯特第七問題

外部連結

• MathWorld